7.1 条件概率与全概率公式 巩固练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础公式应用到综合情境建模，梯度合理，有效巩固条件概率与全概率公式，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|条件概率公式直接应用|单选1-2直接考查公式计算，夯实概念理解| |中档|情境化问题解决|单选3机器人站稳、5摸球问题，运用全概率公式解决实际情境| |提升|综合应用与拓展|单选8含参数概率不等式、解答题18概率递推，培养逻辑推理与模型构建能力|

7.1条件概率全概率公式巩固练习 一、单选题 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率 【详解】因为，，所以.故选B. 2．设，为两个事件，已知，，，则等于（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件概率及条件概率的公式计算即可得解. 【详解】因为，所以， 因为， 所以，解得.故选C 3．2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】把事件“平稳落地”、“踉跄落地”、“近乎倒地”分别记为、、，事件“能站稳”记为B。 则 . 故选D. 4.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为奇数，两次的点数之和为4， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】条件概率的计算 【分析】用列举法写出事件所含的基本事件，同时可得事件含有的基本事件，从而可得概率． 【详解】由题意，共9个基本事件， 其中和为4的只有和两个事件，所以．故选：C． 5．一不透明的口袋内装有若干个形状、质地完全相同的红色和黄色小球.若事件“第一次摸出红球且第二次摸出黄球”的概率为，事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球”的概率为，则事件“第一次摸出红球”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】条件概率公式的应用。 【分析】直接利用条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设事件：第一次摸出红球；事件：第二次摸出黄球， 因为事件“第一次摸出红球且第二次摸出黄球”的概率为，即, 又因为事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球”的概率为，即 , 据 ,得 所以事件“第一次摸出红球”的概率为.故选：D. 6．已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由幂函数的单调性求参数、计算条件概率、计算古典概型问题的概率、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义和性质结合古典概型求，，代入条件概率公式运算求解. 【详解】设样本空间为，则， 对于事件“函数是幂函数”，可知， 则，可得， 对于事件“幂函数在上单调递增”，则， 则，可得， 所以.故选：D. 7．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据对立事件的概率关系求出，由条件概率公式求得，根据全概率公式求得，再由条件概率公式求得. 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 8．若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据题意，结合全概率公式得，再解不等式即可得答案. 【详解】设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件， 则，，， 所以，根据全概率公式得： ， 所以，整理得：，解得， 所以满足题意的的最小值为. 二、多选题 9．已知，为随机事件，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则，相互独立 B．若，，，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】ABD 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断、概率的基本性质 【详解】对于A，由，得，因此相互独立，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由及， 得，C错误； 对于D，由，得，又， 因此，D正确. 10．将一个质地均匀的正方体骰子独立地抛掷3次，则（   ） A．三次点数均为偶数的概率是 B．三次点数和为9的概率是 C．事件“三次点数有且仅有一次为6”与事件“三次点数之和为9”相互独立 D．在三次点数互不相同的条件下，点数之和为9的概率是 【答案】ABD 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据独立事件同时发生的概率可判断A；根据列举法可判断B；根据事件独立性的条件可判断C；根据条件概率的含义可判断D. 【详解】将一个质地均匀的正方体骰子独立地抛掷3次，样本点的总数为个. 对于A：每次出现点数为偶数的概率是，所以三次点数均为偶数的概率是，故A正确； 对于B；三次点数和为9的样本点有 共25个， 所以其概率为，故B正确； 设事件“三次点数有且仅有一次为6”为事件，事件“三次点数之和为9”为事件， 则， 事件的样本点有 共6个， 所以，，所以事件不独立，故C错误； 对于D；三次点数互不相同的样本点的总数为个，三次点数互不相同且点数之和为9的 样本点有 共18个， 所以在三次点数互不相同的条件下，点数之和为9的概率是，故D正确. 11．某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ） A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 【答案】ACD 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”，事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下，为代入数值得解；选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是，代入数值得解；选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率为，代入数值得解；选项D，甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为，代入数值得解. 【详解】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”， 事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”， 则，，， ，，， 选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下， 为 ，故A正确； 选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率如下， 是，故B错误； 选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率如下， 为，故C正确； 选项D，而甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率如下， 为，故D正确. 三、填空题 12．已知随机事件满足，，则__________. 【答案】 【知识点】计算条件概率 【详解】由条件概率公式得． 13．三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 【答案】 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【详解】用表示“取到第批产品”，用表示“取到次品” 则，， 则 ； . 14. 现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是__ _. 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【详解】用分别表示交换1次，2次后白球还在A罐中的事件， 依题意，，，， 由全概率公式得， 所以交换2次后，白球还在A罐子中的概率是. 四、解答题 15．考虑恰有两个小孩的家庭．（假定生男生女是等可能的）。 (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩的概率． 【知识点】计算条件概率 【分析】（1）先设事件写出样本空间，再应用条件概率公式计算求解； （2）应用条件概率公式计算求解. 【详解】（1）（1）（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）． 设“有男孩”，则（男，男），（男，女），（女，男）． “有两个男孩”，则（男，男）， “第一个是男孩”，则（男，男），（男，女）， 于是得， 所以； （2）（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）． “有两个男孩”，则（男，男）， “第一个是男孩”，则（男，男），（男，女）， 于是， 所以． 16．在不透明的口袋中装有相同的6个红色的乒乓球，其中2个球上标有数字1，4个球上标有数字2. (1)在首次从口袋中摸出1个标有数字1的球，且不放回的条件下，求第二次从口袋中摸出1个标有数字2的球的概率； (2)从口袋中不放回取2个小球，每次取1个，记事件A={首次取到的是标有数字2的球}，事件B={第二次取到的是标有数字1的球}，则，是否相互独立?请说明理由. 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断 【分析】（1）利用条件概率公式计算； （2）通过验证是否成立，判断结论即可. 【详解】（1）记首次从口袋中摸出1个标有数字1的球为事件，第二次从口袋中摸出1个标有数字2的球为事件，则， 所以第二次从口袋中摸出1个标有数字2的球的概率为. （2）由已知得，， ， 而 ，所以，所以，不相互独立. 17．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； (2)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，结合古典概型的概率公式和对立事件的概率公式，可求解；②由缩小样本空间求条件概率的方法可求得所求概率； （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件，根据条件概率公式及全概率公式，可得所求概率. 【详解】（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，则表示取到的2个球全是白球， 由题可知，， 所以，即取出的2个球中至少有一个红球的概率为； ②第1次取到白球，则在第1次取球后，甲袋中有2个红球，2个白球， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则. 设“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件， 则，. 所以. 18．某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【知识点】利用全概率公式求概率. 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，，且， 由全概率公式得. （2）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 19．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件。 从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值。 【知识点】计算条件概率、用频率估计概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）根据给定条件确定样本中男性居民与女性居民的人数，再用频率估计概率. （2）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可. 【详解】（1）依题意，样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 因此样本中，观看了这场苏超联赛的频率为， 所以从全市居民中随机抽取1人，估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. （2）由（1）得， 因此； 又， 因此，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1条件概率与全概率公式巩固练习 一、单选题 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，为两个事件，已知，，，则等于（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.7 3．2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 4.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为奇数，两次的点数之和为4， 则（    ） A． B． C． D． 5．一不透明的口袋内装有若干个形状、质地完全相同的红色和黄色小球.若事件“第一次摸出红球且第二次摸出黄球”的概率为，事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球”的概率为，则事件“第一次摸出红球”的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（   ） A． B． C． D． 7．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 8．若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 9．已知，为随机事件，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则，相互独立 B．若，，，则 C．若，则 D．若，，，则 10．将一个质地均匀的正方体骰子独立地抛掷3次，则（   ） A．三次点数均为偶数的概率是 B．三次点数和为9的概率是 C．事件“三次点数有且仅有一次为6”与事件“三次点数之和为9”相互独立 D．在三次点数互不相同的条件下，点数之和为9的概率是 11．某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ） A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 三、填空题 12．已知随机事件满足，，则__________. 13．三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 14. 现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是__ _. 四、解答题 15．考虑恰有两个小孩的家庭．（假定生男生女是等可能的）。 (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩的概率． 16．在不透明的口袋中装有相同的6个红色的乒乓球，其中2个球上标有数字1，4个球上标有数字2. (1)在首次从口袋中摸出1个标有数字1的球，且不放回的条件下，求第二次从口袋中摸出1个标有数字2的球的概率； (2)从口袋中不放回取2个小球，每次取1个，记事件A={首次取到的是标有数字2的球}，事件B={第二次取到的是标有数字1的球}，则，是否相互独立?请说明理由. 17．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； (2)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 18．某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 19．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件。 从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $