专题03 二元一次方程组的参数问题专训8大题型（专项训练）数学新教材北京版七年级下册

专题03 二元一次方程组含参问题专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、忽略二元一次方程组中的系数不为0 1 题型二、已知二元一次方程组的解求参数的值 2 题型三、解二元一次方程组中符号或数字看错问题 3 题型四、二元一次方程组中同解方程组 5 题型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 6 题型六、已知二元一次方程组的解之间的情况求参数或代数式的值 8 题型七、与二元一次方程组有关的新定义参数问题 9 题型八、二元一次方程组特殊解法中的参数问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、忽略二元一次方程组中的系数不为0 1．已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据二元一次方程的定义，方程需满足两个未知数的次数均为1，且系数不为零； 【详解】1. 系数条件：方程中的系数为，需满足，即， 2. 次数条件：的指数为，需满足，解得，即或， 3. 排除矛盾：当时，的系数为0，方程退化为关于的一元一次方程，不符合“二元”条件，故舍去， 4. 验证唯一解：当时，的系数为，y的指数为，方程化为，符合二元一次方程的定义， 综上，， 故选：B； 2．如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ） A．2 B．2或 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，绝对值，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 利用二元一次方程定义可得答案． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， 且， 解得， 故选：D． 3．已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 4．若是关于x、y的二元一次方程，则的值_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程，根据二元一次方程的定义求出a、b的值，再代入求出的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 5．若方程是关于x，y的二元一次方程，则________，________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得且，，进而求解即可． 【详解】由题意可得且，， 解得，． 故答案为：，1． 题型二、已知二元一次方程组的解求参数的值 6．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解方程的解的定义是解题的关键．把代入方程求解即可． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的解， ， ， 故答案为：6． 7．已知是方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式求值，解题的关键是将方程的解代入方程，再对所求代数式进行变形求值． 先把方程的解代入方程，得到的值，再将所求代数式变形，整体代入求值． 【详解】已知是方程的一个解， 把代入方程中，可得 变形可得， 把代入，则，即． 故选：B． 8．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值是______． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解掌握二元一次方程的解是解题的关键． 把代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：． 故答案为：5 9．已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． （1）根据方程的解的定义，直接把，的值代入方程，即可求出的值； （2）先把方程整理为，可知当，不论取任何一个不为0的值时，都有，从而求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得． （2）解：原方程可化为， 根据题意，当，不论取任何一个不为0的值时，都有， 解得，， 即，． 10．已知和是方程的两个解，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查方程的解及代数式求值，由题意，将和代入方程，求出、，代入即可得到答案，熟记方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：当时，得到，解得； 当时，得到，则，解得； ． 题型三、解二元一次方程组中符号或数字看错问题 11．解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识，根据题意，由错解得到，再由正解确定，进而得到二元一次方程组，求解即可得到，代入代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识是解决问题的关键． 【详解】解：设一学生将看错成，则方程组的解是， ，则， 方程组的解是， ，则， 综上所示，联立，解得， ， 故选：C． 12．小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【详解】解：将、代入得： 得：， 把代入①得：， 解得：． 故选：B 13．甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． 由于甲看错了，将甲计算得到的解代入等式（2），可求得的值；同理，由于乙看错了，将乙计算得到的解代入等式（1），可计算得的值，然后代入即可求出方程组的解． 【详解】解：将代入方程组中的． 得，解得：． 将代入方程组中的， 得，解得：． 所以原方程组， 解得：． 故答案为：． 14．小明在解关于x，y的二元一次方程组 时，只抄对了 ，，求出的解为 ，他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的错解复原，把代入可得，再进一步解题即可. 【详解】解：由题意可得：， 方程组的解为：， ∴， 解得：， ∴原方程组为：， ②①得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； 故答案为：． 15．已知关于的二元一次方程组． (1)若，请写出方程①的所有正整数解； (2)由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，求的值及原方程组的解． 【答案】(1)， (2)；； 【分析】（1）将代入方程，分别令，，求出对应的的值即可； （2）将代入②式可求得的值；将代入①式可求得的值；从而得出原方程组，进一步解方程组即可； 【详解】（1）解：将代入方程可得： 当时，； 当时，； 当时，，没有符合条件的解； ∴该方程的正整数解为：， （2）解：将代入②得： 解得： 将代入①得： 解得： ∴原方程组为 得： 解得： 得： 解得： ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程的关系是解决本题的关键． 题型四、二元一次方程组中同解方程组 16．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由，解得， ∴，解得， ∴； 故选D． 17．已知方程组的解和方程组的解相同，则的值为（   ）． A． B．4 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程的运算法则是解题的关键．重新组合方程组，得到关于的方程组，求出的值，得到关于的方程组，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：方程组的解和方程组的解相同， 与上述方程组有相同的解， 解得， 将其代入， 得， 解得， ． 故选：C． 18．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_______，_______． 【答案】 / 【分析】本题考查了方程组的解，先求出第二个方程组的解，代入第一个方程组，求得新方程组的解即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入得入， 解得：， 故答案为：，． 19．若关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解，则______，______． 【答案】 1 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用方程组的解的定义，，满足个方程，则先解和组成的方程组，再把、代入另外两个方程得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值．能得出关于、的方程组是解此题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解， ∴关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解， 解方程组，得， 把代入，得， 解得：， 故答案为：；． 20．已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组的问题、解二元一次方程组： （1）根据题意可得方程组，解得，据此代值计算即可； （2）根据（1）所求得到方程组，解得，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵方程组和方程组的解相同， ∴方程和方程有相同的解， 联立，解得， ∴； （2）解：由（1）可知方程组， 解得， ∴． 题型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 21．已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 22．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求a，b的值． 【答案】a的值为3，b的值为2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，把代入，得出关于a、b的方程，然后解方程组即可. 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组的解为， ， 解得， 即a的值为3，b的值为2. 23．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 24．已知关于x，y的方程组的解为求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值，解决问题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组，可得关于m与n的方程组，解方程组得到的值，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程组， 得， 解得， 则． 25．已知是关于，的方程组的解，则的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求出，，再整体代入计算即可． 【详解】解：把代入， 得， ②①得，即， ②①得，即， 所以． 题型六、已知二元一次方程组的解之间的情况求参数或代数式的值 26．若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，得到，即，再结合已知条件，建立关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：， ①+②得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解． 【答案】 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组特殊解法．先解方程组，求出用a表示的x、y的值，由题意，可以整除，根据整除关系得到的因数为,，再尝试求得整数a，使x、y都是整数． 【详解】解：解原方程组得，， 由于 则可以整除，即可以整除， 故可知，， 则的因数为, 当时，舍去， 当时，舍去， 当时，舍去， 当时，， 把代入解得， ∴原方程组的整数解为． 28．已知关于x、y的方程组的解满足，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，根据二元一次方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握解二元一次方程组的步骤． 利用代入法消去原方程组中的一个元，然后表示出来另外一个元，进而列出方程求解即可． 【详解】解： 由得，，代入原方程组得， 整理①得，； 整理②得，； ∴， 解得． 29．（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【答案】（1）；（2）；（3）1，2，3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法解二元一次方程组． （1）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x即可； （2）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可； （3）解方程组求出，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可． 【详解】解：（1）， 由得， 把代入得， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）， 由得， 把代入得， 把代入，得， 方程组的解为； （3）， 得， ∴， 关于，的二元一次方程组的解满足， ， ， 满足条件的的所有正整数值为，，． 30．已知、满足，且，求的值． 三位同学经过思考，分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于、的方程组，再求的值： 乙同学：先将方程组的两个方程相加，再求的值； 丙同学：先解方程组，再求的值； 请从中选择一种你最欣赏的解题思路来解答此题． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 甲同学：先利用加减消元法求出方程组的解，再代入可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； 乙同学：先将方程组的两个方程相加可得，再根据求解即可得； 丙同学：先利用加减消元法求出方程组的解，再代入方程求解即可得． 【详解】解：甲同学：， 由①②得：，解得， 将代入②得：，解得， ∵、满足， ∴， 解得． 乙同学：将方程组的两个方程相加得：， ∴， ∵、满足， ∴， 解得． 丙同学：， 由③④得：，解得， 将代入③得：，解得， 将，代入方程得：， 解得． 题型七、与二元一次方程组有关的新定义参数问题 31．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是 （只填写序号）； ①；②；③； (2)若关于x，y的方程组是“郡一”方程组，求a的值； (3)若对于任意的无理数m，关于x，y的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得， ∴， ∴①不是“郡一”方程组； ， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴， ∴②是“郡一”方程组； ∵， ∴， ∴③是“郡一”方程组． 故答案为：②③． （2）解：， ，得， ∵原方程组是“郡一”方程组， ∴， ∴． （3）解：∵关于x，y的方程组都是“郡一”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 32．定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”或，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 或， ①当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ； ②当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ． 综上所述，该方程组的解为或． 33．给出定义：对于关于、的二元一次方程（其中 ），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”_____，以及它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于、的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的值． (3)若关于、的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于、的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)； (2) (3)52 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“镜像方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：的“镜像方程”为； 它们组成的方程组为， 解得：； 故答案为：；； （2）解：由题意可知，的镜像方程为， 联立方程组得 方程组的解为， 解得 ． （3）解：， ． 与其镜像方程所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得． ． 34．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 35．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】 （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________； ②的解为___________， ③的解为___________； （4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________； 【拓展】 （5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________ 【答案】（1）； （2）；； （3）①；②；③； （4）； （5）． 【分析】（1）根据题中的对称二元一次方程定义即可得解； （2）根据题中的对称二元一次方程定义得出后即可得解； （3）①根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ②根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ③根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； （4）由（3）总结出规律：关于、的“对称二元一次方程组”的解为，从而可以判断得解； （5）根据题意，方程可以化为，结合关于、的方程组的解是，即可得解． 【详解】解：（1）根据题意得，方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：． （2）为“对称二元一次方程组”， ， 解得． 故答案为：；． （3）①， 两式相加得，， 则， ，， 即的解为； ②，同理可得； ③，同理可得； 故答案为：①；②；③． （4）由（3）得，关于、的“对称二元一次方程组”的解为， 方程组的解为． 故答案为：． （5）， ， 又关于、的方程组的解是， ， 即， 方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是解三元一次方程组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解题关键是理解题意． 题型八、二元一次方程组特殊解法中的参数问题 36．已知方程组，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，掌握整体思想成为解题的关键．两方程作和，然后整理即可解答． 【详解】解：， 可得：，解得：． 故选C． 37．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，由题意可得，解方程组即可求解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组中， ∴， 故选：． 38．已知关于的方程组的解满足，则关于的方程组的解为___________． 【答案】 【分析】通过设，把关于的方程组转化为已知解的关于的方程组，再解关于的方程组得到答案． 【详解】解：方程组可变形为， 令， 则关于的方程组可转化为， 已知原方程组的解是， ∴，解得． 39．把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和换元法是解题的关键． 设，易得，再结合已知条件可得，即；再运用加减消元法求解即可． 【详解】解：设， 则关于a、b的二元一次方程组可化为， ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴， ①②可得，解得：， 将代入得：， 解得：， 所以． 故答案为：． 40．阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，，方程组的解为 (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答． （3）利用换元法结合方程组的解的定义得到，再解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：设 ，， ∴原方程组可变为：， 解这个方程组得， 即， 所以， 故答案为：，； （2）解：设， ∴原方程组可化为：， 解得， ∴ 解得； （3）解：由题意得，， 解得：． 1．（24-25七年级下·北京顺义·期末）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A． B．0或2 C．2 D．0 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程定义可得：，且，再求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：D． 2．（24-25七年级下·北京·期末）已知和都是方程的解，则k、b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程解的意义，解二元一次方程组，解题关键是掌握二元一次方程组的解法． 先将解代入方程，得到关于k、b的方程组求解． 【详解】解：∵和都是方程的解， ∴，解得：， 故选：B． 3．（24-25七年级下·北京东城·期末）某科研小队在一处遗迹中发现了古人的残破书籍，书籍上记录了一个方程组，翻译后为，方程组的解为，其中与处已经看不清了，请你用所学的知识帮科研人员确定的值为（    ） A． B． C．1 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程解的定义，熟记二元一次方程解的定义是解题的关键，把代入求出，把代入即可求解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把代入得：． 故选：B． 4．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 5．（24-25七年级下·北京·月考）关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【答案】 【分析】本题考查方程组解的意义以及解二元一次方程组，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题是关键． 先联立两个不含参数的方程求得方程的相同解，再代入含参数m、n的方程解出m和 n的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，解方程组 ， 解得， 代入 和 得 ， 解得， ∴． 故答案为：． 6．若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 【答案】(1) (2)2， 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）利用加减法解方程组即可； （2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解． 【详解】（1）， ②-①得： 解得：， 把代入①得：， 解方程组为； （2），， ， 解得：， 的整数解是：2， 7．（24-25七年级下·北京海淀·阶段练习）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成5，请你解二元一次方程组 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请你通过计算说明原题中“□”是几． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解求参数． （1）根据加减消元法计算即可； （2）设印刷不清的数字为a，由题意可知，代入求出，可知，最后将代入计算即可． 【详解】（1）解： 得， 解得， 将代入得， 解得：， ∴； （2）解：设印刷不清的数字为a， 由题意，得， 将其代入中， 得， 所以． 将代入， 得， 即原题中□是3． 8．（24-25七年级下·北京通州·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，二元一次方程组的解法，同解方程组的含义，掌握“二元一次方程组的解法” 是解本题的关键． （1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可． 【详解】（1）解：方程的所有正整数解：或； （2）解：由题意得：， 解得， 把 代入， 得： ， 解得． 9．（24-25七年级下·北京·月考）对于关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． (1)方程组的解x与y______（“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)关于x，y的方程组，其中a、b都是正整数，若该方程组的解x与y具有“友好关系”，请求出a，b的值． 【答案】(1)具有 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可； （2）利用加减消元法得到，再根据“友好关系”的定义得到，解方程即可得到答案； （3）利用加减消元法求出方程组的解，进而得到，根据“友好关系”的定义可得，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为， ∴， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2）解： 得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴， ∴或， 解得或， ∴m的值为或； （3）解： 得，，解得， 把代入②得，， ∴， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”， ∴， ∴， 当时，可得， ∵a与b都是正整数， ∴或； 当时，可得，而a与b都是正整数矛盾，此种情况不成立， ∴当或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 10．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）已知关于的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； 【答案】(1)：或 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过讨论求二元一次方程组的正整数解是解题的关键． （1）对x、y分别赋值讨论即可； （2）用代入法求二元一次方程组的解即可． 【详解】（1）解：方程变形得： ∵y为正整数， ∴当时，； 当时， ∴方程 的所有正整数解为：或； （2）解：∵方程组的解满足方程， ∴方程组与方程组是同解方程． 解方程组得 将代入， 得， 解得：． 11．（24-25七年级下·北京西城·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出的所有非负整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组． （1）根据x，y为非负整数即可求出方程的所有非负整数解； （2）先解二元一次方程组，然后把x、y的值代入方程中即可求出的值． 【详解】（1）解：∵x，y为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为，，； （2）解：根据题意得， ①②得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解是， 将代入中，得， 解得． 12．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 13．（24-25七年级下·北京·月考）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组 小辉：哈哈！直接①②可以更简便地求出的值 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为 ，的值为 ． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】(1)5， (2)1 【分析】（1）联立①③，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值； （2）利用，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）解不含的二元一次方程组，求出，的值；（2）两方程作差结合结合，找出关于的一元一次方程． 【详解】（1）解：联立①③得：， 得：， 将代入③得：， 解得：， 原方程组的解为． 故答案为：5，； （2）解：， 得：， ， ， ． 14．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①，② (2)或0 【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． 15．延时课上，小红和小明在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的方程组的解满足为非负数．求m的取值范围．    小红：用含有m的式子分别表示x，y，再让即可． 小明：哈哈，直接①－②可以简便地求出m的取值范围． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小红的方法，______，______；（用含m的代数式表示） (2)小明的方法体现了整体代入的思想，请按照小明的思路求出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵为非负数． ∴， ①+②得， 即， 将代入②得， 解得， 故答案为：；； （2）解：①-②得， 即， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组含参问题专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、忽略二元一次方程组中的系数不为0 1 题型二、已知二元一次方程组的解求参数的值 2 题型三、解二元一次方程组中符号或数字看错问题 3 题型四、二元一次方程组中同解方程组 5 题型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 6 题型六、已知二元一次方程组的解之间的情况求参数或代数式的值 8 题型七、与二元一次方程组有关的新定义参数问题 9 题型八、二元一次方程组特殊解法中的参数问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、忽略二元一次方程组中的系数不为0 1．已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 2．如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ） A．2 B．2或 C．1 D． 3．已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 4．若是关于x、y的二元一次方程，则的值_______． 5．若方程是关于x，y的二元一次方程，则________，________． 题型二、已知二元一次方程组的解求参数的值 6．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为______． 7．已知是方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C．6 D．8 8．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值是______． 9．已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 10．已知和是方程的两个解，求的值． 题型三、解二元一次方程组中符号或数字看错问题 11．解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 13．甲乙两人共同解关于，的方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则关于，的方程组的正确解为______． 14．小明在解关于x，y的二元一次方程组 时，只抄对了 ，，求出的解为 ，他核对时发现所抄的c比原方程组的c值小1，则原方程组的解为__________． 15．已知关于的二元一次方程组． (1)若，请写出方程①的所有正整数解； (2)由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，求的值及原方程组的解． 题型四、二元一次方程组中同解方程组 16．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．已知方程组的解和方程组的解相同，则的值为（   ）． A． B．4 C．1 D． 18．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_______，_______． 19．若关于，的方程组与关于，的方程组具有相同的解，则______，______． 20．已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 题型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 21．已知是二元一次方程组的解，求的值． 22．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求a，b的值． 23．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 24．已知关于x，y的方程组的解为求的值． 25．已知是关于，的方程组的解，则的值． 题型六、已知二元一次方程组的解之间的情况求参数或代数式的值 26．若方程组的解满足，求的值． 27．已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解． 28．已知关于x、y的方程组的解满足，求k的值． 29．（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 30．已知、满足，且，求的值． 三位同学经过思考，分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于、的方程组，再求的值： 乙同学：先将方程组的两个方程相加，再求的值； 丙同学：先解方程组，再求的值； 请从中选择一种你最欣赏的解题思路来解答此题． 题型七、与二元一次方程组有关的新定义参数问题 31．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是 （只填写序号）； ①；②；③； (2)若关于x，y的方程组是“郡一”方程组，求a的值； (3)若对于任意的无理数m，关于x，y的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 32．定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 33．给出定义：对于关于、的二元一次方程（其中 ），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”_____，以及它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于、的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的值． (3)若关于、的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于、的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 34．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 35．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】 （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________； ②的解为___________， ③的解为___________； （4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________； 【拓展】 （5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________ 题型八、二元一次方程组特殊解法中的参数问题 36．已知方程组，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 38．已知关于的方程组的解满足，则关于的方程组的解为___________． 39．把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是______． 40．阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 1．（24-25七年级下·北京顺义·期末）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A． B．0或2 C．2 D．0 2．（24-25七年级下·北京·期末）已知和都是方程的解，则k、b的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京东城·期末）某科研小队在一处遗迹中发现了古人的残破书籍，书籍上记录了一个方程组，翻译后为，方程组的解为，其中与处已经看不清了，请你用所学的知识帮科研人员确定的值为（    ） A． B． C．1 D．11 4．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 5．（24-25七年级下·北京·月考）关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 6．若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 7．（24-25七年级下·北京海淀·阶段练习）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成5，请你解二元一次方程组 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请你通过计算说明原题中“□”是几． 8．（24-25七年级下·北京通州·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 9．（24-25七年级下·北京·月考）对于关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． (1)方程组的解x与y______（“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)关于x，y的方程组，其中a、b都是正整数，若该方程组的解x与y具有“友好关系”，请求出a，b的值． 10．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）已知关于的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； 11．（24-25七年级下·北京西城·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出的所有非负整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 12．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 13．（24-25七年级下·北京·月考）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组 小辉：哈哈！直接①②可以更简便地求出的值 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小云的方法，的值为 ，的值为 ． (2)老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 14．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 15．延时课上，小红和小明在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的方程组的解满足为非负数．求m的取值范围．    小红：用含有m的式子分别表示x，y，再让即可． 小明：哈哈，直接①－②可以简便地求出m的取值范围． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小红的方法，______，______；（用含m的代数式表示） (2)小明的方法体现了整体代入的思想，请按照小明的思路求出m的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $