精品解析：江苏连云港市海滨中学等校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学试题 满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 . 2. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】由，得． 4. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 5. 在中，已知，试判断的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 化简得，即， 因为，所以，所以是等腰直角三角形. 6. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则（ ） A. B. 62 C. 28 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量加法的坐标运算求得，再根据向量共线的坐标表示列出方程即可求解． 【详解】由题可知，， 因为A，B，D三点共线，所以， 所以， 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，，，，则（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】用基底表示出目标向量，利用数量积运算可得答案. 【详解】由题意可得，， 所以 因为，，，所以， 所以. 故选：B 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形面积公式、正余弦定理求边长，代入目标式化简即可得. 【详解】由题意知，所以， 由余弦定理知，所以， 由正弦定理得，则，，， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 线段的中点的坐标为 B. 若，则点D的坐标为 C. 若，则 D. 若，则向量，可以作为平面内的一组基底 【答案】AC 【解析】 【分析】由中点坐标公式、向量的坐标表示、垂直的坐标表示和向量共线的判定逐项判断即可. 【详解】由中点坐标公式可得线段的中点的坐标为，A正确； ，所以点D的坐标为，B错误； ，，若，则，解得，C正确； 若，则，，所以，共线，不能作为平面内的一组基底，D错误. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 11. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用两角差的正切公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式结合诱导公式可判断C选项；利用两角差的余弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，因为， 所以，，B对； 对于C选项， ，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知，均为锐角，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式求出，然后结合角的范围即可求解. 【详解】由题可得， 因为，均为锐角，则，所以. 14. 已知的内角的对边分别为，若，，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用三角函数关系式平方和关系求出，根据三角形面积及已知条件求出的值，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为， 所以， 由，， 所以，解得：， 由余弦定理得： 即， 由，所以， 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ． 15. 已知向量，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若向量，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角的坐标公式计算即得； （2）先求出向量的坐标，再求其模即可. 【小问1详解】 由，，可得， 且， 则； 【小问2详解】 因， 则. 16. （1）已知，，是第三象限角，求的值． （2）已知，，求的值； 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系，求出，再根据两角和的余弦公式，求出结果即可； （2）根据同角三角函数关系，求出，再根据两角差的正弦公式，求出结果即可； 【详解】（1）因，，则； 又因，是第三象限角，则． 故． （2)，，， 因，则， 所以 ； 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以，进而. 因为是三角形内角，所以. 【小问2详解】 因为​，为三角形内角，所以.  由正弦定理​，所以. 因此 . 18. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 . 周期； 【小问2详解】 由可知，，化简得， ，，， ； 【小问3详解】 由可得，即， 又，则，则，所以. 由余弦定理知： ， 当且仅当时“”成立， 此时为等边三角形， 又所以的周长的最大值为. 19. 某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求P对的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方米造价为100元. （1）求M、N的距离； （2）设，用表示； （3）求该景区预算需要投入多少万元改造？（） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理求解； （2）在中，利用正弦定理表示出，然后相加利用三角公式整理； （3）利用正弦函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 得； 【小问2详解】 ，，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ； 【小问3详解】 由（2）得，又， 所以，， 即， 所以该景区预算需要. 即该景区预算需要投入万元改造. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学试题 满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，试判断的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则（ ） A. B. 62 C. 28 D. 7. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，，，，则（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 线段的中点的坐标为 B. 若，则点D的坐标为 C. 若，则 D. 若，则向量，可以作为平面内的一组基底 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 11. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则__________________． 13. 已知，均为锐角，且，，则______． 14. 已知的内角的对边分别为，若，，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ． 15. 已知向量，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若向量，求． 16. （1）已知，，是第三象限角，求的值． （2）已知，，求的值； 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 18. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期； （2）若，且，求的值. （3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 19. 某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求P对的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方米造价为100元. （1）求M、N的距离； （2）设，用表示； （3）求该景区预算需要投入多少万元改造？（） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $