19.专题复习卷(五）因式分解-【真题圈】2025-2026学年七年级下册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

真题圈数学 专题复习卷 七年级下5E 19.专题复习卷（五） 因式分解 蝴 尽 州 命题点一 因式分解的定义 岩期 1.（期末·通州区)下列从左到右的变形是因式分解的是( A.9-a2=(3+a)(3-a) B.x2-2x-1=x(x-2)-1 C2=1+到 D.y(y-2)=y2-2y 2.(期末·延庆区)下列从左到右的变形是因式分解的是( A.2a2-2a+1=2a(a-1)+1 B.(x+y)(x-y)=x2-y2 C.x2-6x+5=(x-5)(x-1) D.x2+y2=(x-y)2+2xy 谢 3.下列从左到右的变形是因式分解且结果正确的是( A.(a+3)(a-3)=a2-9 製 B.x3-x=x(x2-1) C.1-16a2=(1+4a)(1-4a） D.m2(a-b)+m(b-a)=m(a-b)(m+1) 4.(期末·平谷区)利用图①中边长分别为a,b的正方形卡片， 以及长为a,宽为b的长方形卡片若干张拼成图②（卡片间不 重叠、无缝隙)，那么根据图②中这个几何图形的面积表示的 等式可以是 教 ① ② 第4题图 5.仔细阅读下面例题： 已知二次三项式x2-4x+m因式分解后有一个因式是x+3,求 些加 阳图 另一个因式以及m的值 解：设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n), 胞 得x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, .n+3=-4,m=3n, 解得n=-7,m=-21, ∴.另一个因式为x-7,m的值为-21 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x-k因式分解后有一个因式是2x-5,求 另一个因式以及k的值： 命题点二提公因式法分解因式 6.多项式3ma2+15mab的公因式是( A.3m B.3ma2 C.3ma D.3mab 7.(期中·怀柔区)将2x2a-6xab+2x分解因式，下面是四位同学 分解的结果： ①2x(xa-3ab);②2xa(x-3b+1);③2x(xa-3ab+1)； ④2x(-xa+3ab-1). 其中，正确的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 8.用提公因式法分解因式正确的是( A.12abc-9a2b2c2 3abc(4-3ab) B.3x3y-3y+6y=3y(x2-x+2y) C.-a2+ab-ac =-a(a-b+c) D.x2y+5xy-y=y(x2+5x) 9.（期中·西城区)因式分解：3mx-9my= 10.分解因式：8m2n(m-n)-4m(n-m)= 11.已知x2y+3y2=48,y=6,则x+y= 12.(期末·西城区)已知等式：x(y-1)+()=(y-1) (x+3),若括号内所填的式子记为A,则A= 13.分解因式：9(a-b)(a+b)-3(a-b)2 -57 命题点三公式法分解因式 14.分解因式：16-x2=( A.（4-x)(4+x) B.(x-4)(x+4) C.(8+x)(8-x) D.(4-x)2 15.下列各式中，能用公式法分解因式的有( ①-2y2;②-4a2b+1;国a2+b+b2;④-2+2x2； ⑤子-mm+mr A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 16.(期末·海淀区)因式分解：x4-16= 17.开放性试题小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个 三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是12y,请帮他 把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可） 原式为：■+12y+■=( )2 18.下列多项式：①16a-1;②(a+1)2-4a(a+1)+4a2;③-4a2- 1+4a.分解因式后结果含有相同因式的是 19.(期末·大兴区)分解因式：(a2+1)2-4a2, 拒绝盗印 20.（期末·顺义区)分解因式：x4-8x2y2+16y4 命题点四提公因式和公式法的综合 21.将多项式4a2-4分解因式后，结果完全正确的是( A.4(a-1)(a+1) B.4(a2-1) C.(2a-2)(2a+2) D.4(a-1)2 22.(（期中·北京建华实验)多项式mx2_4m与多项式x2-4x+4的 公因式是() A.x+2 B.x-2 C.x2-9 D.(x-2)2 23.（期末·顺义区)分解因式：m2n-2mn+n= 24.(期末·西城区)分解因式： (1)3a2-6ab+3b2. (2)x2(m-2)+y2(2-m). 命题点五利用其他方法分解因式 25.分解因式：x2-y2-2x+2y= 26.分解因式：(x2-x)2-12(x2-x)+36: 27.(期末·东城区)利用整式的乘法运算法则推导得出：(ax+b) (cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.我们知道因式分解是与整式乘 法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+(ad+bc)x+bd= (ax+b)(cx+d).通过观察可把acx2+(ad+bc)x+bd看作以x为 未知数，a,b,c,d为常数的二次三项式，此种因式分解是把 二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的 分解来凑一次项的系数.分解过程可形象地表述为“竖乘得 首、尾，叉乘凑中项”，如图①，这种分解因式的方法称为十字 相乘法.例如：将二次三项式2x2+11x+12的二次项系数2与 常数项12分别进行适当地分解，如图②，则2x2+11x+12= (x+4)(2x+3) a d a×d+c×b=ud+bc 1×3+2×4=11 ① ② 第27题图 根据上述材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：x2+6x-27. (2)用十字相乘法分解因式：6x2-7x-3. (3)结合本题知识，分解因式：20(x+y)2+7(x+y)-6. 28.（期中·顺义八中)【阅读理解】对于二次三项式x2+2ax+a2, 能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=(x+a)2,但 对于二次三项式x2+2ax-8a2,就不能直接用公式法了.我们 可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax-8a2中先加上 一项a2,使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子 的值不变，如下： x2+2ax-8a2=x2+2ax-8a2+a2-a2 =x2+2ax+a2-8a2-a2 =(x2+2ax+a2)-(8a2+a2) =(x+a)2-9a2 =(x+a+3a)(x+a-3a) =(x+4a)(x-2a). 像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添（拆）项法. (1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式x2+4a-5a2分 解因式. (2)【拓展应用】二次三项式x2-6x+5有最小值或最大值吗？ 如果有，请你求出来，并说明理由. 58 命题点六因式分解的应用 29.(期末·海淀区)如果x2+-10=(x-5)(x+2),则k应为( A.-3 B.3 C.7 D.-7 30.已知a为任意整数，且(a+7)2-a2总可以被n(n为自然数，且 n≠1)整除，则n的值为( A.14 B.7 C.7或14 D.7的倍数 31.(期末·石景山区)有4张长为a,宽为b(a>b)的长方形纸片， 按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为S, 空白部分的面积为S,.若S=S,则a,b满足( 第31题图 A.a=2b B.a=3b C.a=2.5b D.2a =3b 32.已知2x+5y=2,求2x2+5y+5y的值. 33.【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定 是4的倍数 【验证】(1)(2+1)2-(2-1)2= (2)设两个正整数为m,n,请验证【发现】中的结论 【拓展】(1)已知(x+y)2=200,y=48,求(x-y)2的值 (2)直接写出两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和 一定是几的倍数答案与解析 当DE∥AC时，a=135°；⑤如图⑤，当AE∥BC时，a= 150°.故答案为15°，45°，105°，135°，150° 16.【解】(1)依据题意，补全图形如图. A 一B (2)①两直线平行，同旁内角互补 ②70③30④∠CEF H -D ⑤两直线平行，内错角相等⑥60 17.【解】(1)将题图②补充完整，如图 第16题答图 (2)如图，过点C作CF∥DE. .∴.∠FCB=∠D=30° A .∠ACB=45°， ∴.∠FCA=15° ·AP∥DE, ∴.CF∥AP, 第17题答图 .∴.∠PAC=∠FCA=15° 18.B【解析】如图，过点A作AB∥a. P3 .a∥b,.AB∥a∥b. ..∠2+∠4=180°. ∠2=140°，.∠4=40° 2 -------B -b ∠1=65， .∴.∠3=∠1+∠4=65°+40°=105° 第18题答图 故选B. 19.A【解析】.AF平分∠BAC,DE平分∠BDF, ,∴.∠BDF=2∠1，∠BAC=2∠2. :∠1=∠2，.∠BDF=∠BAC..DF∥AC,故①正确. ∠BDE=∠1，∠BAF=∠2，∠1=∠2，∴∠BDE=∠BAF ∴.DE∥AF.∠EDF=∠DFA,故②③正确. ·DF∥AC,∴.∠C+∠DFC=180, 显而易见，∠DFC≠∠DEC,故④错误.故选A 20.40【解析】如图，过点E作AB的平行M 线EM, AB∥CD,∴.AB∥CD∥EM, .∴.∠MEA=∠A,∠MEC=∠C .·∠MEC=∠MEA+∠AEC, ∴.∠C=∠A+∠AEC, ∴.∠A=∠C-∠AEC=55°-15°=40° 第20题答图 故答案为40. 21.②【解析】如图，反向延长射线c交直线a于点A,射线c的端 点为点C,①，a∥b,.∠2=∠CAD. b ∠CAD+∠BAD=180°， D ∠1+∠2=180°，.∠BAD=∠1， ∴.c∥d,故①结论错误. ②，d∥e,c∥d,∴.c∥e,故②结论正 确.故答案为② B-----74 e 22.解(1)∠3 (2)①设∠BEG=m,∠EGF=n,如图①， 第21题答图 设AB与GF相胶于点H, G .AB∥CD,∠DFG=50°， .∠BHG=∠DFG=50°，.∠BEG+ E B ∠EGF=180°-∠EHG=∠BHG= 50°，即m+n=50°，① ·∠BEG是∠EGF的“6系数补角”， .∴.∠EGF+6∠BEG=180°， CF 即n+6m=180°，② 第22题答图① 联立①2得m+n=50, 即∠BEG=26° n+6m=180° 解得m=26 n=24° ②∠N=a+f)-45°或45°-(a+f)或45°-(a-f)或 45°-(B-a).(下面求解过程任选一-个即可) ,∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∠EMF+2∠N=180°，.∠N=90°-号∠EMF, 如图②，，'∠EFH与∠FEH两个角的平分线交于点M, ·.LMEF=)∠HEF,LMFE=)∠HFE. '∠EMF=180°-∠MEF-∠MFE=180°-)（∠HEF+∠HFE) =180°-号(180°-∠EHF)=90°+2∠EHR 过点H作HG∥AB,如图②，：AB∥CD,.AB∥CD∥HG, ∴.∠EHG=∠AEH=180°-∠BEH=180°-a,∠FHG=∠CFH =180°-∠DFH=180°-B, .∠EMF=90+5∠EF=90°+)(LEHG+LFHG)= 90°+180°-a+180°-f)=270°-(a+f), ∠N=90°-2∠EMF=90°-270-(a+A)=(a+ B)-45° 7G ⑥ ⑦ 第22题答图 如图③，同理可得∠EMF=90°+∠EHF=90°+(a+B), ∠N=90-号∠EMF=90e-90+5a+m]=45°-a +B). 如图④，设AB,FH交于点G,:AB∥CD,∴.∠I=∠DFH=B, ∴.∠H=180°-∠EGH-∠BEH=∠1-∠BEH=B-a, .∠EMF=90°+2∠H=90+号(B-a),.∠N=90° 3EMF=90-90+B-a]=45°-0-a） 如图⑤，同理可得∠EMF=90°+3∠H=90°+(a-B), ·∠N=90°-BMr=90°-90+a-网]=45°-a -B) 如图⑥，同理可得∠EMF=90°+∠H=90°+(a-B), N=90°-2EMF=90°-90°+a-=45-4(a B). 如图⑦，同理可得∠EMF=90°+∠H=90°+2(B-a), ·∠N=90°-7∠EMF=90°-2引90°+B-)=45°-4B -a). 综上可知，∠N的大小为(a+f)-45°或45°-寻(a+f)或 45-(a-B)或45-4(B-a). 19.专题复习卷（五）因式分解 1.A2.C3.C4.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) 5.【解】设另一个因式为x+a,则2x2+3x-k=(2x-5)(x+a,得2x2+ 3x-k=2x2+(2a-5)x-5a,∴.2a-5=3,-5a=-k,解得a=4, k=20..另一个因式为x+4,k的值为20. 6.C7.C 8.C【解析】A.12abc-9a2b2c2=3abc(4-3abc),故本选项错误； B.3xy-3y+6y=3y(xr2-x+2),故本选项错误；C.-a2+ab-ac= -a(a-b+c),正确；D.xy+5xy-y=y(x2+5x-1),故本选项错误 故选C. 9.3m(x-3y）10.4m(m-n)(2mn+1)） 11.8【解析】x2y+3y2=y(x+y)=48,y=6,∴.6(x+y)= 48,则x+y=8.故答案为8. 12.3y-3【解析】(y-1)(x+3)=x(y-1)+3(y-1)=x(y-1)+(3y 3),.A=3y-3.故答案为3y-3. 13.【解】9(a-b)(a+b)-3(a-b)2=3(a-b)[3(a+b)-(a-b)]= 6(a-b)(a+2b). 14.A 15.A【解析1①-2-y不能用公式法分解因式；②-年6+1= 1+号b1-2b:③a2+ab+b2不能用公式法分解因式； ④-+2x-y2不能用公式法分解因式；⑤子-mm+m= (合-mm):故能用公式法分解因式的有2个.放选A 16.(x2+4)(x+2)(x-2)17.3x+2y(答案不唯一) 18.①③【解析①原式=(4a2+1)(4a2-1)=(4a2+1)(2a+1)(2a-1)5 ②原式=(a+1-2a)2=(a-1)2； ③原式=-(4a2-4a+1)=-(2a-1)2 ∴.结果含有相同因式的是①③.故答案为①③ 19.【解】(a2+1)2-4a2=(a2+1)2-（2a)2=(a2+2a+1)(a2-2a+1)=(a+ 1)2(a-1)2. 20.【解】x4-8x3y2+16y4=(x2-4y)2=(x+2y)2(x-2y)2 21.A 22.B【解析】x2-4m=m(x2-4)=m(x+2)(x-2), x2-4x+4=(x-2)2,故公因式为x-2.故选B. 23.n(m-1)2 24.【解】(1)3a2-6ab+3b2=3(a2-2ab+b2)=3(a-b)2 (2)x2(m-2)+y2(2-m)=(m-2)(x2-y2）)=(m-2)(x+y)(x-y) 25.(x-y)(x+y-2)【解析】x2-y2-2x+2y=(x2-y2)-(2x-2y) =(x+y)(x-y)-2(x-y)=(x-y)(x+y-2). 26.【解】(x2-x)2-12(x2-x)+36=(x2-x-6)2=（x+2)2(x-3)2. 27.【解】(1)x2+6x-27=(x+9)(x-3). (2)6x2-7x-3=(3x+1)(2x-3). (3)20(x+y)2+7(x+y)-6 =[4(x+y)+3][5(x+y)-2] =(4x+4y+3)(5x+5y-2). 28.【解】(1)x2+4a-5a2=x2+4a+4a2-5a2-4a2=(x+2a)2-9a2=(x +2a+3a)(x+2a-3a)=(x+5a)(x-a). (2)有最小值，最小值为-4.理由： x2-6x+5=x2-6x+9+5-9=(x-3)2_-4. .（x-3)2≥0，∴.（x-3)2-4≥-4 .当x=3时，(x-3)2-4有最小值，最小值为-4 29.A【解析】'x2+c-10=(x-5)(x+2),（x-5)(x+2)=x2-3x- 10,∴.k=-3.故选A 30.B【解析】：(at7)2-a2=(at7+a)(a+7-a)=7(2a+7),且a 为整数，∴.(a+7)2-a2总可以被7整除，.n的值为7.故选B. 31,B【解析由题意可知：3，=(a-b+号xbx(a+b)+】×b(a b)=a2-ab+2b,正方形面积=(a+b)2=a2+2ab+b, 2 .S1=a2+2ab+b-(a2-ab+2b2）=3ab-b.S,=S2,.3ab- b2=a2-ab+2b,即a2-4ab+3b2=0,∴.(a-3b)(a-b)=0, ∴.a=3b或a=b(舍去).故选B. 32.【解】.2x+5y=2,∴.2x2+5y+5y=x(2x+5y)+5y=2x+5y=2. 33.【解】【验证】(1)4×2 （2)根据题意得(m+n)2-(m-n)2=(m+n+m-n)(m+n-m+n)= 47mn. 【拓展】(1)：(x+y)2=200,xy=48,且(x+y)2-(x-y)2=4xy, .(x-y)2=(x+y)2-4xy=200-4×48=200-192=8. (2)两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是2的 倍数. 20.专题复习卷（六）新定义问题 1.C【解析】由新定义得2x≥x+3,或2xx+3,解得x≥3 2x>1 x+3>1, 或-2<x<3.故选C 2.50 3.-5【解析】根据题意得1<6-xy<3,则3<y<5. 真题圈数学七年级下5E 又：x,y均为整数，.当x=1,y=4时，此时x+y=5; 当x=2,y=2时，此时x+y=4; 当x=4,y=1时，此时x+y=5; 当x=-1,y=-4时，此时x+y=-5; 当x=-2,y=-2时，此时x+y=-4; 当x=-4,y=-1时，此时x+y=-5; 故x+y的最小值是-5.故答案为-5. 4(1)3(2)号2，号 【解析】(2)设号：=k(k为非负整数)，则t=号k ·[居+1]=kk≤号1<+2<k≤号 又·k为非负整数，∴.k=2,3,4 当k=2时，1=号当k=3时，1=2，当k=4时，1= 综上所述，1的值为号2，号.故答案为1)3，(2)号2，号 51)3(2)号≤H≤5【解折1)当e=0时，若F1,-1,2) =1,F(3,1,1)=7, 则a一b二1，解得{公二，a+b=2+1=3. 3a+b=7, a=2-2c, (2)由题意可得3a+2b+c=5解得 a+2b-3c=1, 7b=5c-1 2 [2-2c≥0， a,b为非负数， 5c-≥0解得c≤1 2 :H=a+2b+c=2-2c+2× 5c-1 +c=4c+1, 2 则易得当c三时，H取最小值，最小值为4x+1’ 当c=1时，H取最大值，最大值为4×1+1=5， :H的取值范围是？≤H≤5， 5 故答案为(1)3；(2)？≤H≤5. (2)由条件可知最小数为2x或6-x, 当2x为最小数时，此时2x<6-x,解得x<2. 数组{2x,2+5,6-x}中的数经“6-映射变化”后分别为2x-2x 6 =0,2x+5-2x=5,6-x-2x=6-3x 6 66 6 :“6-映射变化“数组的最大值为1，.6-3江=1，解得x=0； 6 当6-x为最小数时，此时2x>6-x,解得x>2, 数组{2x,2x+5,6-x}的“6-映射变化”数组的最大值为 2x+5-6-8=1,解得x=3 7 6 综上所述x的值为0或子 7.【解】(1)根据题意可知，M(x,y)+My,c)=x2+xy+y2+ay= x2+(k+1)xy+y2. :x2+(k+1)y+y2是一个完全平方式，∴+1=士2， 解得k=1或k=-3. (2)根据题意可知(2x+3y)2+（2x+3y)(2x-3y)+y2+y(-12x+y)= 34, 4x2+12xy49y2+4x2-9y2+y2-12y+y2=34, 2(4x2+y2)=34, 4x2+y2=17. 2x+y=5,.(2x+y)2=4x2+4xy+y=25, 4y+17=25,解得y=2.