精品解析：四川峨眉第二中学校2025-2026学年高三下学期3月检测数学试题

峨眉二中23级高三3月检测数学试卷 命题人：徐梦 审题人：杨绍君 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题选项中，只有一项符合要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过复数的除法运算法则化简给定的复数，再求出其共轭复数，最后根据虚部的定义确定的虚部. 【详解】由题意，，则，所以的虚部为1. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得到，又，所以， 又，则. 3. 已知，分别为双曲线C：（ ， ）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由双曲线定义得即可求解. 【详解】由题意，，，所以， 所以，所以. 故选：C. 4. 如图是函数的部分图象，其中，则该函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题图知，函数的最小正周期，所以 ，则， 由图可知，点附近函数单调递增， 代入，可得，则， 又，则，所以. 5. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得切线长的最小值． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 由直线上的点向圆引切线，切点为A， 则. 要使切线长最小，则最小，此时. 所以切线长的最小值为． 故选：B. 6. 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简，再利用泰勒公式近似求出的值，再比大小即可. 【详解】由题意可得，， ， 又，则. 故选：C 7. 在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平移法则可得点经三次平移后，坐标为，列出方程组求解即可. 【详解】因为点沿平移后，坐标为， 点沿平移后，坐标为； 点沿平移后坐标为， 因为三次平移后坐标为，故，解得. 8. 已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的周期性，从而得到导数的周期性，再根据导函数的对称性和周期性可求 . 【详解】由可得， 所以函数周期是，且的周期也是. 因为，故， 故的图象关于直线对称. 对求导得，. 则 故选：B. 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 将一个直径为的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A. 底面直径为，高为的圆柱体 B. 底面直径为，高为的圆锥体 C. 底面直径为，高为的圆锥体 D. 各棱长均为的四面体 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据球的几何性质，结合勾股定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,若圆柱的底面直径为8，则半径为4， 此时球心到圆柱底面的距离为，故圆柱的高可以为6，A符合， 对于B，若圆锥的底面直径为8，则半径为4， 此时球心到圆锥底面的距离为，故圆锥的高最大时为 ，B符合， 对于C，若圆锥的底面直径为7，则半径为， 此时球心到圆锥底面的距离为， 故圆锥的高最大时为，C不符合， 对于D , 若将各棱长均为的四面体放入到棱长为的正方体中， 此时正方体的外接球直径为，故D符合， 故选：ABD 10. 过点 的直线交抛物线 于，两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ） A. 以为直径的圆过坐标原点 B. 若 ，则 C. 若直线的斜率存在，则斜率为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，联立抛物线方程得到韦达定理式，计算即可判断A；直接代入并利用焦半径公式即可判断B；求出，则，即可判断C；计算得即可判断D. 【详解】由题意可知直线斜率不为0，设， 联立得， 则， 对于A选项，， 因为，所以 ，所以以为直径的圆过坐标原点，A说法正确； 对于B选项，若，则，由抛物线的定义可得，B说法错误； 对于C选项，因为为线段中点，所以， 若直线的斜率存在，则， 直线的斜率，C说法正确； 对于D选项，，D说法正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设线法并联立抛物线方程得到韦达定理式，再整体代入一一判断即可. 11. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，的周长为12，面积为6，则（ ） A. 内切圆的半径为1 B. 外接圆的半径为6 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助即可判断A；由三角恒等变换得,再结合面积公式和正弦定理即可判断B；借助周长公式和正弦定理即可判断C；借助正弦倍角公式和正弦定理即可判断D. 【详解】令的内切圆半径为，面积为，所以， 所以，即，故A正确； 因为 ，所以，， 所以 ， 又 所以 又，所以 令的外接圆半径为，由正弦定理可知，, 所以，所以 ，故B正确； 因为由选项B知，， 所以，故C错误； 由正弦定理和正弦倍角公式得： , 又由选项B知 ，所以，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线的切线为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，进而对照系数即可. 【详解】设切点为，由，得， 则由题意得 所以，． 所以． 所以． 故答案为：1. 13. 等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 _________. 【答案】15 【解析】 【分析】先由等比数列的性质求出，再由等差中项的性质求出，然后计算公比和，再利用等比数列的公式法求和即可. 【详解】由题意可得，解得 ， 因为与的等差中项为，所以，则， 得到，解得，故， 由等比数列求和公式得. 故答案为：15. 14. 将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则_____________；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“ 为偶数”，事件为“，中有偶数，且 ”，则_______________. 【答案】 ①. ②. ##0.25 【解析】 【分析】（1）根据题给条件可判断随机变量服从二项分布，即，再根据即可得解. （2）写出事件包含的事件个数，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】由题意知，正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的概率，且在桌面上连续独立地抛掷次， 为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则随机变量服从二项分布， 即，则； 正四面体与桌面接触面上的数字分别为，的包含的事件总个数为 ， 事件为“ 为偶数”包含的事件个数为，事件为“，中有偶数，且 ”包含的事件个数为. 则，，则. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出的可能取值为 ，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. 【小问2详解】 的可能取值为 . ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 16. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若对总成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出最小值； （2）先参数分类把转化为，再构造函数结合函数最值计算求参. 【小问1详解】 时，因为，所以， 所以当 时， ，当 时， ，所以在 上单调递减， 在上单调递增，所以． 【小问2详解】 因为 ，所以等价于， 令，则， 由（1）得 时，， 所以当时， ，当 时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以． 17. 如图，在四棱锥 中，平面PAD， ． （1）证明： 平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形， ，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． （ⅰ）求的长度； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面 所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 因为平面， 平面PAD， 所以 ， 又因为 平面ABCD，平面ABCD， ， 所以 平面ABCD． （2）（ⅰ）； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）依据平面得 ，结合 ，利用线面垂直判定定理，证得结果； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设，依据异面直线所成角公式求解后结合长度得； （ⅱ）设求出平面 法向量，计算线面角正弦值表达式，结合参数范围求取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）可知 平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直， 故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意可得， 所以， 设， 则， 因为异面直线AF与PB所成角为60°， 所以， 解得，所以． （ⅱ）设， 则， ， 设平面AEF的法向量为，则，即， 取 ，得， 因为，所以 ，即 ，解得， 所似所以 因为M在线段PB上，所以， 则， 设平面MAD的法向量，则即 取 ，得， 设EG与平面MAD所成角为， 则， 由于，所以，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为 18. 平面直角坐标系中，已知点，动点在轴上的投影为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）已知点在曲线上，点在轴上方且异于点，点在轴下方，直线与轴分别交于点． （i）若 ，求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，，根据条件得，即可求解； （2）（i）设直线，根据条件求出，进而得轴，即可求解；（ii）设直线，联立直线与双曲线方程，得到，求出的坐标，进而求得，即可求解. 【小问1详解】 设，则，由，得， 整理得曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）由题设直线， 由，消得到，则， 又 ，以替代，得， 所以，即轴，又点在轴上方且异于点， 则，所以的取值范围为． （ii）由题可设直线，由， 消得到，则， 且， 又直线，令，得到，所以， 同理可得，又， 所以 . 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列 经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. （1）若，求； （2）若，求正整数的最小值； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由. 【答案】（1）， （2）10 （3）存在，且或 【解析】 【分析】（1）由题意计算可得第二次“和扩充”后得到数列，计算即可得解； （2）由题意可得，计算出首项后，可得数列为等比数列，即可计算出，在解出不等式即可得； （3）计算出、、后，可得， 计算即可得，再借助等比数列的定义即可得需满足的关系. 【小问1详解】 ，第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ，； 【小问2详解】 数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到， 故，故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得，最小值为10； 【小问3详解】 因为， ，依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由题意可得，从而可结合等比数列求和公式得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 峨眉二中23级高三3月检测数学试卷 命题人：徐梦 审题人：杨绍君 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题选项中，只有一项符合要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，分别为双曲线C：（ ， ）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 4. 如图是函数的部分图象，其中，则该函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 将一个直径为的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A. 底面直径为，高为的圆柱体 B. 底面直径为，高为的圆锥体 C. 底面直径为，高为的圆锥体 D. 各棱长均为的四面体 10. 过点 的直线交抛物线 于，两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ） A. 以为直径的圆过坐标原点 B. 若 ，则 C. 若直线的斜率存在，则斜率为 D. 11. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，的周长为12，面积为6，则（ ） A. 内切圆的半径为1 B. 外接圆的半径为6 C. D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线的切线为，则______． 13. 等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 _________. 14. 将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设 为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则_____________；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“ 为偶数”，事件为“，中有偶数，且 ”，则_______________. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为 ，求 的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若对总成立，求实数a的取值范围． 17. 如图，在四棱锥 中，平面PAD， ． （1）证明： 平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形， ，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． （ⅰ）求的长度； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面 所成角的正弦值的取值范围． 18. 平面直角坐标系中，已知点，动点在轴上的投影为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）已知点在曲线上，点在轴上方且异于点，点在轴下方，直线与轴分别交于点． （i）若 ，求的取值范围； （ii）求证：． 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列 经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. （1）若，求； （2）若，求正整数的最小值； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $