20.专题复习卷(六）新定义问题-【真题圈】2025-2026学年七年级下册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

真题圈数学 专题复习卷 七年级下5E 湘 20.专题复习卷（六） 新定义问题 甘嫩 州 1.（期末·石景山区)定义一种运算：a*b= [a(a≥b则不等式 b(a<b), 岩期 2x*(x+3)>1的解集是( A.心或心-2 2 B.x> 1或-2<x<3 C.x≥3或-2<x<3 D.x≥3或2<x<3 2.(期末·房山区)定义：如图①，直线AB,CD被EF所截，图中 ∠1与∠2位于截线EF同侧，被截线AB,CD所夹部分的外部， 製 我们把具有图中∠1与∠2位置关系的角称为“同旁外角”.如 图②，若AB∥CD,∠3=130°，则∠3的“同旁外角”的大小 为 C D 精品图书 金星教有 ① 第2题图 3.(期末·大兴区)我们定义 c b d =ad-bc,例如 x4 茶 2×3=4-6=-2.若x,y是整数，且满足1< <3,则 3/ x+y的最小值是 4.(期末·西城区)将非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 加 [x],当n为非负整数时， 阳 胞 ①若m号≤x<m+分则[x]=n ②若[x]=n,则m-2≤xK+): 如[0]=[0.49]=0，[0.64]=[1.49]=1，[2]=2 (1)[π]= (2)若[41]-多，则满足条件的实数：的值是 5.（期中·北京一五六中学)对x,y,z定义一种新运算F,规定： F(x,y,z)=ax+by+cz,其中a,b为非负数。 (1)当c=0时，若F(1,-1,2)=1,F(3,1,1)=7,则a+b 的值是 (2)若F(3,2,1)=5,F(1,2,-3)=1,设H=a+2b+c,则H 的取值范围是 6.(期末·北京三帆中学)在数据处理中通常要把一组范围很 大的数据（通过某种算法）限制在需要的一定范围内.现定义 一种“k-映射变化”：对于数组{x1,x2,x,,x},若其中最小 值为x,则用二血替换数组中的每个数x(1≤i≤)。 k 例如：原数组为{15,25,30,40,60}，其中最小值为15，那么 Q引是它的10-肤射交化数组，这个数组的最大值 是9 (1)数组{5,8,9}通过“4-映射变化”得到的数组是 (2)若数组{2x,2x+5,6-x}的“6-映射变化”数组的最大值为 1,求x的值. —59 7.定义一种新的运算：对于任意两个有理数a,b,规定M(a,b)= a2+ab.例如，M(1,2)=12+1×2=3;M(2,1)=22+2×1= 6.若x,y为有理数，请解答下列问题： (1)若M(x,y)+M(y,c)是一个完全平方式，求k的值 (2)若2x+y=5,M(2x+3y,2x-3y)+M(y,-12x+y）=34,求 y的值. 印必 关爱学子 拒绝盗印 8.（期末·平谷区)对于两个关于x的不等式，同时满足这两个 不等式的x的值中，有且仅有k个整数，则称这两个不等式“k- 关联”，例如不等式x>1和不等式x<4是“2-关联”的 (1)请判断不等式2+5x>12和-3x+2>-10是不是“1-关联”的， 并说明理由 (2)若2x-a>0和x<0是“3-关联”的，求a的最小整数值 (3)若不等式x+2>3b和x+2b<17是“b-关联”的，直接写出b 的值 精品图书 金星教育 9.（期中·清华附中)当b≥α时，若关于x的不等式组的解集 为a≤x≤b,则称b-a为该不等式组的“解集长度”.如不 等式组 x+1≤4的解集为1≤x≤3，则其“解集长度”为 1x-1≥0 3-1=2. (1)不等式组 「-x+2≥x-5,的“解集长度”是 3x-1≥-x+2 3x-m≤2x+3, (2)已知关于x的不等式组 的“解集长度” 3x+3m≥5(m+2) 为0，求m应该满足的条件，以及此时不等式组的解集 (3)已知关于x的不等式组，x≥二M 3， 的解集长度小于 3(x-1)≤2x+m 9,求m的取值范围. —60 10.(期末·延庆区)关于x,y的二元一次方程ax+by+c=0(a,b, c为常数，且abc≠0)，若ab=c,则称这个方程为“可乘方 程”，由两个“可乘方程”组成的方程组称为“可乘方程组”. (1)在①2x-3y46=0;②x-2y=1;③-x-y+1=0中， 是“可乘方程”的是 (填序号). (2)若方程(2-1)x-3y=3(t-1)是关于x,y的“可乘方程”， 求t的值 (3)若 c+9y+2m-3n=0, x+(k+7)y+m+2n=0° 是关于x,y的“可乘方程组”， 且1≤n-m<2,直接写出k的取值范围. 印必 关爱学子 拒绝盗印9.3m(x-3y）10.4m(m-n)(2mn+1)） 11.8【解析】x2y+3y2=y(x+y)=48,y=6,∴.6(x+y)= 48,则x+y=8.故答案为8. 12.3y-3【解析】(y-1)(x+3)=x(y-1)+3(y-1)=x(y-1)+(3y 3),.A=3y-3.故答案为3y-3. 13.【解】9(a-b)(a+b)-3(a-b)2=3(a-b)[3(a+b)-(a-b)]= 6(a-b)(a+2b). 14.A 15.A【解析1①-2-y不能用公式法分解因式；②-年6+1= 1+号b1-2b:③a2+ab+b2不能用公式法分解因式； ④-+2x-y2不能用公式法分解因式；⑤子-mm+m= (合-mm):故能用公式法分解因式的有2个.放选A 16.(x2+4)(x+2)(x-2)17.3x+2y(答案不唯一) 18.①③【解析①原式=(4a2+1)(4a2-1)=(4a2+1)(2a+1)(2a-1)5 ②原式=(a+1-2a)2=(a-1)2； ③原式=-(4a2-4a+1)=-(2a-1)2 ∴.结果含有相同因式的是①③.故答案为①③ 19.【解】(a2+1)2-4a2=(a2+1)2-（2a)2=(a2+2a+1)(a2-2a+1)=(a+ 1)2(a-1)2. 20.【解】x4-8x3y2+16y4=(x2-4y)2=(x+2y)2(x-2y)2 21.A 22.B【解析】x2-4m=m(x2-4)=m(x+2)(x-2), x2-4x+4=(x-2)2,故公因式为x-2.故选B. 23.n(m-1)2 24.【解】(1)3a2-6ab+3b2=3(a2-2ab+b2)=3(a-b)2 (2)x2(m-2)+y2(2-m)=(m-2)(x2-y2）)=(m-2)(x+y)(x-y) 25.(x-y)(x+y-2)【解析】x2-y2-2x+2y=(x2-y2)-(2x-2y) =(x+y)(x-y)-2(x-y)=(x-y)(x+y-2). 26.【解】(x2-x)2-12(x2-x)+36=(x2-x-6)2=（x+2)2(x-3)2. 27.【解】(1)x2+6x-27=(x+9)(x-3). (2)6x2-7x-3=(3x+1)(2x-3). (3)20(x+y)2+7(x+y)-6 =[4(x+y)+3][5(x+y)-2] =(4x+4y+3)(5x+5y-2). 28.【解】(1)x2+4a-5a2=x2+4a+4a2-5a2-4a2=(x+2a)2-9a2=(x +2a+3a)(x+2a-3a)=(x+5a)(x-a). (2)有最小值，最小值为-4.理由： x2-6x+5=x2-6x+9+5-9=(x-3)2_-4. .（x-3)2≥0，∴.（x-3)2-4≥-4 .当x=3时，(x-3)2-4有最小值，最小值为-4 29.A【解析】'x2+c-10=(x-5)(x+2),（x-5)(x+2)=x2-3x- 10,∴.k=-3.故选A 30.B【解析】：(at7)2-a2=(at7+a)(a+7-a)=7(2a+7),且a 为整数，∴.(a+7)2-a2总可以被7整除，.n的值为7.故选B. 31,B【解析由题意可知：3，=(a-b+号xbx(a+b)+】×b(a b)=a2-ab+2b,正方形面积=(a+b)2=a2+2ab+b, 2 .S1=a2+2ab+b-(a2-ab+2b2）=3ab-b.S,=S2,.3ab- b2=a2-ab+2b,即a2-4ab+3b2=0,∴.(a-3b)(a-b)=0, ∴.a=3b或a=b(舍去).故选B. 32.【解】.2x+5y=2,∴.2x2+5y+5y=x(2x+5y)+5y=2x+5y=2. 33.【解】【验证】(1)4×2 （2)根据题意得(m+n)2-(m-n)2=(m+n+m-n)(m+n-m+n)= 47mn. 【拓展】(1)：(x+y)2=200,xy=48,且(x+y)2-(x-y)2=4xy, .(x-y)2=(x+y)2-4xy=200-4×48=200-192=8. (2)两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是2的 倍数. 20.专题复习卷（六）新定义问题 1.C【解析】由新定义得2x≥x+3,或2xx+3,解得x≥3 2x>1 x+3>1, 或-2<x<3.故选C 2.50 3.-5【解析】根据题意得1<6-xy<3,则3<y<5. 真题圈数学七年级下5E 又：x,y均为整数，.当x=1,y=4时，此时x+y=5; 当x=2,y=2时，此时x+y=4; 当x=4,y=1时，此时x+y=5; 当x=-1,y=-4时，此时x+y=-5; 当x=-2,y=-2时，此时x+y=-4; 当x=-4,y=-1时，此时x+y=-5; 故x+y的最小值是-5.故答案为-5. 4(1)3(2)号2，号 【解析】(2)设号：=k(k为非负整数)，则t=号k ·[居+1]=kk≤号1<+2<k≤号 又·k为非负整数，∴.k=2,3,4 当k=2时，1=号当k=3时，1=2，当k=4时，1= 综上所述，1的值为号2，号.故答案为1)3，(2)号2，号 51)3(2)号≤H≤5【解折1)当e=0时，若F1,-1,2) =1,F(3,1,1)=7, 则a一b二1，解得{公二，a+b=2+1=3. 3a+b=7, a=2-2c, (2)由题意可得3a+2b+c=5解得 a+2b-3c=1, 7b=5c-1 2 [2-2c≥0， a,b为非负数， 5c-≥0解得c≤1 2 :H=a+2b+c=2-2c+2× 5c-1 +c=4c+1, 2 则易得当c三时，H取最小值，最小值为4x+1’ 当c=1时，H取最大值，最大值为4×1+1=5， :H的取值范围是？≤H≤5， 5 故答案为(1)3；(2)？≤H≤5. (2)由条件可知最小数为2x或6-x, 当2x为最小数时，此时2x<6-x,解得x<2. 数组{2x,2+5,6-x}中的数经“6-映射变化”后分别为2x-2x 6 =0,2x+5-2x=5,6-x-2x=6-3x 6 66 6 :“6-映射变化“数组的最大值为1，.6-3江=1，解得x=0； 6 当6-x为最小数时，此时2x>6-x,解得x>2, 数组{2x,2x+5,6-x}的“6-映射变化”数组的最大值为 2x+5-6-8=1,解得x=3 7 6 综上所述x的值为0或子 7.【解】(1)根据题意可知，M(x,y)+My,c)=x2+xy+y2+ay= x2+(k+1)xy+y2. :x2+(k+1)y+y2是一个完全平方式，∴+1=士2， 解得k=1或k=-3. (2)根据题意可知(2x+3y)2+（2x+3y)(2x-3y)+y2+y(-12x+y)= 34, 4x2+12xy49y2+4x2-9y2+y2-12y+y2=34, 2(4x2+y2)=34, 4x2+y2=17. 2x+y=5,.(2x+y)2=4x2+4xy+y=25, 4y+17=25,解得y=2. 答案与解析 8.【解】(1)是“1-关联”的.理由如下：解不等式2+5x>12,得 x>2.解不等式-3x+2>-10,得x<4.'.2<x<4. .同时满足这两个不等式的整数解为3，∴是“1-关联”的. (2)解不等式2x-a>0,得x2号 2x-a>0和x<0是“3-关联”的，4≤号<-3， 解得-8≤a<-6.∴.a的最小整数值为-8. (3)b的值为3. 分析：解不等式x+2>3b,得x>3b-2. 解不等式x+2b<17,得x<17-2b.由题易知3b-2<x<17-2b, .方法一：3b-2<17-2b,解得b<31 b为非负整数，∴.b可取0,1,2,3. 当b=0时，-2<x<17,有18个整数解，不符合题意； 当b=1时，1<x<15,有13个整数解，不符合题意： 当b=2时，4<x<13,有8个整数解，不符合题意； 当b=3时，7<x<11,有3个整数解，符合题意. 方法二：：b为非负整数，∴.17-2b与3b-2都为非负整数， .17-2b-（3b-2)=b+1,解得b=3. 9.【解1(1)分析： -x+2≥x-5,① 3x-1≥-x+2,② 第不等式0，得x≤子解不等式②，得x 4 六该不等式组的解集为}≤x≤子 7 4 则其“解集长度”是？-3=业 244 (2)3x-m≤2x+3,0 3x+3m≥5(m+2),② 解不等式①，得x≤m+3,解不等式②，得x≥2m+10 3 :关于x的不等式组3x-m≤2x+3,。的“解集长度"为0， 3x+3m≥5(m+2) m+3-2m+10=0,解得m=1 3 .原不等式组的解集为4≤x≤4，即原不等式组的解集为x=4 6≥m,0 3(x-1)≤2x+m,② 解不等式①，得x≥-受解不等式②，得x≤m+3 :关于x的不等式组≥m, 3 的解集长度小于9， 3(x-1)≤2x+m 解集为-≤x≤m+3, 2 0≤m3-( <9,解得-2≤m<4. 10.【解】(1)②③分析：①2x-3y+6=0,a=2,b=-3,c=6, ∴ab=2×(-3)=-6≠c,∴.2x-3y46=0不是“可乘方程”； 2时xy=1化为号21=0，a=方6=-2，c=-1,的 =号×(2)=1=6号2=1是可乘方餐， ③-x-y+1=0,a=-1,b=-1,c=1,ab=-1×(-1)= 1=c,∴.-x-y+1=0是“可乘方程”； 是“可乘方程”的是②③. (2):方程(2-t)x-3y=3(t-1)是关于x,y的“可乘方程”， 2-0(3)=-3-1以解得1= (3)k的取值范围为-3<k≤-】 4 2 分析：红+9y+2m-3加=0，。是关于x,y的可乘方程组”， x+(k+7)y+m+2n=0 ∴.+9y+2m-3n=0和x+(k+7)y+m+2n=0是“可乘方程” 2m-3n=9k,① ②×2，得2m+4n=2k+14,③ m+2n=k+7,② ③-①，得7n=14-7k,n=2-k, 把n=2-k代入②，得m=3k+3. .1≤n-m<2,.1≤2-k-(3k+3)<2 解得-3<k≤- 4 2k的陬值范围为-3<k≤ 期末重组卷 21.海淀区重组卷 题号123 456 78 9 10 答案DAACBABA CA 1.D2.A 3.A【解析】∠AOD=125°，∴∠AOD=∠COB=125° .EO⊥CD,.∠COE=90°，∴.∠EOB=∠COB-∠COE= 35°.故选A 4.C5.B6.A 7.B【解析】已知x=2是方程x+by=7的一个解，则2a+h= y=1 7,.原式=1-（2a+b)=1-7=-6.故选B 8.A9.C 10.A【解析】A.一组数据中最大的数据增大时，这组数据的平 均数也随之增大，A正确；B.一组数据中最大的数据增大时， 这组数据的众数不一定也随之增大，B错误；C.一组数据中最大 的数据增大时，这组数据的中位数不变，C错误；D.一组数据的 中位数不一定是这组数据中的某一个数据，D错误.故选A 11.3(a-1)212.内错角相等，两直线平行13.1 14.x+少=（答案不唯一） x-y=-5 15.a≤2【解析】解不等式2x-1<x+2,得x<3,又x≥a,且不等 式组有整数解，所以a≤2.故答案为a≤2. 16.1313【解析】由题意得某班所有男生的人数为16+12+2= 30,选择1分钟跳绳的人数为17， .选择实心球的人数为m=30-17=13; 已知选择排球的两名同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的 组合，而选择游泳的四名同学选择其他两类组合的情况各不相 同，对应的组合可能为：篮球，1分钟跳绳；篮球，实心球；足 球，1分钟跳绳；足球，实心球； 在选择篮球的16人中，已经确定2人选择游泳，因此剩余的 14人需要选择健身长拳；而在选择1分钟跳绳的17人中，选 择排球而非篮球的有2人；选择游泳而非健身长拳的有2人； 因此选择1分钟跳绳剩余的有17-2-2=13（人）； 要使选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合的人数最多， 则在已经确定选择篮球、健身长拳的14人中，尽可能多的选择 跳绳，而1分钟跳绳的名额剩余13人， ·.在上述14人中有13人选择1分钟跳绳即所求，即选择篮球、 健身长拳、1分钟跳绳组合的最多有13人，故答案为13；13. 17.【解】原式=2-1+4-1=4. 18.【解(1)x-y=1,① ①×3+②，得5x=5,解得x=1, 2x+3y=2,② 将x=1代入①，得1-y=1,解得y=0, 故原方程组的解为x=山， y=0. (2)原方程组整理得8x+9y=6,① 24x+25y=14,② ①×3-②，得2y=4,解得y=2, 将y=2代人①，得8x+18=6,解得x=-1.5,