2026届高三数学适应性训练模拟卷(3)（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 以蓝藻治理等现实情境为载体，通过分层设计的选择、填空及综合解答题，全面考查集合、函数、立体几何等主干知识，适配高三适应性训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、数列等基础内容|单选注重概念辨析，多选强化逻辑推理| |填空题|3题15分|正态分布、解三角形最值等|突出数学抽象与空间观念| |解答题|5题77分|三角函数、立体几何、统计案例（蓝藻数据）、椭圆、导数|统计题以生态监测为情境，导数题考查创新应用，体现数学建模与理性思维|

2026届高三数学适应性训练模拟卷(3) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆万州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西北海·一模）若复数（i为虚数单位），则（    ） A．2 B．3 C．10 D． 3．（2026·甘肃兰州·一模）为等差数列的前项和.若，则公差（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026·新疆·一模）设向量为单位向量，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州安顺·一模）设方程的两个根为，，则（   ） A．0 B．1 C．e D． 6．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北恩施·二模）锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·辽宁·期末）已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南曲靖·一模）已知数列满足：，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是递减数列 C．若，，成等差数列，则p，r，q也成等差数列 D．数列为等差数列 10．（2026·重庆九龙坡·一模）在中，角所对的边分别为，且，为的中点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的周长的取值范围是 D．的最大值为 11．（2026·吉林白城·一模）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，异于P，Q两点的点在抛物线C上，则（   ） A． B．直线PA与AQ的斜率之和为4 C．与面积之比为 D．过点P，Q作抛物线C的切线分别交直线AB于M，N两点，则点M，N的横坐标之积为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山西临汾·一模）已知随机变量X服从正态分布，，则______. 13．（2026·辽宁锦州·一模）在三角形中，角所对的边分别为．若，且三角形的周长为，则该三角形面积的最大值为_______________． 14．（2026·广西崇左·一模）已知直线与抛物线（）交于A，B两点，且，若C上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·广西北海·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角B及的值； (2)若，求的面积． 16．（2026·山西运城·一模）如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且． (1)证明：平面． (2)求多面体的体积． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（2026·山西临汾·一模）水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产、所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； (3)若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里. 参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中， 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 18．（2026·黑龙江吉林·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设，，均为椭圆上的动点． （ⅰ）若直线、直线分别过的左右焦点，记直线、、的斜率分别为，，，当，，成等差数列时，求点的坐标； （ⅱ）若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 19．（2026·海南儋州·一模）已知函数． (1)求证：函数的图象恒过定点； (2)若对任意,不等式恒成立， ①求实数的值； ②求证：． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(3) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆万州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】求集合： ， 由，得，即， 又，，故. 求集合： ， 由，得，故. 所以. 2．（2026·广西北海·一模）若复数（i为虚数单位），则（    ） A．2 B．3 C．10 D． 【答案】D 【详解】因，则. 3．（2026·甘肃兰州·一模）为等差数列的前项和.若，则公差（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，由， 则，解得：. 4．（2026·新疆·一模）设向量为单位向量，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平面向量的模和夹角的问题，通过平方展开计算即可。 【详解】因为,， 又因为向量为单位向量，代入可得， 得，又， 所以, 因为,所以. 故选：D 5．（2026·贵州安顺·一模）设方程的两个根为，，则（   ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】A 【分析】根据对数运算及函数性质可得，然后利用韦达定理及指数运算性质可得，进而代入立方和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 由对数函数的单调性可知：，即， 又方程的两个根为，， 则为的两根，所以，即，所以， 所以. 故选：A 6．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解. 【详解】因为直线的，由角平分线性质定理可知， 所以，由双曲线的定义可知，所以， 在中由余弦定理可得， 即，整理得， 两边同除以可得，解得或（舍去）． 故选：C 7．（2026·湖北恩施·二模）锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据和求出角的值，然后确定角的范围，然后分析选项. 【详解】由题意得 ， ， ， 因为，，， 又是锐角三角形，，. ，A错误； ，B错误； 由正弦定理可知，， 即，C正确； ，D错误. 8．（25-26高三·辽宁·期末）已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简得到，利用导数求得是增函数，且是奇函数，把不等式转化为在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，得到，利用导数求得的单调性和最小值，即可求解. 【详解】由函数， 则（当且仅当时，等号成立）， 所以在上恒成立，所以函数是增函数， 因为，所以是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 令，则，且函数等价于， 因为，令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以函数的最小值为， 即的最小值为，所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南曲靖·一模）已知数列满足：，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是递减数列 C．若，，成等差数列，则p，r，q也成等差数列 D．数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】根据已知的递推关系，通过变形得到相邻两项的关系，进而判断数列的类型，再根据数列的性质逐一分析选项. 【详解】因为，则. 两边同时取倒数得， 即. 所以数列是等差数列.故选项D正确. 对于选项A，由选项D可知，数列是等差数列. 所以， 则，所以，且， 所以，故A正确. 对于选项B，因为， 所以 即对任意，，所以数列为递减数列，故B正确. 对于选项C，若成等差数列，则有， 即，化简得. 当时，满足，但， 即不成等差数列，故C不正确. 10．（2026·重庆九龙坡·一模）在中，角所对的边分别为，且，为的中点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的周长的取值范围是 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题设结合正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可判断；对于B，先由余弦定理得，进而结合基本不等式可得，再结合平面向量的线性运算、数量积的运算律可得，进而求解判断即可；对于C，结合B及基本不等式可得，进而判断即可；对于D，根据正弦定理及三角恒等变换公式可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由， 根据正弦定理得，， 则， 即， 在中，，则， 即，又，则，故A正确； 对于B，由余弦定理得，， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于为的中点，则， 所以 ， 则的最大值为，故B正确； 对于C，由B知，， 解得，当且仅当时等号成立，又， 则的周长的最大值为3，故C错误； 对于D，由正弦定理得， 则， 所以 ， 因为，所以， 则，即时，，取得最大值为，故D正确. 故选：ABD 11．（2026·吉林白城·一模）已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，异于P，Q两点的点在抛物线C上，则（   ） A． B．直线PA与AQ的斜率之和为4 C．与面积之比为 D．过点P，Q作抛物线C的切线分别交直线AB于M，N两点，则点M，N的横坐标之积为1 【答案】ACD 【分析】常规方法设点与设直线，联立利用韦达定理得到相关定值，计算即可. 【详解】对于A，因为点在抛物线上，代入抛物线方程得. 对于B，设直线，，则直线PA与AQ的斜率之和为 联立得到，所以代入上式得到直线PA与AQ的斜率之和为2，故B错误. 对于C，首先证明，等价于证明直线与的斜率之和为0，即 所以，所以，故C正确 对于D，直线，设过点P作抛物线C的切线为，与抛物线联立，得到，因为相切，所以，即，所以，所以过点P作抛物线C的切线为，联立直线，得到，同理，所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山西临汾·一模）已知随机变量X服从正态分布，，则______. 【答案】3 【详解】因为随机变量X服从正态分布，且， 所以根据对称性可得. 13．（2026·辽宁锦州·一模）在三角形中，角所对的边分别为．若，且三角形的周长为，则该三角形面积的最大值为_______________． 【答案】 【分析】利用余弦定理角化边可得，再根据周长并用基本不等式可得，进而可得面积的最大值. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得， 整理得，解得或， 因为，所以，所以， 故三角形为直角三角形，且. 又因为，， 由基本不等式可得， 即,解得，当且仅当时等号成立， 所以该三角形面积，此时； 当时， 此时三角形为等腰直角三角形，，面积有最大值. 14．（2026·广西崇左·一模）已知直线与抛物线（）交于A，B两点，且，若C上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由弦长求出的值，的最大值转化为的最大值求解. 【详解】将代入，得， 因为，所以. 设，，则，， 则， 因为，所以. 故抛物线C的焦点为，点在C的上方， 由抛物线的定义知，，则， 当P，F，M三点共线且F位于P，M之间时，取得最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·广西北海·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求角B及的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用余弦定理即可得角，再利用同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助正弦定理可求出，再利用面积公式计算即可得. 【详解】（1）， 即有， 由正弦定理可得， 则， 又，故； 由，则，故， 则 ； （2）由正弦定理，可得， 则. 16．（2026·山西运城·一模）如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且． (1)证明：平面． (2)求多面体的体积． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先由题意求证平面得到，再结合和线面垂直的判定定理即可求证； （2）依次求出和即可求解多面体的体积； （3）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用平面夹角的向量法公式即可计算求解. 【详解】（1）证明：因为平面平面，， 且平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面； （2）由题意可知，所以由平面得平面， 因为平面，平面，所以， 所以由可知四边形是边长为2的正方形， 所以， 又，所以， 所以多面体的体积为； （3）由平面和可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 因为，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 平面与平面夹角的余弦值为. 17．（2026·山西临汾·一模）水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产、所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； (3)若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里. 参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中， 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)更适宜 (2) (3)347 【分析】（1）根据散点图的特征确定回归方程类型. （2）利用非线性回归及最小二乘法求出回归方程. （3）利用（2）的结论进行数据估计. 【详解】（1）由散点图得，藻类面积随时间的增加其增长速度越来越快， 所以更适宜作为藻类面积y与时间x的关系的回归方程类型. （2）由，两边同时取常用对数得， 设，，，则， 由，，得， 则，因此，， 所以y关于x的回归方程为. （3）当时，（平方公里） 所以若不加治理，第8次检测时，藻类面积约为347平方公里. 18．（2026·黑龙江吉林·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设，，均为椭圆上的动点． （ⅰ）若直线、直线分别过的左右焦点，记直线、、的斜率分别为，，，当，，成等差数列时，求点的坐标； （ⅱ）若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析； 【分析】（1）根据椭圆的离心率、短轴长、的关系列方程组求解的值，可得椭圆的方程； （2）（ⅰ）设，则根据斜率关系可得，设，，，，其中，，联立直线与椭圆确定交点坐标关系，再由，，成等差数列，得，结合斜率的坐标运算列方程即可得的值，从而得所求；（ⅱ）若的重心是坐标原点，讨论直线的斜率不存在与存在两种情况，当直线的斜率存在时结合点差法得，从而得直线的方程，联立直线与椭圆，利用的面积公式得，结合三角形重心性质即可证得结论. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以椭圆方程为； （2）（ⅰ）设，则，， 所以， 设，，，，其中，， 由，消去，得， 则 从而， 同理，可得，， 则， 由，，成等差数列，得，即， 解得，，或（舍），（舍）， 所以点的坐标为． （ⅱ）证明：设，，， 当直线的斜率不存在时，易得，直线的方程为，或，直线的方程为， 将代入椭圆的方程，可得， 所以的面积， 当直线的斜率存在时，有的中点，则， 因为，在椭圆上，则，相减得， 整理得，所以可得， 所以直线的方程为， 即， 令，可得直线在轴上的截距为，则， 将代入椭圆的方程，得， 即，则，， 所以， 所以， 又因为是的重心，所以， 综上，的面积是定值． 19．（2026·海南儋州·一模）已知函数． (1)求证：函数的图象恒过定点； (2)若对任意,不等式恒成立， ①求实数的值； ②求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先变形得，令，再证其存在唯一零点，进而可得函数过定点； （2）①，即，令，再分和讨论函数单调性，进而得到的值；②由①知，再令，利用导数可证，即，最后结合两次取等条件不一致可得． 【详解】（1），，， 因在上单调递增，且时，，当时，， 所以存在唯一的，满足， 此时， 即函数的图象恒过定点； （2）①由（1）知， 则，由，可得 令，则， （i）当时，，则在上单调递增， 又，所以当时，，与矛盾，故不符合题意； （ii）当时，由解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，则当，即时，在单调递减， 即当时，，不符合题意， 同理可知，即时也不符合题意， 当，即时，，此时恒成立， 即，， 故； ②由①知，即，当且仅当时取等， ， 又， 令，则由，解得， 则当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故，即，当且仅当时取等， 则有，即，当且仅当时取等， 又，当时取等， 取等条件不一致，等号不成立，故． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $