第八章 因式分解（单元自测·提升卷）数学新教材北京版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 因式分解·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D C D C C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10．4 11． 12．5 13． 14．3 15． 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ··········································2分 （2） ．·········································5分 18．（5分） 【答案】见解析 【分析】此题考查因式分解的运用，首先利用提取公因式法进行因式分解，根据数据特点，进一步证得结论即可． 【详解】解：原式 ，·········································4分 ∴一定能被3整除．·········································5分 19．（6分） 【答案】3 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据可得出，代数式提因式得到，再用平方差公式即可得出，即可得到答案． 【详解】解：， 即，·········································2分 ·········································6分 20．（6分） 【答案】见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，首先得到个四位数为，仿照题干给定的方法，将表示为的形式，即可得证． 【详解】证明：根据题意，得这个四位数为． ． 因为能被3整除，也能被3整除，所以这个四位数能被3整除．·········································6分 21．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将化为，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解； （2）根据题意，将化为，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： ·········································3分 （2）解： ·········································6分 【点睛】本题考查了平方差公式、完全平方公式因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 22．（8分） 【答案】(1) (2)见解析 (3)不成立，反例见解析 【分析】（1）根据题意写出算式⑤，即可； （2）利用平方差公式进行因式分解，即可； （3）设两个连续奇数分别为和（为整数），利用平方差公式进行因式分解，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：算式⑤：； 故答案为：·········································2分 （2）解：设两个连续偶数分别为和（为整数）， ， ∵是4的奇数倍， ∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍；·········································5分 （3）解：不成立， 设两个连续奇数分别为和（为整数）， ∵是偶数， ∴任意两个连续奇数的平方差不是4的奇数倍， 例如：是4的2倍，不是奇数倍．·········································8分 【点睛】本题考查了因式分解——平方差公式的应用，有理数的混合运算，合理应用公式是解决本题的关键． 23．（8分） 【答案】(1)1525； (2)王老师的年龄是35岁； (3)20，36． 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意分解因式，代入求解即可； （ 2 ）因式分解得出，再进行讨论即可得解； （3）因式分解得出，再进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， ∴密码为1525； 故答案为：1525；·········································2分 （2）解：， ∵王老师手机的锁屏密码是6位数字323870， ∴三个因式码为32、38、70， 当时，， 此时，此时三个因式码为13，16，32，锁屏密码是131632，不符合题意； 当时，， 此时，此时三个因式码为26，32，58，锁屏密码是263258，不符合题意； 当时，， 此时，此时三个因式码为32，38，70，锁屏密码是323870，符合题意； ， 即王老师当前年龄是35岁；·········································5分 （3）解：， 显然， 当时，， 此时符合题意； 当时，（负值舍去）， 则，此时三个因式码为10，14，16，最小的因式码为10，不符合题意； 综上可知，当时，符合题意，其他两个因式码是20和36．·····························8分 24．（8分） 【答案】(1) (2)当时，有最大值20 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将变形为，再利用完全平方式的性质即可解答． 【详解】（1）解： ；·········································3分 （2）解： ， ， 当时，多项式有最大值20．·········································8分 25．（10分） 【答案】(1) (2) (3)①20；②，24 【分析】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据 ，即可得出结果；②先将代数式因式分解为，由 ，， ，得到，求出 ，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ；·········································2分 （2）解： ；·········································4分 （3）解：①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， ∵， ， ；·········································6分 ② ， ∵， ，， ∴，， ∴， ∴原式．·········································10分 26．（10分） 【答案】(1)a的值为0，b的值为 (2)x的值为或或4； (3)或或 【分析】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键． （1）根据因式定理，将和代入多项式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由(1)得到的具体表达式，再根据列出方程，通过因式定理找出方程的因式，分解因式后求解方程． （3）先计算和的值，根据题意设、，两式相减得到平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求出的正整数解． 【详解】（1）解：∵， ∴即① ∵， ∴ 即② 联立①②得 解得 ∴a的值为0，b的值为；·········································4分 （2）解：由（1）得， 当时，， ， 当时，， ∴是的因式， 当时，， ∴是的因式， 设另一个因式为， 则， 即， 解得， ∵， ∴， ∴或或， ∴x的值为或或4；·········································7分 （3）解：当，， 当，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，能写成某些正整数的平方， 不妨设①，②（其中，都是正整数）， 得：，即， ∵， 且，同奇同偶，且， 所有可能情况如下： 或或或或， 解得或或或或， 此时或或或或， ∵正整数m， ∴或或．·········································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 因式分解·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级上·北京大兴·期末）下列式子从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，需从左边多项式变形到右边积的形式，据此求解即可． 【详解】解：选项A：等式左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 选项B：等式左边是多项式，右边是乘积形式，且等式成立，属于因式分解； 选项C：等式左边是多项式，右边不是乘积形式，不是因式分解； 选项D：等式左边为，右边左边，等式不成立，不是因式分解． 故选：B． 2．（25-26八年级上·北京·月考）下列各式在实数范围内能用平方差公式分解因式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式的结构特征计算判断即可． 【详解】解：①，不能用平方差公式分解因式； ②，能用平方差公式分解因式； ③，能用平方差公式分解因式； ④不能用平方差公式分解因式； ⑤，能用平方差公式分解因式； 所以在实数范围内能用平方差公式分解因式的有3个， 故选：B． 3．（25-26八年级上·北京·月考）分解因式：，则的值为 （   ） A．7 B． C．25 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，根据平方差公式将等式右边展开，进而求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选D． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握利用提取公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键． 甲：利用平方差公式进行因式分解即可；乙：利用完全平方公式进行因式分解即可；丙：有理数范围内不能进行因式分解；丁：利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，在有理数范围内不能因式分解，符合题意； D、丁：，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级上·北京·期末）图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用．正确列出算式，并用因式分解进行简便计算是解题的关键． 根据放置冰块部分的面积可以看作两个正方形的面积差，列出算式，再用平方差公式分解因式，简便计算即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：D． 6．（25-26八年级上·北京·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用公式法分解因式、有理数的乘方．首先把等式的左边分解因式可得：，从而可得，然后整体代入求值即可． 【详解】解： 整理得：， 分解因式可得：， ， ． 故选：C． 7．（25-26八年级上·北京·月考）已知a，b，c分别是的三边长，若，则c的长是（   ） A．20 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用．将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键． 先把因式分解可得，已知①，从而得到②，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵①， ∴， ∴②， ∴②－①得，， 解得， 故选：C 8．（25-26八年级上·北京·月考）已知六元方程，满足，且a，b，c，d，e，f为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为（   ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有20组解； ④若，则该六元方程有1组解． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，根据因式分解得到，，是解决本题的关键．①把所给数值分别代入等式的左边和右边，看是否相等；②设最小的正整数为，分别计算出等式的左边和右边，看是否相等；③根据②得到的知识，结合③给的条件，看该六元方程有几组解即可．根据③的结论可得，据此可判断④． 【详解】解：，，，，，， ，． ． ，，，，，是该六元方程的一组解． ①正确； 设最小的正整数为，那么其余的数为：，，，，． ，． ． 连续的六个正整数一定是该六元方程的解． ②正确； ，连续的六个正整数一定是该六元方程的解． 连续正整数解为：1、2、3、4、5、6， 2、3、4、5、6、7， 3、4、5、6、7、8， 4、5、6、7、8、9共4组； ， ， ，，． 不连续正整数解为：1、2、3、4、6、7， 1、2、3、4、7、8， 1、2、3、4、8、9， 1、2、4、5、6、7， 1、2、4、5、7、8， 1、2、4、5、8、9， 1、2、5、6、7、8， 1、2、5、6、8、9， 1、2、6、7、8、9， 2、3、4、5、7、8， 2、3、4、5、8、9， 2、3、5、6、7、8， 2、3、5、6、8、9， 2、3、6、7、8、9， 3、4、5、6、8、9， 3、4、6、7、8、9共16组． 则该六元方程有20组解．故③符合题意； ④∵， 由③得：， ∴ ∴， ∵a，c，e均为正整数，且， ∴若， 当时，，此时符合题意， 当时，， 此时，，，，，，不符合题意舍去， 若， 此时，，则，不符合题意， ∴此时不再存在符合题意的解， ∴当，则该六元方程有1组解． 故④符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级下·北京·月考）分解因式：________． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解： ． 10．（25-26八年级上·北京·月考）已知整式可以因式分解为，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 11．（25-26八年级上·北京·月考）分解因式，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果是，则______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，代数式求值，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．先根据多项式乘多项式法则计算甲和乙的分解结果，从而得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·北京延边·月考）若关于x的方程，则代数式的值是_________． 【答案】5 【分析】根据已知方程得到，对所求代数式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】， ， ． 13．（2025·山东淄博·一模）若，，，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用、求代数式值等知识点，掌握因式分解的步骤以及公式的运用是解题的关键．先局部提公式、再运用公式法因式分解以及加括号，然后将已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·北京密云·月考）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 【答案】3 【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：，， 两式相加，得：， ， ， ，， ， ． 15．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）阅读材料：若（为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（为常数）有一个因式为，则因式分解_________． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解求参数、以及通过列竖式做多项式除法进行因式分解，由题意同理求出中的值，再通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，即可解题． 【详解】解：（为常数）有一个因式为， 当时，有， 即当时，有， 解得， 多项式为， ， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，由题意，，，且，故．由，得方程，整理得．因和为正整数且，枚举12的正整数因子对，满足条件的仅一组，解得，，故． 【详解】解：由已知，，，且． 展开得， 即， 因式分解得． 由于和是正整数，且，故，． 又，且， 因此可能因子对为，，． 当，时，解得，． 当，时，联立方程组解得，，不符合为正整数，舍去． 当，时，解得，与联立，得，，，但为正整数，舍去． 故唯一解为，，此时． 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26八年级上·北京东城·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： （2） ． 18．（5分）（25-26八年级上·北京海淀·月考）若n为正整数，试说明一定能被3整除． 【答案】见解析 【分析】此题考查因式分解的运用，首先利用提取公因式法进行因式分解，根据数据特点，进一步证得结论即可． 【详解】解：原式 ， ∴一定能被3整除． 19．（6分）（2025·北京海淀·二模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据可得出，代数式提因式得到，再用平方差公式即可得出，即可得到答案． 【详解】解：， 即， 20．（6分）（24-25八年级上·全国·期中）【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，首先得到个四位数为，仿照题干给定的方法，将表示为的形式，即可得证． 【详解】证明：根据题意，得这个四位数为． ． 因为能被3整除，也能被3整除，所以这个四位数能被3整除． 21．（6分）（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）爱思考的小候同学在学习因式分解的课上因为走神，没能听到刘老师讲的十字相乘法，因为害怕批评，小侯同学不敢去问刘老师，于是对于使用十字相乘法因式分解的题目，进行了如下研究： 对多项式进行因式分解，小侯同学通过观察发现，这个多项式的前两项与完全平方公式相似，于是他将整个多项式，使得多项式变为：； 随后他先使用完全平方公式变形得到：； 再次通过观察，他发现1可以理解为，此时借由平方差公式，可以将这个代数式变为：． 经过验证，所得答案确实为原多项式因式分解的结果，请你按照小侯同学的步骤解决一下问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将化为，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解； （2）根据题意，将化为，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查了平方差公式、完全平方公式因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 22．（8分）（25-26八年级上·北京丰台·期末）观察下列算式，完成问题： 算式①： 算式②： 算式③： 算式④： …… (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：_________； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为和（为整数），请证明上述命题成立； (3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不成立，反例见解析 【分析】（1）根据题意写出算式⑤，即可； （2）利用平方差公式进行因式分解，即可； （3）设两个连续奇数分别为和（为整数），利用平方差公式进行因式分解，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：算式⑤：； 故答案为： （2）解：设两个连续偶数分别为和（为整数）， ， ∵是4的奇数倍， ∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍； （3）解：不成立， 设两个连续奇数分别为和（为整数）， ∵是偶数， ∴任意两个连续奇数的平方差不是4的奇数倍， 例如：是4的2倍，不是奇数倍． 【点睛】本题考查了因式分解——平方差公式的应用，有理数的混合运算，合理应用公式是解决本题的关键． 23．（8分）（25-26八年级上·北京·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成便于记忆又不易破解的密码，其原理是：将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式可以分解成，若取，那么，，14和18就是因式码，将这两个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码1418．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．如果分解的结果有单项式，例如，我们取和的值作为两个因式码． (1)若多项式为，当时，请直接写出用上述方法生成的密码； (2)已知王老师手机的锁屏密码是6位数字323870，若王老师选取的多项式为，并且取x为自己的年龄生成锁屏密码，请求出王老师的年龄； (3)已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为16，请直接写出其他两个因式码． 【答案】(1)1525； (2)王老师的年龄是35岁； (3)20，36． 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意分解因式，代入求解即可； （ 2 ）因式分解得出，再进行讨论即可得解； （3）因式分解得出，再进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， ∴密码为1525； 故答案为：1525； （2）解：， ∵王老师手机的锁屏密码是6位数字323870， ∴三个因式码为32、38、70， 当时，， 此时，此时三个因式码为13，16，32，锁屏密码是131632，不符合题意； 当时，， 此时，此时三个因式码为26，32，58，锁屏密码是263258，不符合题意； 当时，， 此时，此时三个因式码为32，38，70，锁屏密码是323870，符合题意； ， 即王老师当前年龄是35岁； （3）解：， 显然， 当时，， 此时符合题意； 当时，（负值舍去）， 则，此时三个因式码为10，14，16，最小的因式码为10，不符合题意； 综上可知，当时，符合题意，其他两个因式码是20和36． 24．（8分）（25-26八年级上·北京·月考）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值20 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将变形为，再利用完全平方式的性质即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 当时，多项式有最大值20． 25．（10分）（25-26八年级上·北京西城·月考）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①20；②，24 【分析】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据 ，即可得出结果；②先将代数式因式分解为，由 ，， ，得到，求出 ，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； （3）解：①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， ∵， ， ； ② ， ∵， ，， ∴，， ∴， ∴原式． 26．（10分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 【答案】(1)a的值为0，b的值为 (2)x的值为或或4； (3)或或 【分析】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键． （1）根据因式定理，将和代入多项式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由(1)得到的具体表达式，再根据列出方程，通过因式定理找出方程的因式，分解因式后求解方程． （3）先计算和的值，根据题意设、，两式相减得到平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求出的正整数解． 【详解】（1）解：∵， ∴即① ∵， ∴ 即② 联立①②得 解得 ∴a的值为0，b的值为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 当时，， ∴是的因式， 当时，， ∴是的因式， 设另一个因式为， 则， 即， 解得， ∵， ∴， ∴或或， ∴x的值为或或4； （3）解：当，， 当，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，能写成某些正整数的平方， 不妨设①，②（其中，都是正整数）， 得：，即， ∵， 且，同奇同偶，且， 所有可能情况如下： 或或或或， 解得或或或或， 此时或或或或， ∵正整数m， ∴或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 因式分解·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级上·北京大兴·期末）下列式子从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·月考）下列各式在实数范围内能用平方差公式分解因式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级上·北京·月考）分解因式：，则的值为 （   ） A．7 B． C．25 D． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 5．（24-25八年级上·北京·期末）图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·北京·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·北京·月考）已知a，b，c分别是的三边长，若，则c的长是（   ） A．20 B．16 C．8 D．4 8．（25-26八年级上·北京·月考）已知六元方程，满足，且a，b，c，d，e，f为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为（   ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有20组解； ④若，则该六元方程有1组解． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级下·北京·月考）分解因式：________． 10．（25-26八年级上·北京·月考）已知整式可以因式分解为，则的值为________． 11．（25-26八年级上·北京·月考）分解因式，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果是，则______． 12．（25-26八年级上·北京延边·月考）若关于x的方程，则代数式的值是_________． 13．（2025·山东淄博·一模）若，，，则的值为_____． 14．（25-26八年级上·北京密云·月考）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 15．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）阅读材料：若（为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（为常数）有一个因式为，则因式分解_________． 16．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26八年级上·北京东城·月考）因式分解： (1)； (2)． 18．（5分）（25-26八年级上·北京海淀·月考）若n为正整数，试说明一定能被3整除． 19．（6分）（2025·北京海淀·二模）已知，求代数式的值． 20．（6分）（24-25八年级上·全国·期中）【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 21．（6分）（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）爱思考的小候同学在学习因式分解的课上因为走神，没能听到刘老师讲的十字相乘法，因为害怕批评，小侯同学不敢去问刘老师，于是对于使用十字相乘法因式分解的题目，进行了如下研究： 对多项式进行因式分解，小侯同学通过观察发现，这个多项式的前两项与完全平方公式相似，于是他将整个多项式，使得多项式变为：； 随后他先使用完全平方公式变形得到：； 再次通过观察，他发现1可以理解为，此时借由平方差公式，可以将这个代数式变为：． 经过验证，所得答案确实为原多项式因式分解的结果，请你按照小侯同学的步骤解决一下问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 22．（8分）（25-26八年级上·北京丰台·期末）观察下列算式，完成问题： 算式①： 算式②： 算式③： 算式④： …… (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：_________； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为和（为整数），请证明上述命题成立； (3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例． 23．（8分）（25-26八年级上·北京·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成便于记忆又不易破解的密码，其原理是：将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式可以分解成，若取，那么，，14和18就是因式码，将这两个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码1418．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．如果分解的结果有单项式，例如，我们取和的值作为两个因式码． (1)若多项式为，当时，请直接写出用上述方法生成的密码； (2)已知王老师手机的锁屏密码是6位数字323870，若王老师选取的多项式为，并且取x为自己的年龄生成锁屏密码，请求出王老师的年龄； (3)已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为16，请直接写出其他两个因式码． 24．（8分）（25-26八年级上·北京·月考）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 25．（10分）（25-26八年级上·北京西城·月考）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 26．（10分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 因式分解·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级上·北京大兴·期末）下列式子从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·月考）下列各式在实数范围内能用平方差公式分解因式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级上·北京·月考）分解因式：，则的值为 （   ） A．7 B． C．25 D． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算．运算的结果在有理数范围内能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 5．（24-25八年级上·北京·期末）图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·北京·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·北京·月考）已知a，b，c分别是的三边长，若，则c的长是（   ） A．20 B．16 C．8 D．4 8．（25-26八年级上·北京·月考）已知六元方程，满足，且a，b，c，d，e，f为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为（   ） ①，，，，，是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解； ③若，则该六元方程有20组解； ④若，则该六元方程有1组解． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级下·北京·月考）分解因式：________． 10．（25-26八年级上·北京·月考）已知整式可以因式分解为，则的值为________． 11．（25-26八年级上·北京·月考）分解因式，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果是，则______． 12．（25-26八年级上·北京延边·月考）若关于x的方程，则代数式的值是_________． 13．（2025·山东淄博·一模）若，，，则的值为_____． 14．（25-26八年级上·北京密云·月考）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 15．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）阅读材料：若（为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（为常数）有一个因式为，则因式分解_________． 16．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26八年级上·北京东城·月考）因式分解： (1)； (2)． 18．（5分）（25-26八年级上·北京海淀·月考）若n为正整数，试说明一定能被3整除． 19．（6分）（2025·北京海淀·二模）已知，求代数式的值． 20．（6分）（24-25八年级上·全国·期中）【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务． 我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除． 任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 21．（6分）（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）爱思考的小候同学在学习因式分解的课上因为走神，没能听到刘老师讲的十字相乘法，因为害怕批评，小侯同学不敢去问刘老师，于是对于使用十字相乘法因式分解的题目，进行了如下研究： 对多项式进行因式分解，小侯同学通过观察发现，这个多项式的前两项与完全平方公式相似，于是他将整个多项式，使得多项式变为：； 随后他先使用完全平方公式变形得到：； 再次通过观察，他发现1可以理解为，此时借由平方差公式，可以将这个代数式变为：． 经过验证，所得答案确实为原多项式因式分解的结果，请你按照小侯同学的步骤解决一下问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 22．（8分）（25-26八年级上·北京丰台·期末）观察下列算式，完成问题： 算式①： 算式②： 算式③： 算式④： …… (1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：_________； (2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为和（为整数），请证明上述命题成立； (3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例． 23．（8分）（25-26八年级上·北京·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成便于记忆又不易破解的密码，其原理是：将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式可以分解成，若取，那么，，14和18就是因式码，将这两个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码1418．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．如果分解的结果有单项式，例如，我们取和的值作为两个因式码． (1)若多项式为，当时，请直接写出用上述方法生成的密码； (2)已知王老师手机的锁屏密码是6位数字323870，若王老师选取的多项式为，并且取x为自己的年龄生成锁屏密码，请求出王老师的年龄； (3)已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为16，请直接写出其他两个因式码． 24．（8分）（25-26八年级上·北京·月考）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 25．（10分）（25-26八年级上·北京西城·月考）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 26．（10分）（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $