第五单元 数学广角—鸽巢问题（易错专项讲义）数学人教版六年级下册

第五单元 数学广角—鸽巢问题易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：区分不清“鸽巢问题"中的限制条件,导致判断错误。 2 易错点2：对“鸽巢原理（二）”理解错误。【如果把多余kn个的物体任意放进n个鸽巢里（k和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1）个物体。】 4 易错点3：最不利情况考虑不全。 6 易错点4：逆向思考问题。 8 模块一 易错知识点梳理 1、区分不清“鸽巢问题”中的限制条件,导致判断错误。 解决鸽巢问题先找准限制条件，根据限制条件一步一步判断。 2、对“鸽巢原理（二）“理解错误。 “鸽巢原理（二）”中的“商+1”,“1”不是指余数。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：区分不清“鸽巢问题"中的限制条件,导致判断错误。 【典例1】判断:把3个苹果放在2个盒子里,盒子里至少放了2个苹果。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】本题错没有分清限制条件。把3个苹果放在2个盒子里，共有两种不同的放法，无论哪一种放法,都可以说“必有一个盒子里至少放了2个苹果”。而不是所有盒子里至少放了2个苹果。 【正确答案】错误 【易错专练1】某校的学生中最小的是6岁，最大的年龄是13岁，从这个学校中至少任选（ ）名同学，就一定有2名同学的年龄相同。 【答案】9 【分析】根据最不利原则，假设从6－13岁每个年龄选择1名同学，需要选择8名，再选择1名学生就一定有2名同学的年龄相同。 【解答】13－6＋1＝8（名） 8＋1＝9（名） 从这个学校中至少任选（9）名同学，就一定有2名同学的年龄相同。 【易错专练2】六（1）班有27名男生和24名女生，他们中至少有（ ）人的生日在同一个月。 【答案】5 【分析】先用男生人数加女生人数求出班级总人数，一年有12个月，再用总人数除以12个月，得到商和余数；用商加1，就是至少有多少人的生日在同一个月。 【解答】27＋24＝51（人） 51÷12＝4（人）……3（人） 4＋1＝5（人） 【易错专练3】一个布袋中有2个黄球、3个白球、5个红球。如果每次从布袋中取出一个球，至少摸出（ ）个球才能保证摸到2个同色球。 【答案】4 【分析】总共有3种颜色的球，假设前面取的3个球颜色都不相同，那么再取1个球，不管这个球是哪种颜色，都会和前面3个球中的一个球颜色相同，这样就有2个同色球。 【解答】3＋1＝4（个） 所以，至少摸出4个球才能保证摸到2个同色球。 【易错专练4】从8个抽屉里拿出17颗糖果，无论怎么拿，总要从一个抽屉里至少拿出（ ）颗糖果。 【答案】3 【分析】把17颗糖果尽可能平均分到8个抽屉里，计算（颗）（颗），得出每个抽屉拿出2颗糖果，还要再拿1颗糖果。剩下的1颗糖果不管从哪个抽屉拿，这个抽屉拿糖果的数量就会变成（颗），因此总要从一个抽屉里至少拿出3颗糖果，据此解答。 【解答】（颗）（颗） （颗） 所以，从8个抽屉里拿出17颗糖果，无论怎么拿，总要从一个抽屉里至少拿出3颗糖果。 【易错专练5】在一次体育课上，10名学生进行投篮练习，他们一共投进了61个球，他们中总有一名学生至少投进了（ ）个球。 【答案】7 【分析】根据题意，先假设10名学生投进的球数尽可能平均，用总投进球数÷学生人数，得到平均每人投进的数量和剩余的球数，剩余的球需要分给其中一名学生，所以至少有一名学生投进的数量是平均数加1，据此解答。 【解答】61÷10＝6（个）……1（个） 6＋1＝7（个） 综上所述可得，他们中总有一名学生至少投进了7个球。 易错点2：对“鸽巢原理（二）”理解错误。【如果把多余kn个的物体任意放 进n个鸽巢里（k和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1） 个物体。】 【典例2】判断:因为21÷3=6.....3,所以21个梨放进6个盘子里，总有1个盘子至少放进6个。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】此题错在把这个盘子至少放的梨的个数用“3（商）+3（余数）”计算得出,应该是“3（商）+1" 【正确答案】错误 【易错专练1】汽车站的广场上有30辆客车，这些客车的座位最少38个，最多是50个，那么这些客车中至少有（ ）辆客车的座位数是相同的。 【答案】3 【分析】座位数最少38个，最多50个，因此共有50－38＋1＝13种不同的座位数；把这13种情况当作抽屉，30辆客车当作元素，30÷13＝2⋯⋯4，即平均每个抽屉放2个后还剩4个，所以至少有2＋1＝3辆客车的座位数是相同的。 【解答】50－38＋1 ＝12＋1 ＝13（种） 30÷13＝2……4 2＋1＝3（辆） 因此，这些客车中至少有3辆客车的座位数是相同的。 【易错专练2】据统计，某边境城市2023年出生的儿童共有370人，那么这一年出生的儿童至少有（ ）个人是同一天出生的。 【答案】2 【分析】首先判断出2023年是平年，一年共有365天，再根据鸽巢原理，将370名儿童分配到2023年的总天数中，如果每天最多有1名儿童，则最多容纳365×1＝365名，但实际有370名，超出5名，这5名儿童必须分配到已有的365天中，据此解答。 【解答】2023÷4＝505……3，2023年是平年，所以有365天。 370÷365＝1（人）……5（人） 1＋1＝2（人） 因此这一年出生的儿童至少有2个人是同一天出生的。 【易错专练3】有一捧鲜花要插入一些花瓶，发现不管怎么插，总有一个花瓶至少可以插8枝鲜花。那么，如果鲜花有39枝，花瓶应该有（ ）个。 【答案】5 【分析】根据题意可知，先将每瓶都插（8－1）枝，用39÷（8－1）即可求出有多少个瓶子，余数是剩余的枝数，任意放到其中一个瓶子，都能保证总有一个花瓶至少有8枝。 【解答】39÷（8－1） ＝39÷7 ＝5（个）……4（枝） 如果鲜花有39枝，花瓶应该有5个。 【易错专练4】实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有（ ）名队员。 【答案】9 【分析】一定有一个人至少拿4个，那么其他人至少少拿1个，也就是每人拿3个；当每个人拿3个时，10个人刚好拿完30个球，不存在一定有一个人需要多拿，则人数应该比10个人少，据此解答即可。 【解答】当篮球队有10名队员时，30÷10＝ 3（个），此时每个队员拿3个可一次抱走； 当篮球队有9名队员时，30÷ 9＝3（个）……3（个），此时需要有队员拿3＋1＝4（个）可一次抱走； 所以篮球队最多有9名队员。 【易错专练5】六年级有22名同学进行投篮训练，每人投3次。投中一次得1分，未投中得0分。至少有几名同学的成绩相同？ 【答案】6名 【分析】每人投3次，投中一次得1分，未投中得0分，可能得分有四种情况：①三次都投中，计1＋1＋1＝3分；②两次投中，一次不投中：计1＋1＋0＝2分；③一次投中，两次不投中：计1＋0＋0＝1分；④三次都不投中，计0分；现在有22名同学，相当于22个“元素”要放进这4个“抽屉”里，用22除以4，得到22÷4＝5……2，这意味着平均每个“抽屉”放5个“元素”后，还剩下2个“元素”。根据抽屉原理，剩下的这2个“元素”无论放到哪个“抽屉”里，都会使得至少有一个“抽屉”里有5＋1＝6个“元素”，也就是至少有6名同学的成绩相同。 【解答】得分可能为3分、2分、1分、0分，共4种情况。 22÷4＝5（名）……2（名） 5＋1＝6（名） 答：至少有6名同学的成绩相同。 易错点3：最不利情况考虑不全。 【典例3】一个口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，至少取出多少个，才能保证有2个颜色相同的小球？ 【错误答案】3个 【错解分析】思考过程不完整，应该用最不利原则：最不利的情况是前3个取出的颜色都不同 第4个无论取什么颜色，都会和前面某一个颜色相同，所以至少取4个。 【正确解答】 最不利情况：先取出的3个球颜色各不相同（红、黄、蓝各1个） 这时还没有2个颜色相同的 再取第4个：无论取什么颜色，都会和前面某一个颜色相同 所以至少取3+1=4（个） 【易错专练1】38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】7名 【分析】抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。 【解答】38÷6＝6（名）……2（名） 6＋1＝7（名） 答：至少有7名学生的成绩相同。 【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。 【易错专练2】一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？ 【答案】7顶 【分析】这是典型的 “抽屉原理” 问题，我们用最不利原则来分析： 最倒霉的情况，先把一种颜色的帽子全部摸完。 袋子里每种颜色各有6顶，假设先摸出的全是红色（或全是黑色），共6顶。 保证有两种颜色：此时再摸1顶，必然是另一种颜色。 因此，至少需要摸顶，才能保证有2种颜色的帽子。 【解答】（顶） 答：至少摸出7顶帽子才能保证有2种颜色的帽子。 【易错专练3】把37名志愿者最多安排到几个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者？ 【答案】9个 【分析】根据题意可知，如果每个社区都安排4名志愿者，则有，则最多安排9个社区，必有一个社区里安排了5名志愿者，据此解答即可。 【解答】 答：把37名志愿者最多安排到9个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者。 【易错专练4】有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？ 【答案】10只 【分析】假设运气最差的情况，先取的5只袜子颜色都不一样，再取出1只就能配成一双；再从纸箱中取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；继续从纸箱续取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；这样就配成了3双袜子。 【解答】5＋1＋1＋1＋1＋1＝10（只） 答：从纸箱中至少取出10只，能保证有3双袜子。 【点睛】本题是鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。 【易错专练5】把104粒花生分给15只小猴，每只小猴都要分到花生，那么至少有两只小猴分得的花生一样多，为什么？ 【答案】见详解 【分析】考虑最不利原则，假设前13只小猴分得的花生各不相同，从1一直加到13为91粒，还剩下2只小猴子分13粒花生，不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。 【解答】假设前13只小猴分得的花生各不相同，共有： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 ＝（1＋13）×13÷2 ＝14×13÷2 ＝91（粒） 还剩下花生：104－91＝13（粒） 还有小猴：15－13＝2（只） 不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。 答：至少有2只小猴分得的花生一样多，因为前13只小猴分得的花生各不相同后，剩下的2只小猴不管怎么分剩下的13粒花生，分得的花生粒数都只能是1～12粒，这样至少有2只小猴分得的花生一样多。 【点睛】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则进行分析是解题的关键。 易错点4：逆向思考问题。 【典例4】把若干本书放进4个抽屉，要保证有一个抽屉里至少有5本书，这些书至少有多少本？ 【错误答案】5本 【错解分析】没理解"保证"的含义，要考虑最不利情况。 最不利情况：每个抽屉先放4本（比5少1） 这时还没有抽屉有5本 再放1本，无论放哪个抽屉，都会有一个抽屉有5本 所以至少需要4×4+1=17本 【正确解答】用最不利原则思考： 要保证有一个抽屉至少有5本 最不利情况：每个抽屉先放4本（5-1=4） 这时共放了4×4=16本，还没有抽屉有5本 再放1本，无论放哪个抽屉，都会使那个抽屉有5本 所以至少需要16+1=17（本） 公式：至少数 = 抽屉数 × (要求数 - 1) + 1 = 4 × (5 - 1) + 1 = 4 × 4 + 1 = 17（本） 【易错专练1】“六一”儿童节，学校布置会场，小芳帮忙往6个花瓶里插花，无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花。学校至少准备了多少枝鲜花？ 【答案】49枝 【分析】根据题意，要保证至少有一个花瓶里有9枝鲜花，最不利的情况是6个花瓶里都插了8枝鲜花，此时再向任意一个花瓶里插入1枝花， 就可以保证无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花，据此解答。 【解答】（枝） 答：学校至少准备了49枝鲜花。 【易错专练2】育才小学共有18个班，学校要买多少个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球？ 【答案】37个 【分析】把18个班看作是18个抽屉，排球的总数看作元素，考虑最差情况：把这些元素平均分配在18个抽屉里，每个抽屉要有2个排球，然后还要保证剩下1个球，那么剩下的1个排球无论放到哪个抽屉都会出现3个排球在同一个抽屉里。也就是才能保证有一个班至少能分到3个排球。据此解答。 【解答】18×（3－1）＋1 ＝18×2＋1 ＝36＋1 ＝37（个） 答：学校要买37个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球。 【点睛】此题属于抽屉原理的逆推，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 【易错专练3】高老头让儿子小高去买馒头，分给高家庄上下老小40口人，请问小高至少要买多少个馒头，才能保证总有人至少能够分到5个馒头？ 【答案】161个 【分析】最坏的情况就是每人都先拿4个馒头，此时，只需要再拿1个，就一定会有人分到5个馒头。 【解答】40×（5－1）＋1 ＝160＋1 ＝161（个） 答：小高至少要买161个馒头，才能保证总有人至少能够分到5个馒头。 【点睛】本题考查抽屉原理，先按每人都先拿4个馒头进行计算是解决本题的关键。 【易错专练4】元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡？ 【答案】49张 【分析】此题中求至少要准备多少件礼物，即为“最不利原则”问题。收到最多贺卡的小朋友即“抽屉王”收到5张贺卡，则其他小朋友应收到：5－1＝4（张），根据抽屉原理：4×12＝48（张），再加上“抽屉王”多出的1张贺卡，则至少准备：48＋1＝49（张），所以老师至少准备49张贺卡。 【解答】5－1＝4（张） 4×12＝48（张） 48＋1＝49（张） 答：老师至少要准备49张贺卡。 【点睛】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 数学广角—鸽巢问题易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：区分不清“鸽巢问题"中的限制条件,导致判断错误。 2 易错点2：对“鸽巢原理（二）”理解错误。【如果把多余kn个的物体任意放进n个鸽巢里（k和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1）个物体。】 3 易错点3：最不利情况考虑不全。 4 易错点4：逆向思考问题。 6 模块一 易错知识点梳理 1、区分不清“鸽巢问题”中的限制条件,导致判断错误。 解决鸽巢问题先找准限制条件，根据限制条件一步一步判断。 2、对“鸽巢原理（二）“理解错误。 “鸽巢原理（二）”中的“商+1”,“1”不是指余数。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：区分不清“鸽巢问题"中的限制条件,导致判断错误。 【典例1】判断:把3个苹果放在2个盒子里,盒子里至少放了2个苹果。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】本题错没有分清限制条件。把3个苹果放在2个盒子里，共有两种不同的放法，无论哪一种放法,都可以说“必有一个盒子里至少放了2个苹果”。而不是所有盒子里至少放了2个苹果。 【正确答案】错误 【易错专练1】某校的学生中最小的是6岁，最大的年龄是13岁，从这个学校中至少任选（ ）名同学，就一定有2名同学的年龄相同。 【易错专练2】六（1）班有27名男生和24名女生，他们中至少有（ ）人的生日在同一个月。 【易错专练3】一个布袋中有2个黄球、3个白球、5个红球。如果每次从布袋中取出一个球，至少摸出（ ）个球才能保证摸到2个同色球。 【易错专练4】从8个抽屉里拿出17颗糖果，无论怎么拿，总要从一个抽屉里至少拿出（ ）颗糖果。 【易错专练5】在一次体育课上，10名学生进行投篮练习，他们一共投进了61个球，他们中总有一名学生至少投进了（ ）个球。 易错点2：对“鸽巢原理（二）”理解错误。【如果把多余kn个的物体任意放 进n个鸽巢里（k和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1） 个物体。】 【典例2】判断:因为21÷3=6.....3,所以21个梨放进6个盘子里，总有1个盘子至少放进6个。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】此题错在把这个盘子至少放的梨的个数用“3（商）+3（余数）”计算得出,应该是“3（商）+1" 【正确答案】错误 【易错专练1】汽车站的广场上有30辆客车，这些客车的座位最少38个，最多是50个，那么这些客车中至少有（ ）辆客车的座位数是相同的。 【易错专练2】据统计，某边境城市2023年出生的儿童共有370人，那么这一年出生的儿童至少有（ ）个人是同一天出生的。 【易错专练3】有一捧鲜花要插入一些花瓶，发现不管怎么插，总有一个花瓶至少可以插8枝鲜花。那么，如果鲜花有39枝，花瓶应该有（ ）个。 【易错专练4】实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有（ ）名队员。 【易错专练5】六年级有22名同学进行投篮训练，每人投3次。投中一次得1分，未投中得0分。至少有几名同学的成绩相同？ 易错点3：最不利情况考虑不全。 【典例3】一个口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，至少取出多少个，才能保证有2个颜色相同的小球？ 【错误答案】3个 【错解分析】思考过程不完整，应该用最不利原则：最不利的情况是前3个取出的颜色都不同 第4个无论取什么颜色，都会和前面某一个颜色相同，所以至少取4个。 【正确解答】 最不利情况：先取出的3个球颜色各不相同（红、黄、蓝各1个） 这时还没有2个颜色相同的 再取第4个：无论取什么颜色，都会和前面某一个颜色相同 所以至少取3+1=4（个） 【易错专练1】38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【易错专练2】一个不透明的袋子里装有除颜色外其他都相同的红色帽子和黑色帽子各6顶，闭着眼睛摸，至少摸出几顶帽子才能保证有2种颜色的帽子？ 【易错专练3】把37名志愿者最多安排到几个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者？ 【易错专练4】有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？ 【易错专练5】把104粒花生分给15只小猴，每只小猴都要分到花生，那么至少有两只小猴分得的花生一样多，为什么？ 易错点4：逆向思考问题。 【典例4】把若干本书放进4个抽屉，要保证有一个抽屉里至少有5本书，这些书至少有多少本？ 【错误答案】5本 【错解分析】没理解"保证"的含义，要考虑最不利情况。 最不利情况：每个抽屉先放4本（比5少1） 这时还没有抽屉有5本 再放1本，无论放哪个抽屉，都会有一个抽屉有5本 所以至少需要4×4+1=17本 【正确解答】用最不利原则思考： 要保证有一个抽屉至少有5本 最不利情况：每个抽屉先放4本（5-1=4） 这时共放了4×4=16本，还没有抽屉有5本 再放1本，无论放哪个抽屉，都会使那个抽屉有5本 所以至少需要16+1=17（本） 公式：至少数 = 抽屉数 × (要求数 - 1) + 1 = 4 × (5 - 1) + 1 = 4 × 4 + 1 = 17（本） 【易错专练1】“六一”儿童节，学校布置会场，小芳帮忙往6个花瓶里插花，无论她怎么插至少都有一个花瓶里有9枝鲜花。学校至少准备了多少枝鲜花？ 【易错专练2】育才小学共有18个班，学校要买多少个排球，才能保证有一个班至少能分到3个排球？ 【易错专练3】高老头让儿子小高去买馒头，分给高家庄上下老小40口人，请问小高至少要买多少个馒头，才能保证总有人至少能够分到5个馒头？ 【易错专练4】元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $