12.第八章 因式分解学情调研-【真题圈】2025-2026学年七年级下册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 七年级下5E 积 12.第八章学情调研 (时间：120分钟满分：100分) 名期 一、选择题（共16分，每小题2分） 1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是() A.x2-y B.x2+2x C.x2-y2 D.x2-xy+y2 2.(期中·北京八十中)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( A.2a2-2a+1=2a(a-1)+1 B.(x+y)(x-y)=x2-y2 C.x2-4xy44y2=(x-2y)2 D41=x+) 製 3.(期中·清华附中)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( A.-a2-b2 B.x2+(-y)3 C.(-x)2+(-y)2 D.-m2+1 4.(期末·顺义区)下列因式分解正确的是( A.-3a2x-3ax=-3ax(a-1) B.x2-2xy2+y4=(x-y2)2 C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y) D.x(x-y)-y(y-x)=x2-y2 批 5.(期末·北京八中)若x2+mx-10=(x-5)(x+n),则n"的值为( A.-6 B.8 C-G D 6.已知2025226-20252024=2025*×2024×2026，则x的值为( ) A.2027 B.2026 C.2025 D.2024 器 7.(月考·北京一六一中学)已知a-b=3,a+c=-5,则代数式ac-bc+a2-ab的值为() A.-15 B.-2 C.-6 D.6 些咖 H 8.情境题（期末·大兴亦庄实验中学）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因 题 式分解”法生成的密码，方便记忆.如：对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2), 若取x=9,y=9,则各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162” 国 作为一个六位数的密码.对于多项式x3-9y2,取x=10,y=1时，用上述方法生成的密码可以 是( A.101001 B.1307 C.1370 D.10137 二、填空题（共16分，每小题2分） 9.（中考·北京)分解因式：7m2-28= 10.多项式36y2-9xy-3y提公因式后的另一个因式为 11.开放性试题（期末·海淀区）在O处填入一个整式，使关于x的多项式x+O+1可以因式分 解，则O可以为 (写出一个即可)， 12.在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积 为 cm2. 13.（期末·石景山区)若关于x的整式x2+(m-1)x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的 值是 14.(期中·北京十一实验学校)已知a+b-2=0,则代数式a2-b2+4b的值等于 15.（期中·清华附中创新班)若二次三项式x2+a-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符 合条件的整数a的个数是 16.新定义试题（期末·西城区）若一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式，则称这个数为“完 美数”.例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”. (1)请你再写一个大于10且小于20的“完美数”： (2)已知M是一个“完美数”，且M=x2+4y+5y2-12y+k(x,y是两个任意整数，k是常数)，则k 的值为 三、解答题（共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每 小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分) 17.(期末·通州区)分解因式. (1)a3-4a2+4a. 绝盗印(2)(2x+3)2-16, 18.用简便方法计算： (1)8252×3-1752×3. (2)57×99+44×99-99. 7 19.开放性试题（期末·顺义区）从单项式m,n4,2m2n2中任选2个，并用“_”号连接成一个多项式， 再对其进行因式分解. 20.(期中·西城区)将x(x+y)(x-y）-x(xy)2进行因式分解，并求出当xty=1,y=-时此式 的值 精品图书 金星教育 21.（期中·海淀区)已知多项式2x2-bx+c,甲同学看错了常数项，分解因式为2(x-3)(x+2),乙同学 看错了一次项系数，分解因式为2(x-3)(x+4),请求出正确的分解结果. 22.程序框图（期末·门头沟区）学完因式分解后，小明同学总结出了因式分解的过程并画出流程 图，如图所示. 下面是小亮同学的因式分解过程： -4y2+16x2 =16x2-4y2① =(4x)2-(2y)2② =(4x+2y)(4x-2y).③ (1)如果按照小明同学的流程图进行因式分解，那么小亮同学从第 (填序号)步开始出 现了问题，与流程图的第 步不一致 (2)写出按流程图进行因式分解的过程 岁 因式分解) 第一步 负号 判断首项符号 提取负号或改变位置 正号 第二步 有公因式 观察结构特征 无公因式 第三步 第四步 提公因式 判断公式类型> 关爱学子 平方差公式 完全平方公式十字相乘法 拒绝盗印 第五步 结果检验 (结果) 第22题图 23.【发现】任意3个连续的奇数中，最大奇数与最小奇数的平方差是4的倍数 【验证】 (1)92-52的结果是4的 倍. (2)设3个连续奇数中间的奇数为2+1(n为整数)，计算最大奇数与最小奇数的平方差，并说明 它是4的倍数， 8 24.方法探索（期中·海淀区）阅读图中的材料： 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解.如x2-4y2-2x+4y,细 龄 和 心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别分解因式后又出现 新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式具体过程如下： & x2-4y2-2x+4y =(x2-4y2)-(2x-4y) 州 名期 =(x+2y)(x-2y)-2(x-2y） =(x-2y)(x+2y-2) 像这种将一个多项式适当分组后分解因式的方法叫作分组分解法 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：x2-2xy+y2-4, (2)已知△ABC的三边长a,b,c满足a2-ab-aC+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由」 精品图书 金星教育 0 图 25.思维探索阅读某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程，并解决问题. 解：设x2-4x=y, 则原式=(y+2)(y+6)+4(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =（x2-4x+4)2.（第四步) (1)该同学第二步到第三步的变形运用了() A.提公因式法 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 (2)该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式 分解？如果能，请写出最后的结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2+6x)(x2+6x+18)+81进行因式分解. 26.（期中·清华附中改编)对于多项式x2+x-2,如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值 为0，这时可以确定多项式中有因式(x-1);同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2),于是我 们可以得到：x2+x-2=(x-1)(x+2) 又如：对于多项式2x2-3x-2,发现当x=2时，2x2-3x-2的值为0，则多项式2x2-3x-2有一个因 式(x-2),我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(x+n),解得m=2,n=1. 于是我们可以得到：2x2-3x-2=(x-2)(2x+1). 请你根据以上材料，解答以下问题： (1)当x=1时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5有因式 ,从而可以将多 项式进行因式分解，6x2-x-5= (2)若2a-b=2. ①关于x的多项式ax2+bx-4有因式 ②已知a为正整数，且有两个不同的整数x使多项式ax2+bx的值为4，求所有满足条件的a之和. 9 27.数学思想数列结合（期中·北师大附属实验中学）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借 助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如图①，有足够多的A类、C类正方形卡片和 B类长方形卡片.用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图②的长方形，通过计算面积可以 解释因式分解：2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b). (1)若解释因式分解3a2+4ab+b2=(a+b)(3a+b),需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都 要取到)拼成一个长方形，请画出相应的图形 (2)若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为5a+mab +b2,则m的值为 将此多项式因式分解为 (3)有3张A类、4张B类、5张C类卡片，从中取出若干张卡片，每种卡片至少取一张，把取出 的这些卡片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为 b b 0 e b A类 B类 C类 ① ② 第27题图 精品图书 金星教育 4 28.(期末·平谷区)阅读下列材料： 我们知道，对于二次三项式a+2ab+b2,可以利用完全平方公式将它变形为(a+b)2的形式，但是 对于一般的二次三项式x2+bx+c就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在原式中先加上 次项系数的一半的平方，即(，使其凑成完全平方式，再减去()，使整个式子的值不变，这样 有4bx+c三x+号+m例如P-6c+1三R-6x+9-9H1=-3 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式x2-4x+3变形为(x+m)2+n的形式 (2)当x,y分别取何值时，x2+y2-4x+6y428有最小值？求出这个最小值。 (3)若m=a2+b2-1,n=2a-4b-7,则m与n的大小关系是 盗印必 关爱学子 拒绝盗印答案与解析 .∠BDE=∠BDK+∠EDK,∴.∠BDE=180°-∠B+∠E, ∴.∠BDE+∠B-∠E=180 (2)∠D-∠BPE=75°，理由如下： 过点P作PT∥AB,如图③所示， .∠MBD=25°，BD平分∠MBP, .∠MBP=2∠MBD=50, A B ∠ABD=180°-∠MBD=155°. ,EN平分∠DEP .设∠DEN=∠PEN=a, 则∠DEF=180°-∠DEN=180 在(1)的条件下， .∴.∠D+∠ABD-∠DEF=180° 第18题答图③ ∴.∠D+155°-(180°-a)=180°，∴.∠D=205°-a PT∥AB,AB∥EF,∴.AB∥PT∥EF ∴.∠MBP+∠TPB=180°，∠TPE=∠NEP=a, .∴.∠TPB=180°-∠MBP=180°-50°=130° .∴∠BPE=∠TPB-∠TPE=130°-a. .∴.∠D-∠BPE=205°-a-(130°-a)=75° 12.第八章学情调研 题号 12345678 答案BC DBD DAD 1.B2.C3.D 4.B【解析】-3a2x-3ax=-3ax(a+1),故A选项不符合题意；x2 2y2+y=(x-y2)2,故B选项符合题意；4x2-y2=(2x+y)(2x-y), 故C选项不符合题意；x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y),故D选项 不符合题意.故选B 5.D【解析】(x-5)(x+n)=x2+nx-5x-5n,.x2+mx-10=(x 5)(x+n),.x-5x=mx,-5n=-10,∴.n-5=m,n=2,解得 m=-3,n=2,m=23=友故选D. 6.D【解析】20252026-20252024=2025224×(20252-1)= 20254×(2025+1)×(2025-1)=2025224×2026×2024, 20252026-2025224=2025×2024×2026,.2025224× 2026×2024=2025×2024×2026,.x=2024.故选D. 7.A【解析】.ac-bc+a2-ab=c(a-b)+a(a-b)=(a-b)(c+a), a-b=3,a+c=-5,ac-bc+a2-ab=3×(-5)=-15.故选A. 8.D【解析】x3-92=x(x2-9y2)=x(x+3y)(x-3y),当x=10, y=1时，x=10,x+3y=10+3=13,x-3y=10-3=7, 所以上述方法生成的密码可以是10137.故选D. 9.7(m+2)(m-2) 10.12y-3x-1【解析】36y2-9x3y-3y=3y(12y-3x-1) 故答案为12y-3x-1. 11.2x(答案不唯一)【解析】x2士2x+1=(x士1)2，x2+(2x-1)+ 1=x2+2x=x(x+2),.O可以为2x,-2x,2x-1等，答案不唯 一.故答案为2x(答案不唯一) 12.110【解析】12.752-7.252=(12.75+7.25)×(12.75-7.25)= 20×5.5=110(cm2).故答案为110. 13.-5或7 14.4【解析】.·a+b-2=0,∴.a+b=2..∴.a2-b2+4b=(a-b)(a+ b)+4b=2(a-b)+4b=2a+2b=2(a+b)=4.故答案为4. 15.6【解析】由题可设x2+ax-12=(x+m)(x+n),m,n为整数， .mn=-12,m+n=a.-12=1×(-12)=(-1)×12= 2×(-6)=(-2)×6=3×(-4)=(-3)×4,∴.a=±11或a= 士4或a=士1，共有6个.故答案为6. 16.(1)13(答案不唯一)（2)36 【解析】(1)13=22+32，.13是完美数.（答案不唯一） (2):M=x244g45y2-12y4k=(x+2y)240y6)24+k-36,∴.当k= 36时，M是完美数.故答案为(1)13（答案不唯一）(2)36. 17.【解】(1)原式=a(a2-4a+4)=a(a-2)2. (2)原式=(2x+3+4)(2x+3-4)=(2x+7)(2x-1) 18.【解】(1)原式=3×(8252-1752)=3×(825+175)×(825-175) =3×1000×650=1950000. (2)原式=99×(57+44-1)=99×100=9900. 19.【解】若选择m和，用“_”号连接成m-n,则对其进行因式 分解为m-n=(m2+n2)(m2-)=(m2+n2)(m+n)(m-n).(答案 不唯一) 20.【解】x(x+y)(x-y)-x(x+y)2=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=-2y(x+ 八.当x+y=1,y=-时，原式=-2×（》×1=1 21.【解】甲：2(x-3)(x+2)=2x2-2x-12,乙：2(x-3)(x+4)=2x2+ 2x-24.,·甲同学看错了常数项，但没有看错一次项系数，乙同 学看错了一次项系数，但没有看错常数项，∴.b=2,c=-24. ∴.原多项式为2x2-2x-24..2x2-2x-24=2(x+3)(x-4). .正确的分解结果为2(x+3)(x-4), 22.【解】(1)②三 (2)-4y2+16x2=16x2-4y2=4(4x2-y2)=4(2x+y)(2x-y). 23.【解】(1)14 (2)根据题意，最小的奇数为2n-1,最大的奇数为2n+3, 故最大奇数与最小奇数的平方差为(2n+3)2-(2n-1)2= [(2n+3)+(2n-1)][(2n+3)-(2n-1)]=4(4n+2) :n为整数，.(2n+3)2-(2n-1)2是4的倍数. 24.【解】1(1)x2-2xy+y2-4=(x-y)2-4=(x-y42)(x-y-2). (2)△ABC是等腰三角形.理由：：a2-ab-ac+bc=0,∴.a(a- b)-c(a-b)=0..(a-c)(a-b)=0..a=b或a=c. .△ABC是等腰三角形， 25.【解】(1)C(2)能，最后的结果为(x-2)4 (3)设x2+6x=y,则(x2+6x)(x2+6x+18)+81=y(+18)+81= y2+18y+81=(y49)2=(x2+6x+9)2=(x+3)4 26.【解】(1)(x-1)(x-1)(6x+5) (2)①(x+2)分析：，2a-b=2,.b=2a-2,∴.ar2+bx-4= ar2+(2a-2)x-4.当x=-2时，r2+(2a-2)x-4=0,即当x=-2 时，ax2+bx-4=0,∴.关于x的多项式a2+bx-4有因式(x+2). ②.ar2+bx的值为4，∴.ax2+bx-4的值为0. :m2+bx-4=(x+2)(m-2,当x=2时，m2+hr-4=0, 即当x=2时，am2+bx=4.:a为正整数，且有两个不同的整 数x使多项式awr2+bx的值为4， :.2为整数.a=1或2.∴所有满足条件的a之和为3 27.【解】(1)如图所示.（图形不唯一） aaa (2)6(5a+b)(a+b) (3)a+2b分析：3张边长为a的正方 形卡片的面积是3a2,4张长为b,宽为 a(b>a)的长方形卡片的面积是4ab, 5张边长为b的正方形卡片的面积是 5b2,.2+4ab+4b2=(a+2b)2,∴.拼成 第27题答图 的正方形的边长最长可以为a+2b. 28.【解1(1)x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x-2)2-1. (2)x2+y2-4x+6y+28=x2-4x+y2+6y+28=x2-4x+4-4+y2+6y+9- 9+28=(x-2)24(0y43)2+15.:(x-2)2≥0,0+3)2≥0，.当 x-2=0,y+3=0时，原式有最小值..当x=2,y=-3时， 原式有最小值，最小值为15. (3)m>n分析：.'m-n=a2+b-1-(2a-4b-7)=a2-2a+1+b2+ 4b+4+1=(a-1)2+(b+2)2+1>0,∴.m>n. 13.阶段学情调研（二） 题号1234567 8 答案DDCCCBA C 1.D2.D 3.C【解析】Ax3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1),故不符合题意； B.(x-2)2=x2-4x+4是乘法运算，不是因式分解，故不符合题 意；C.x2+3x=x(x+3),是因式分解，故符合题意；D.x2+x+1= x(x+1)+1,等号右边不是乘积形式，不是因式分解，故不符合题 意.故选C. 4.C【解析】：OB平分∠DOE,.∠DOE=2∠DOB.又：∠BOD =∠AOC=22°，.∠DOE=2∠BOD=44°.故选C 5.C 6.B【解析】x2+6x+2=x2+6x+9-9+2=(x+3)2-7.故选B. 7A【解析D若a>b,b>0,则日>6假命题.理由：a>b, 3a60品>品日62诺b0,日>分则a6,假命题