2026届高三数学适应性训练模拟卷(1)（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 2026届高三数学适应性训练模拟卷，覆盖函数、几何、概率等核心知识，解答题融入图像识别技术等真实情境，通过折叠问题、导数证明等设计，考查数学抽象、逻辑推理与应用意识，适配多省份高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量共线条件、集合运算、函数奇偶性|结合辽宁、山西等多省份模拟题，梯度分布基础与综合题| |填空题|3题/15分|复数纯虚数、不等式最值、正四面体与球|第14题考查空间几何与球的相切，体现空间观念| |解答题|5题/77分|三角函数周期、立体几何折叠、图像识别概率、椭圆方程、导数单调性|第17题以AI图像识别为情境，考查数据处理与概率计算；第19题导数证明不等式，强化逻辑推理|

2026届高三数学适应性训练模拟卷(1) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·新疆·三模）设是非零向量，则“共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·山西太原·二模）若全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数是奇函数，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 6．（2026·山西晋中·模拟预测）已知点到点的距离为，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 8．（2026·重庆·一模）若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·山西太原·二模）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D．若，则 10．（2026·贵州遵义·模拟预测）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，，其中，则（    ） A．当时，平面 B．当时， C．当时， D．三棱锥的外接球半径的最小值为 11．（2026·广西南宁·三模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．的极大值点是3 C．的值域为 D．当时，函数有1个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·新疆·模拟预测）若为纯虚数，则__________. 13．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 14．（2026·广西·模拟预测）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（2026·山西太原·二模）已知函数的周期为，且. (1)求的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的值域. 16．（15分）（2026·山西太原·二模）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，以为棱将正方形折成如图所示，使得二面角的大小为，点在线段上且不与点重合. (1)直线与由三点所确定的平面相交，交点为，若，求的长度，并求此时点到平面的距离； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值. 17．（15分）（2026·新疆·三模）图像识别技术是人工智能的一个重要领域，是计算机视觉领域的技术分支，某大学的人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果 真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张人脸照片的识别都是独立的. (1)从这200张人脸照片中随机抽取一张，已知这张人脸照片的识别结果为男性，求识别正确的概率； (2)在新一轮测试中，小组同学对4张不同的女性人脸照片依次测试，全部测试完毕后，设X表示测试结果正确的人脸照片数，求X的分布列和数学期望； (3)为处理无法识别的人脸照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的人脸照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的人脸照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的人脸照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为，判定为女性的概率为）. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性人脸照片的数量之比与此轮测试中男性､女性人脸照片数量比例一致）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，试比较的大小. 18．（17分）（2026·山西太原·二模）已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 19．（17分）（2026·云南玉溪·二模）． (1)若，讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)证明：． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(1) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·新疆·三模）设是非零向量，则“共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据同向时，可得充分性不成立，利用数量积的运算律，由得，知必要性成立，即可得解. 【详解】若，当同向时，； 当反向时，，故充分性不成立； 若，则， 整理得， 即， 即，则，故必要性成立； 所以“共线”是“”的必要不充分条件. 2．（2026·山西太原·二模）若全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合补集交集运算即可. 【详解】因为，所以， 又，所以. 3．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数是奇函数，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数性质求出，然后利用和差公式化简即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得或， 因为，即，所以，可得， 则， 显然为奇函数，满足题意， 当时，取得最大值. 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】记1个“正确分类”为，1个“错误分类”为，2个“不确定样本”为， 已知测试到就停止，为测试到的的个数，则的可能取值为：， 时有两种情况：①第一个是；②第一个是，第二个是，即 ； 时有三种情况：①第一个是或，第二个是； ②第一个是或，第二个是，第三个是； ③第一个是，第二个是或，第三个是； ； 时有三种情况：①前两个是和，第三个是； ②前两个是或和，第三个是或，第四个是； ③第一个是，第二个和第三个是和，第四个是； ； ． 6．（2026·山西晋中·模拟预测）已知点到点的距离为，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据点和点的坐标确定其轨迹分别为圆和直线，将问题转化为圆上的点到直线的最小距离求解. 【详解】由题意得，点的轨迹方程为，点的轨迹方程为． 圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 的最小值是． 7．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项. 【详解】因为，且是的中点，所以BE⊥AC， 因为，且是的中点，所以DE⊥AC， 因为，平面， 所以平面，由于平面， 所以平面平面，C正确； 在平面内取点，作，，垂足分别为，，如图， 因为平面，由于平面， 所以平面平面，平面平面，平面，， 则平面，平面，所以， 若平面平面，同理可得，而，平面， 于是得平面，显然与平面不一定垂直，A不正确； 过A作边上的高，连，由得，是边上的高， 则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面与平面不一定垂直，B不正确； 因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角， 平面与平面不一定垂直，D不正确. 故选：C 8．（2026·重庆·一模）若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点，即函数必为单调函数，结合，故只能，即，求出临界值，即可求出答案. 【详解】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点， 所以直线与曲线最多有一个交点， 所以函数必为单调函数，否则必存在直线与其有多个交点. 求导得到， 又因为，所以只能，即， 设曲线与直线相切时切点的横坐标为， 则，解得， 所以， 则的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·山西太原·二模）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D．若，则 【答案】BC 【分析】根据与的关系可得，结合等比数列通项公式和题意求得，，再依次判断各选项即可. 【详解】当时，，解得， 当时，由题意可得， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 对于A，，故A错误； 对于B，是等比数列，故B正确； 对于C，因为，， 所以，故C正确； 对于D，若，则，即， 而当时，，故D错误. 10．（2026·贵州遵义·模拟预测）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，，其中，则（    ） A．当时，平面 B．当时， C．当时， D．三棱锥的外接球半径的最小值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，用表示出点的坐标，计算各个选项即可. 【详解】以为原点为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得：，，，， 设，则向量， 由长度条件：，即， 由与的夹角为， 得：，故； 由与的夹角为， 得， 故，因此， 代入(1)式：，即， 由于，此时，故， 通常取（点在底面上方），所以 故. 选项A：当时，，，可得：， 由，得不垂直于直线，故不垂直于平面，A错误； 选项B：当时，，， 则，， 所以，B正确； 选项C：由， 得， 化简得，又因为，所以，C正确； 选项D：设三棱锥的外接球的半径为， 三棱锥的外接球球心在过底面三角形外心的垂线上， 设球心，由得， 解得，半径平方， 由于，此时，故，故， 所以当时，，有，此时取到最小值， 故， D正确. 11．（2026·广西南宁·三模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．的极大值点是3 C．的值域为 D．当时，函数有1个零点 【答案】BD 【分析】选项A，根据奇偶性求出解；选项B，利用导数法求出单调性，利用单调性得到极大值；选项C，利用导数法求出单调性，利用单调性求出极值，结合极限得到值域；选项D，构造函数利用函数的最大值，单调性求解. 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，有， 由题意可得， 因此，所以A错误. 当时，， 求导得， 因为，所以的符号由决定： 当时， ，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 因此在处取得极大值，所以B正确； 下面判断值域，由上面的单调性可知， 当时，， 所以时，函数值范围为， 当时，，求导得 所以是极小值点，且又 因此时，函数值范围为， 结合，函数的值域为不是，所以C错误. 最后判断D,令 函数的零点等价于方程的实根， 当时，时，的最大值，所以在上没有解， 在上，在区间单调递增，且函数值从增大到 因此对任意，方程在内恰有一个实根， 所以函数有个零点，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·新疆·模拟预测）若为纯虚数，则__________. 【答案】 【分析】利用虚数的概念计算参数，再计算模长即可. 【详解】由题意可知，即， 则. 故答案为： 13．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 14．（2026·广西·模拟预测）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为________． 【答案】 【分析】首先根据条件作出图形，根据几何意义，求球的半径，即可求解体积. 【详解】如图，四棱锥，平面，四点共线， 点是的中点，连结，切点在上，    由题意可知，正四面体的棱长为12，所以，， 则， 设球的半径为，根据体积公式可知，， 解得：， 设球的半径为， ，即，得， 解得：， 球的体积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（2026·山西太原·二模）已知函数的周期为，且. (1)求的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据周期，可得，结合求出，再利用整体法求正弦型函数单调区间即可； （2）由平移变换得到，再利用恒等变形化简求出值域即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 由得， 的单调递增区间为； （2）由题意得， 的值域为. 16．（15分）（2026·山西太原·二模）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，以为棱将正方形折成如图所示，使得二面角的大小为，点在线段上且不与点重合. (1)直线与由三点所确定的平面相交，交点为，若，求的长度，并求此时点到平面的距离； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，证明得，及，设，求出，过作于，证明得平面，即为点到平面的距离，进而得到答案； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的法向量求法求解即可． 【详解】（1）由题意可知，，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为二面角为，所以， 所以与均是全等的正三角形，取中点，则， 由平面平面得， 又，平面，因此平面，即， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 设，所以，，所以即， 所以的长为. 过作于，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 即为点到平面的距离，因为，所以， 所以，所以点到平面的距离为. （2）因为，所以， 又平面平面，所以即为二面角的平面角， 所以. 取中点，连接，如图， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，又平面， 所以平面，因为，平面，所以， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则， 则， 设平面的法向量，则 令，则，所以. 设平面的法向量，又， 所以， 令，则，所以. 所以. 设平面与平面夹角为， 所以， 故平面与平面夹角的正弦值为. 17．（15分）（2026·新疆·三模）图像识别技术是人工智能的一个重要领域，是计算机视觉领域的技术分支，某大学的人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果 真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张人脸照片的识别都是独立的. (1)从这200张人脸照片中随机抽取一张，已知这张人脸照片的识别结果为男性，求识别正确的概率； (2)在新一轮测试中，小组同学对4张不同的女性人脸照片依次测试，全部测试完毕后，设X表示测试结果正确的人脸照片数，求X的分布列和数学期望； (3)为处理无法识别的人脸照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的人脸照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的人脸照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的人脸照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为，判定为女性的概率为）. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性人脸照片的数量之比与此轮测试中男性､女性人脸照片数量比例一致）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，试比较的大小. 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）根据题设表格中的数据，结合古典概率的概率计算公式，即可求解； （2）设事件输入女性人脸照片且识别正确，求得，根据题意，得到随机变量，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解； （3）根据题意，分别求得男性和女性人脸照片识别正确，识别为女性和无法识别的概率，结合概率的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题设表格中的数据，可得被识别为男性的人脸照片共有张， 其中真实性别为男性的人脸照片有张，所以识别正确的概率为. （2）解：设事件输入女性人脸照片且识别正确， 根据题中表格中的数据，可得真实性别为女性的人脸照片有张， 其中女性人脸照片且识别正确的有张，所以， 由题意得，随机变量， 可得，， ，， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以期望为. （3）解：由题意知，此轮测试的200张人脸照片中， 其中女性人脸照片共有80张，男性人脸照片共有120张， 程序将男性人脸照片识别正确的概率为，识别为女性的频率为， 无法识别的频率为， 程序将女性人脸照片识别正确的概率为，识别为男性的频率为， 无法识别的频率为， 由频率估计概率得：， ，， 所以. 18．（17分）（2026·山西太原·二模）已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）待定系数法即可求解. （2）（i）由三角形的重心坐标公式求得，直线方程与椭圆方程联立韦达定理即可求解； （ii）设的面积，四边形的面积由面积之比可得，直线与椭圆联立韦达定理即可求解. 【详解】（1）由长轴长为6，可得，则. 将点的坐标代入椭圆方程，可得， 解得. 故的方程为. （2）（i）由（1）可知，设直线. 联立得可得. 由，可得. 的重心的横坐标为，则， 即，符合， 故直线的方程为. （ii）由（i）可知. 设， 联立得可得， 则 如图，因为的面积， 四边形的面积 所以，得. 故，① ，② 联立①②，得，又在第一象限，所以， 故解得，所以. 19．（17分）（2026·云南玉溪·二模）． (1)若，讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)证明：． 【答案】(1)在R上单调递减. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，根据基本不等式判断导数的符号后可判断函数的单调性； （2）就、、分类讨论，结合局部保号性可求参数的取值范围； （3）根据（2）中的结论通过赋值法可证. 【详解】（1）当时，，故， 时等号成立， 故在R上单调递减. （2）由题设有 ， ， 因，由基本不等式有， 若，， 则（不恒为零），此时为上的减函数，故， 矛盾； 若，则，故， 此时为上的增函数，故， 若，设， 则，故存在，使得，总有， 故为上的减函数，故，有，矛盾； 综上，. （3）取，则在上恒成立， 再令，故， 故，故， 故. 取，则，故， 则由（2）可得， ， 当时，设， 则，故在为增函数，故， 即在上恒成立，故在上为减函数， 故在上恒成立， 故，故， 整理得. 综上，. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $