2026届高三数学适应性训练模拟卷(4)（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 2026届高三数学适应性模拟卷，覆盖集合、复数、数列等知识，解答题融合三角、立体几何、概率统计、椭圆、导数，适配新高考结构，通过分层设问考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、复数模、等差等比数列、函数奇偶性与单调性、双曲线渐近线|结合多省份模拟题，分层设置单选基础与多选综合，考查抽象能力与逻辑推理| |填空题|3题/15分|向量垂直、三角函数值域、正三棱柱外接球轨迹|注重空间观念与运算能力，如外接球轨迹问题体现几何直观| |解答题|5题/77分|解三角形、面面垂直证明、志愿者培训概率分布列、椭圆定值与面积、导数零点证明|以现实情境（志愿者培训）和综合问题（椭圆定值、导数证明）为载体，考查模型意识与数学表达，适配高考命题趋势|

2026届高三数学适应性训练模拟卷(4) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知集合是绝对值小于的整数，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是绝对值小于的整数，即满足（为整数），可得， 已知，根据并集定义，得： 因此，共个元素. 2．（2026·云南曲靖·一模）复数z满足，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】由，得， 所以. 3．（2026·贵州安顺·一模）记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】由等差数列的基本量表示与等比中项概念列方程组求出首项和公差，写出通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则由题可得，即，解得， 所以， 故选：A. 4．（2026·山西朔州·一模）函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是偶函数，所以， 所以，所以， 所以，所以，因为， 所以，解得. 5．（2026·广西崇左·一模）已知向量，，则函数的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由题意得， 且， 当且仅当与同向，即，即时，等号成立， 故的最大值为. 6．（2026·海南儋州·一模）设等比数列的前项和为，且，且为二项式展开式中的常数项，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】利用二项式的展开式的通项公式可求出，再利用等比数列求和公式计算可得公比及首项，最后利用等比数列求和公式求出后，分为奇数与为偶数讨论即可得. 【详解】对，有， 令，解得，则，即， 设等比数列的公比为，若，则，故， 则， 故，则，故， 故， 当为奇数时，随的增大而减小，此时； 当为偶数时，随的增大而增大，此时的最小值为； 综上所述，的最小值为. 7．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可. 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 8．（2026·广西北海·一模）已知双曲线（，）的上下焦点分别是，，过点作渐近线的垂线，交双曲线下支于点M，且，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义，在中由余弦定理得到，再通过渐近线，得到，联立即可求解. 【详解】 设上下焦点，其中，渐近线为. 由题意得， 由题设在双曲线下支，， 因此， ​中，，， 由余弦定理得： ， 又渐近线，与轴（ ​所在直线）夹角为​， 又到渐近线的距离 可得 联立得：，化简得， 代入 ， 因此渐近线方程为，整理得​. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南曲靖·一模）已知函数，（），若为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．函数的一个零点为 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】对A，根据条件求出，进而由解析式求得最小正周期，即可判断；对B，根据余弦函数的对称轴列式求解，即可判断；对C，计算，即可判断；对D，先求得，再利用的性质，即可求解. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以， 即，又，所以，所以， 所以函数的最小正周期为， 所以是函数的一个周期，所以A正确； 对于B，由，得到，令，得， 所以直线不是的对称轴，故B错误； 对于C，，所以函数的一个零点为，故C正确； 对于D，当时，，由在上单调递减， 所以在上单调递减，故D错误. 10．（2026·海南儋州·一模）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．数列的公差小于0 B．数列的公差与数列的公差相等 C．中最大 D．使得的正整数的最小值为23 【答案】ACD 【详解】由可得. 所以，，且. 对A选项，因为等差数列的公差，故A正确； 对B选项，因为，所以数列是等差数列，且公差为数列公差的一半，故B错误； 对C选项，因为等差数列中，公差，，，所以中最大，故C正确； 对D选项，因为， 且，故D正确. 11．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）如图所示，已知正方体的棱长为4,分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（　　） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当与点重合时，取为正方形内（含边界）一点满足平面平面，则的最小值 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】对于A，根据平面与正方体的各面的相交情况作图可判断；对于B，选择点的特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负即可；对于C，依题建系，写出相关点的坐标，设，表示出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算求得，计算，利用二次函数的性质即可判断；对于D，将线段转化到一个平面上结合“将军饮马”计算两点间距离即可． 【详解】 对于A，如图，当点与两点不重合时，将线段向两端延长，分别交的延长线于点， 连接分别交于两点，连接，此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点与点重合时，， 此时，，故是钝角，故B错误； 对于C，如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 因点为正方形内（含边界）一点，可设， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取； 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因平面平面，则，解得，故， 则，当时，的最小值，故C正确； 对于D，取的中点，连接，在的延长线上取点，使得， 连接交于点，连接，易得， 因平面，平面，故. 此时，，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·海南海口·一模）已知向量，，，若，则_______． 【答案】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示直接求解即可. 【详解】根据题意，， 又因为，则， 解得. 故答案为： 13．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用换底公式换为，结合对勾函数求解即可. 【详解】因为， 所以令，则，所以，由的图象可知， 所以，，所以. 故答案为：. 14．（2026·贵州安顺·一模）已知点M为正三棱柱的外接球上动点，且，若，，则点M的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】根据题意，先取底面的中心，确定正三棱柱的外接球的球心为，求出其半径为2，建系后求出相关点的坐标，设点，利用可推得点的轨迹为以点为球心，半径为2的球面，进而可得点M的轨迹为两球的交线圆，利用垂径定理求出交线圆的半径即得轨迹长度. 【详解】设点为正三棱柱的底面的中心，为其外接球的球心， 易得平面，且，因，则， 则该外接球的半径为. 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴， 以过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系. 则，设点， 由可得， 两边取平方，展开整理得：， 配方可得， 则点的轨迹为以点为球心，半径为2的球面. 因球的球心距为， 两球半径都是2，则两球的交线圆的半径满足， 故点M的轨迹为交线圆，其周长为，即点M的轨迹长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·云南曲靖·一模）在中，， (1)求C； (2)点D在边上，且，求面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求出； （2）利用正弦定理得到的长，再利用三角形面积公式即可求出. 【详解】（1）由，得， 由正弦定理得，即， ，. （2）由，可得，， 由正弦定理得，又， 故解得， . 16．（2026·山西朔州·一模）如图，线段的中点都是. (1)若，证明：平面平面； (2)若，且点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证平面，得，由及O为中点可得，进而可得，从而可得平面，即可证得面面垂直； （2）先建立空间直角坐标系，再由点到平面的距离及可得，进而再用向量的方法计算线面角可得. 【详解】（1）因为，且，平面，则平面 又因平面，所以. 由可得，因为线段的中点都是O， 所以，则得， 即，即，所以. 又因，，平面，所以平面， 而平面，故平面平面. （2）在平面内，以过O且垂直的直线为x轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 设，则， 因为，所以. 设平面的法向量为，， 所以，即，故可取. 又因为点到平面的距离为，且， 依题意可得，联立，解得， 将代入，解得(舍去). 所以，满足. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 因为，， 设直线与平面所成角为， 所以 . 17．（2026·山西运城·一模）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． (1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 数学期望为1 【详解】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立， 因此单个志愿者通过培训考核的概率为， 则单个志愿者没有通过培训考核的概率为. 因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”， 因此所求概率. （2）由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为， 分别计算概率得，， ，， 因此的分布列为： 所以数学期望为. 18．（2026·甘肃兰州·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同. (1)求椭圆的标准方程； (2)是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点. （i）证明：为定值； （ii）若，四边形的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据给定条件，求出焦点坐标和离心率，可得、，进而求出值，即可得到椭圆方程. （2）（i）设出直线，方程，结合点在椭圆得，然后让直线与椭圆方程联立求出，同理，进而求得为定值； （ii）先求得，则，结合，利用基本不等式法求出最大值. 【详解】（1）因为在椭圆上，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为. （2）（i）设直线，的斜率分别为，故直线的方程为， 直线的方程为， 设，则，所以， 由得， 设点的坐标分别为，则，． 所以， 同理，所以 ，为定值； （ii）因为四边形的面积为， 所以，当且仅当，等号成立， 所以的最大值为. 19．（2026·山西临汾·一模）已知函数（，且）. (1)当时，在处的切线斜率为0，求b的值； (2)若对任意的，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； (3)当，时，若函数有两个不相等的零点，，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）确定表达式，对其求导，再根据的切线斜率为0求出的值. （2）对函数求导，根据题意判断单调性，求出极值点，再由有两个零点等价于，结合的值推出的取值范围. （3）方法一：通过构造函数，利用函数单调性和零点关系推导；方法二：先由得出的表达式，再通过换元法构造函数证明不等式. 【详解】（1）由可知，， 则，由题可得：， 故. （2）因为，则， 因为，， 所以是单调递减函数， 令，得唯一极值点， 在递增，递减， 所以有两个零点等价于， 则，，得： ，约去正数， 得， 当时，， 因此 ，即，得出 ， 故，又，故. （3）方法一： 当时，， 时， 令，则有， 即， 则在单减，在单增， 不妨设， 构造， ， ， ， ， ， 令，则在上单减， ，故， 故在单减，故， 又，， 又，， 又，且在单增， 故，故得证. 方法二：已知， 即，两式相减得：， 即：， 故， 不妨设，则，， 下证：， 令，则， 即证，即证， 令，， 则， 故在上单增，故， 所以，故得证. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(4) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知集合是绝对值小于的整数，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南曲靖·一模）复数z满足，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．（2026·贵州安顺·一模）记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（2026·山西朔州·一模）函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广西崇左·一模）已知向量，，则函数的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 6．（2026·海南儋州·一模）设等比数列的前项和为，且，且为二项式展开式中的常数项，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D．10 7．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广西北海·一模）已知双曲线（，）的上下焦点分别是，，过点作渐近线的垂线，交双曲线下支于点M，且，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南曲靖·一模）已知函数，（），若为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．函数的一个零点为 D．在上单调递增 10．（2026·海南儋州·一模）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．数列的公差小于0 B．数列的公差与数列的公差相等 C．中最大 D．使得的正整数的最小值为23 11．（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）如图所示，已知正方体的棱长为4,分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（　　） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当与点重合时，取为正方形内（含边界）一点满足平面平面，则的最小值 D．的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·海南海口·一模）已知向量，，，若，则_______． 13．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知，则的取值范围为______ 14．（2026·贵州安顺·一模）已知点M为正三棱柱的外接球上动点，且，若，，则点M的轨迹长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·云南曲靖·一模）在中，， (1)求C； (2)点D在边上，且，求面积. 16．（2026·山西朔州·一模）如图，线段的中点都是. (1)若，证明：平面平面； (2)若，且点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（2026·山西运城·一模）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为． (1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率； (2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望． 18．（2026·甘肃兰州·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同. (1)求椭圆的标准方程； (2)是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点. （i）证明：为定值； （ii）若，四边形的面积为，求的最大值. 19．（2026·山西临汾·一模）已知函数（，且）. (1)当时，在处的切线斜率为0，求b的值； (2)若对任意的，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； (3)当，时，若函数有两个不相等的零点，，证明：. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $