4.重难题型卷(二）二元一次方程(组)及应田-【真题圈】2025-2026学年七年级下册数学练考试卷（北京版·新教材）北京专版

20.【解】设该学生接温水的时间为xs,接开水的时间为ys, 根据题意得20x+15y=210, (100-60)×15y=(60-30)×20x 解得x=6 y=6. 答：该学生接温水的时间为6s,接开水的时间为6s. 21.【解】由题意可得{ 2a-(2b-D=0,解得 a=6, 4(b-2)-3a=0, 6=3所以a的值为 Γ2 6,b的值为3 a-b+c=4, a=1, 22.【解】(1)由已知，得{4a+2b+c=4,解得{b=-1, a+b+c=2, (c=2. (2)由(1)，得y=x2-x+2,当x=-2时，y=4+2+2=8。 23.【解】由题意可得新的方程组3x-2y=4解得x=2, 5y-x=3, y=1. 把化二子R人产2n年仁 y=1 n=-1, 所以3m+2n=12-2=10. 24.【解由题意可知4不是方程①的解 ∫x=-1不是方程 y=1 ②的解.把=1代人方程②中，得b+4=7,解得6=3. y=-4 把=代人方程0中，得-2+a=1,解得a=3, y=1 把a=3,代人方程组2x+3y=1 b=3 3x-y=7,② 解得=2 y=-1, 所以原方程组的解为x=2, y=-1. 25.【解】（方法1）我选择乙同学的思路.两式相加得5x+10y=5m+ 5,所以x+2y=m+1.因为x+2y=5,所以m+1=5,所以m=4. 理由：利用整体思想，解题更简单 (方法2)我选择丙同学的思路. x+2y=5,① 2x+3y=8,② 由①，得x=5-2y③ 把③代入②，得2(5-2y)+3y=8,解得y=2.④ 把④代人③，得x=1.所以方程组的解为x=1 y=2. 把x=代入3x+7y=5m-3,得3+14=5m-3,解得m=4 y=2 理由：这两个方程中没有m,能够求出x,y的值. 26.【解】任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒 2x+3y=700,① 由题意得 25x+35y=8500,② 解得x=20, y=100. 答：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒. 任务二：设分装时使用精包装盒m个，简包装盒n个(m,n为 正整数).依题意可列出下列方程和不等式： 2m+3n=75,①m+号<18.② 由①得m=75,3.将m=75,3代入②得>19.5. 2 2 因为m,n为正整数，所以n=21,m=6或n=23,m=3. 分装方案1：精包装6盒，简包装21盒. 分装方案2：精包装3盒，简包装23盒. (两种分装方案任选一个即可) 21.解11)13 (2)由(1)可得，格点三角形ABC的面积为1，格点四边形 真题圈数学七年级下5E DEFG的面积为号.因为格点多边形的面积S=M4aL+h,所 以结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得， 4a+b=1, 2+5a+b=2 b=-1. (3)费分析：由(2)知，5=4号1将N=14,L=7代 入8=4号-1，得S=14+3-1- Γ2 28【解(1)该方程组是“友好方程组”. 理由如下：解方程组，得x=满足K-=1,符合定义。 y=2, x=2m+9 (2)解方程组，得 ’因为k-列=1， y=8m-6 7 所以2m+9861,5,61,解得m-载m=号. 7 7 7 (3)可以.方程组两式相加，得(a+2)y=12, 由题意可知，x,y,a均为正整数，所以需满足(a+2)y=12,可 得a=0=2a=4a=10由方程2-x=5可得=4 y=4,y=3,y-2,y=1, x=3, 〔y=3,y=2,（舍)=1，（舍，因为k-y=1,所以满足友 x=1,x=-1, x=-3, 好方程组”的解为=3则a=1. y=4, 综上所述，a=1,方程组的解是x=3, y=4. 4.重难题型卷（二）二元一次方程（组）及应用 1.C 2.D【解析】因为x=3,是方程ax+by=10的解，所以3a+b= y=1 我a=2或a=3所以 0因为a,6都是正整数，所以6二或6=4火6=1” a+b的最大值是1+7=8.故选D. 3.D【解析)x+2y-6=0,@ ①+②，得(2+m)x=1,解得 x-2y+mx+5=0,② X三3寸因为x为整数，m为整数，所以2+=士1，所以m 的值为-1或-3.故选D. 4-贵【解析]r+4=加+30 11x+6y=4,② ①×2，得6x+8y=8m+6,③ ②-③，得5x-2y=4-8m-6.因为关于x,y的二元一次方程组 3x+4y=4m+3,的解满足方程5x-2y=3m+10,所以4-8m-6 11x+6y=4 =3m+10,解得m=-是故答案为-品 5.1-1【解析】方程可化为(2x-3y-5)m+(x+2y+1)=0,因为不 论m取何值，等式都成立，所以2x-3y-5=0, x+2y+1=0,② 解得x=1 y=-1 故答案为1；-1. 6.【解 3x-2y=2,0①-②，得2x-y=3-a因为方程组的解 x-y=a-1,② 答案与解析 满足2x-a>y+1,所以2x-y>a+1,所以3-a>a+1,解得a<1. 72.【解11)因为x=↓。和x=24都是关于x,y的二元一次方 y=a+8y=1 程x+y=m的解，所以1+a+8=m,2a+1=m,解得a=8. (2)当a=8时，二元一次方程xy=m的解为x=↓和x=16, y=16"y=1, 所以m=x+y=17. 又因为 x=五也是=17的解，所以b+b=17,解得b=号 y=b 21 &.C【解析由题意可得2ax+b(3y-2)=m, 2cx+d(3y-2)=n, 因为方程组+=m的解为=↓所以2x=, cx+dy=n y=1, 3y-2=1, 解得-之所以方程组+-6m的解为=2》 1 y=1 2cx+3dy-2d =n y=1. 故选C 【解析1+23,0 9.y=1 10x-3(x+2)=L②把①代入②，得10r- 3×3=1,解得x=1.把x=1代入①，得1+2y=3,解得y= 1所以原方程组的解是x=故答案为=↓ y=1. y=1. 2021x+2023y=2025,① 10.【解】{ 2024x+2026y=2028,② ②-①，得3x+3y=3,整理得x+y=1.③ ①-③×2021，得2y=4,解得y=2.把y=2代入③，得 x+2=1,解得x=-1所以原方程组的解为x=1, y=2. 11.【解】(1)-46分析： J3x+2y=13,① 2x+3y=17,② ①-②，得x-y=-4.①+②，得5x+5y=30,所以x+y=6. (2)由题意，得3a-5b+c=15,0 4a-7b+c=28,② ①×3-②×2，得a-b+c=-11.所以1※1=a-b+c=-11. 12.C 13.8【解析】设小长方形的长为x,宽为y,由题意知 [2x=x+3y, 29廊 x=3,所以小长方形的周长为2×(3+1) y=1, =8.故答案为8. 14.【解(1)设横式纸盒做了x个，竖式纸盒做了y个， 根据题意得3x+4y300解得=20， 2x+y=100, y=60. 答：横式纸盒做了20个，竖式纸盒做了60个 (2)a+b是5的整数倍.理由如下： 设横式纸盒做m个，竖式纸盒做n个， 根据题意得3m+4n=“所以a+h=5(m+m）. 2m+n=b, 又因为m,n均为正整数，所以a+b是5的整数倍 15.D 16.8【解析】设购买《马小跳玩数学》x本，《漫画数学》y本，根 据图意得25+32=10，所以x=40-是x又因为x,y均 为正整数，所以=8，所以购买《马小跳玩数学》8本.故答 y=25, 案为8. 17.【解】(1)设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋 每套的售价为y元.由题意，得3x+5=180,解得x=250, 14x+10y=3100, y=210. 答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每 套的售价为210元. (2)设A种材质的围棋采购α套，则B种材质的围棋采购 (30-a)套.由题意，得200a+170(30-a)≤5400，解得a≤10， 所以a的最大值为10. 答：A种材质的围棋最多能采购10套 18.B【解析】设小明购买钢笔x支，橡皮y块.由题意可得10x+ 2y=40,解得=或=2或x=2所以小明的购买方案 y=15y=10y=5, 共有3种.故选B. 19.【解】(1)设用小车型的车x辆，中车型的车y辆， 由题意得 5x+8y=120, 400x+500y=8200, 解得x=8 y=10. 答：用小车型的车8辆，中车型的车10辆 (2)设用小车型的车a辆，中车型的车b辆，则用大车型的车 (15-a-b)辆.由题意，得5a+8b+10(15-a-b)=120 整理得a=6-是b.因为a,b均为正整数，所以 8g或 a=2, b=10, 所以有2种用车方案： ①用小车型的车4辆，中车型的车5辆，大车型的车6辆，运费 为4×400+5×500+6×600=7700（元）： ②用小车型的车2辆，中车型的车10辆，大车型的车3辆，运 费为2×400+10×500+3×600=7600（元）. 因为7700>7600，所以用车方案中运费最少是7600元 5.阶段学情调研（一） 题号1 23456 78 答案DCABBAAD 1.D2.C3.A4.B 5.B【解析】由题意，得 -2a+b=3,解得a=1 -a+b=2, b=1, 则不等式ax+b<0可化为-x+1<0,解得x>1.故选B. 6.A 7.A【解析】由a*b=4a-3b,知m*2=4m-6. 因为m*2<0,所以4m-6<0,解不等式，得m<号.故选A. 8.D【解析】+3y4-a,①②-①，得4=4a4,解得y= x-y=3a,② 1-a,把y=1-a代入②，得x-l+a=3a,解得x=2a+1, 所以方程组的解为=2+因为这个方程组的解，y的值互 y=1-a. 为相反数，所以x+y=0,所以2a+1+1-a=0,解得a=-2,故 ①正确； 因为方程组的解为{ x=2a+l所以当a=1时， x=3, y=1-a, y=0, 所以当a=1时，原方程组的解满足x+y=3+0=3,方程x+y =1+2a的解满足x+y=1+2=3,所以方程组的解也是方程 x+y=1+2a的解，故②正确； 原方程组的解为=2a+1则x+2y=2a1+2(1-o)=2a+142- y=1-a, 2a=3,所以无论a取什么实数，x+2y的值始终不变，故③正确 综上所述，其中正确的是①②③.故选D.真题圈数学 同步调研卷 七年级下5E 4.重难题型卷（二） 湘粑 二元一次方程（组）及应用 尽 州 题型一含参问题 岩期 1.(期末·密云区)方程ax-4y=x-1是关于x,y的二元一次方 程，则a的取值范围为( A.a≠0 B.a≠-1 C.a≠1 D.a≠2 2.(期中·顺义区)已知 x=3,是方程ax+by=10的解，a,b都 y=1 是正整数，则a+b的最大值是( ) A.3 B.4 C.6 D.8 x+2y-6=0, 製 3.(期中·清华附中)已知关于x,y的方程组 x-2y+mx+5=0, 若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的值为() A.-1 B.1 C.-1或3A D.-1或-3 4.(期中·人大附中)如果关于x,y的二元一次方程组 3x+4y=4m+3,的解满足方程5x-2y=3m+10,则m的值 11x+6y=4 批 为 5.(期中·清华附中)不论m取何值，等式(2m+1)x+(2-3m)y+ 1-5m=0都成立，则x= _,y= 6.(期中·房山区)已知关于x,y的二元一次方程组 3x-2y=2,的解满足2x-a>41,求a的取值范围. x-y=a-1 些加 阳湖 7.(期中·首师大附中)已知关于x,y的二元一次方程x+y=m, x=1, x=2a都是该方程的解。 和 y=a+8"y=1 (1)求a的值 (2) x=b也是该方程的一个解，求b的值. [y=b 题型二巧解方程组 8,若方程组%的解为 cx+dy=n 则方程组 [2ax+3by-2b=m的解为( 2cx+3dy-2d=n 1 x=1, x=2, x= A. B. D.R y=1 y=3 x=2 2 y=1 y=3 9.(期中·通州区改编)关于x,y的二元一次方程组 x+2y=3, 的解为 10x-3(x+2y)=1 10.方法探索（期末·通州区改编）解答题： 解方程组 32x+35y=38,0时，由于x,y的系数及常数项的 30x+33y=36② 数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅 计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较 简单： ①-②，得2x+2y=2,所以x+y=1,③ ③×35-①，得3x=-3, 解得x=-1,从而y=2, 所以原方程组的解是{ x=-1, y=2. 11 请你运用上述方法解方程组 2021x+2023y=2025, 2024x+2026y=2028. 11.（期中·北京十三中分校)有些关于方程组的问题，需要求的 结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的 值，如以下问题： 已知实数x,y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和 7x+5y的值. 本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x,y的 值，再代人欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较 大.小明在做题过程中仔细观察两个方程未知数的系数之 间的关系，发现本题还可以通过适当变形整体求得代数式的 值，如由①-②，可得x-4y=-2,由①+②×2，可得7x+5y =19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 请同学们运用这样的思想解决下列问题： ()已知三元一次方程组3x+2=18则xy= 2x+3y=17, x+y= (2)对于实数x,y,定义新运算：x※y=ax-by+c,其中a,b,c 都是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3※5= 15,4※7=28，求1※1的值. 题型三二元一次方程（组）的应用 类型1几何图形问题 12.（模考·北京一七一中学)一副三角尺按如图方式摆 放，且∠1的度数比∠2的度数大50°， 若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程 组为( A. x=y-50 x=y+50, B. x+y=180 x+y=180 C.x=y+50, D.{ x=y-50, 第12题图 x+y=90 x+y=90 13.(期末·门头沟区)如图，是由8个 形状、大小都相同的小长方形无缝 拼接而成的大长方形.如果大长 方形ABCD的周长是20，那么每 个小长方形的周长是 第13题图 14.（期中·通州区)用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面 和底面，做成如图②的横式和竖式两种无盖纸盒 (1)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若 两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做了多少个？ (2)若仓库里有α张长方形纸板和b张正方形纸板，要使两 种纸板恰好用完，则α+b应满足什么条件，请说明理由 金星教有 ① ② 第14题图 类型2销售问题 15.数学文化（期末·密云区）我国古代数学名著《张邱建算经》 中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持 粟三斛，得酒五斗.问清、醑酒各几何？” 译文：今有1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷 子.现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒和醑酒各几斗？ 根据题意，设清酒有x斗，醑酒有y斗，则下列方程组正确的 是( ) x+y=30, x+y=30, A. B. 3x+10y=5 10x+3y=5 C. x+y=5, x+y=5, D. 3x+10y=30 10x+3y=30 16.(期末·延庆区)每年的3月14日为国际数学日，是为纪念 中国古代数学家祖冲之而设立.为庆祝第六个国际数学日， 某校在2025年3月举办了丰富多彩的数学节活动.为了 增加同学们的数学阅读乐趣，决定购买两种图书：《漫画数 学》每本32元，《马小跳玩数学》每本25元.学校总共花费 1000元，且两种图书都至少购买一本.则购买《马小跳玩数 学》 本 17.围棋起源于中国，中国古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有 4000多年的历史.某商家销售A,B两种材质的围棋，每套 进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况： 销售数量 销售时段 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A,B两种材质的围棋每套的售价 (2)若商家准备用不多于5400元的金额再采购A,B两种 材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套」 类型3方案问题 18.（期末·顺义区)小明到文具店购买钢笔和橡皮，共用40元 (两种物品都要买)，已知钢笔每支10元，橡皮每块2元，则 小明的购买方案共有( A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 19.(期末·通州区)某工厂在甲地购买了一批原材料共120t, 运往工厂车间进行加工生产.工厂有小、中、大三种车型可 供运输使用，每种车的运载量和运费如下表（假设每辆车均 满载)： 车型 小 中 大 运载量/(t/辆) 5 8 10 运费/（元/辆） 400 500 600 (1)若这批物资用小、中两种车型来运送，需运费8200元， 则需小、中两种车型的车各几辆？ (2)工厂决定用小、中、大三种车型，共15辆车同时运送这批 原材料，请你写出所有符合条件的用车方案，用车方案中运 费最少是多少元？（小、中、大三种车均要参与运送） 拒绝盗印