河南信阳市普通高中2025-2026学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

★2026年4月29日 2025-2026学年普通高中高二下学期期中教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.某水池的水位高度h(单位：米)与时间（单位：小时）的关系为()=-171+200，则当=3时，水位 的瞬时变化率为 A.13米/小时 B.15米/小时 C.17米/小时 D.19米/小时 2.学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史 中任选一科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为 A.5 B.12 C.20 D.60 3.已知函数f(x)=e"cosx+x,则f'(x)= A.e'sin x+1 B.I-e*sin x C.e*cos x-e*sin x+1 D.e'cos x+e'sin x+1 4.已知随机变量X取所有值1,2，…，n是等可能的，且P(X≥7)= ,则n的值为 A.20 B.19 C.18 D.17 5二项式24” 的展开式中二项式系数之和为64，则常数项是 A.280 B.240 C.160 D.-160 6.若从0,1,2,3,4,5这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数 中，大于3000的偶数的个数是 A.96 B.84 C.108 D.72 7.已知函数f(x)=x3-2mx2+m2x在x=1处取得极大值，则m的值为 A.1 B.3 C.1或3 D.2或-2 8.已知a= 3: 5 h3,6 ln5c=e,则 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 高二数学试题第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法中正确的是 A.若P(A)>0,P(B)>0,则事件A,B相互独立与事件A,B互斥不能同时成立 B.数据2,3,4,5,6的第60百分位数是4 C.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球 1次的得分均值为0.7 D.若随机变量X的数学期望E(X)=2.8,则E(3X+2)=8.4. 10.已知函数f(x)=x3-3x2,则 A.f(x)在区间(0,2)上单调递减 B.函数y=f(x)+1有三个零点 C.若函数y=f(x)+a的图象关于(1，b)对称，则a-b=2 D.若函数y=f(x)+a在[t,t+2]上的最大值为a,则te[-2,0] 11.设A,B,C为随机事件，假设P(A)=P(B)=P(C)=,则下列说法正确的是 A若P(AUB)=号，则A与B相互独立 B.若A与C互斥，则P(AUC)=三 C.若A与C互斥，则P(C1AB)=1 D若P(BA)=子则PCB)= 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.盲盒，由于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求，已经成为一种新型的消费现象 某直盒营销商对盲盒商品进行了升级，新款宜盒中出现”隐数款”的概率为)，旧款盲盒中出现“隐 藏款”的概率为2该商家会以3：2的比例对新旧款盲盒进行随机发货，则消费者买到的某个盲盒 中出现“隐藏款”的概率为 13.某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两 位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为 14.不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的1个白球和3个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若 取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加人一个除颜色外完 全相同的白球，继续取球.若最多进行n次取球(n∈N',n≥I),即当取球次数为n时，立即停止取 球，记随机变量X为取球的次数，设X,的数学期望为E(Xn),则E(Xg)= 高二数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（13分)已知二项式(2x+1)”的展开式中第3项的二项式系数和第5项的二项式系数相等. (1)求展开式中含x的项； (2)记(2x+1)"=ao+a1x+a2x2+…+anx”,求a1+a3+a5 16.(15分)已知函数f(x)=lnx-ax(aeR). (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2x-y+1=0平行，求实数a的值； (2)讨论函数f代x)的单调性. 17.（15分)某科技园区对园区内8家初创企业的研发投入与专利申请数量进行调研，得到如下数据： 企业 A B C 0 E F G H 研发投人x(万元) 200 500 800 1000 1500 2000 2500 3000 专利申请数x(件) 2 4 6 5 7 8 0 10 (1)从这8家企业中随机抽取1家，记事件M:抽到的企业“研发投人不超过1500万元”；事件N: 抽到的企业“专利申请数超过6件”， ()求条件概率P(NIM)的值： ()判断事件M与W是否相互独立，并说明理由. (2)现在要从这8家企业中随机抽取3家进行重点扶持，记其中专利申请数大于6件的企业数为 随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X). 高二数学试题第3页（共4页） 18.(17分)某环保部门需要对某社区1000户家庭的饮用水进行某种有害物质的检测，假设每户家庭 的水样中含有该物质的事件相互独立，且含有该物质的概率均为p(0<P<1).检测方法采用分组 检测： 将待检测家庭分成m个小组，每组户，每组取每户的水样混合成一个样本进行检测. 若某组混合样本检测为阴性（不含该物质），则该组所有家庭无需再检测； 若某组混合样本检测为阳性（含有该物质），则需对该组内每户家庭分别单独检测一次（使用已采 集的水样). (1)已知=5，若某小组的混合样本检测结果为阳性，求该组内恰好有2户家庭水样中含有该物 质的概率（用含p的式子表示）； (2)用Y表示每组检测次数，T表示总检测次数，求用分组检测方法所需检测次数的期望值E(T)； (3)假设检测成本由两部分组成：采样处理成本为2元/户，化验检测成本为3元/次，若=4，且 该分组检测方法总成本的期望值比逐一检测的总成本节省了20%以上，求p的取值范围。 19.（17分)已知函数f(x)=e-alnx-x,其中a∈R (1)当α=-1时，判断函数f(x)在区间(0，+oo)上的单调性，并说明理由； (2)若函数f(x)在定义域内存在极值点，求实数α的取值范围； (3)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明：e>xx2 高二数学试题第4页（共4页）2025-2026学年普通高中高二下学期期中教学质量检测 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1D(解折因为h()=-7+20.则公(0)=17当1=3时，N(3)=1=19.放选 D. 2.B【解析】不同的选法种数为C,×C2=12.故选B. 3.C【解析】因为f(x)=e'cos x+x,所以f'(x)=e'cos x+e(-sinx)+1=e'cosx-e"sin x +1.故选C. 4.C【解析】由题意，得P(X=1)=P(X=2)=…=P(X=n).所以P(X≥7)对应X=7, 8,,n,共n-6个取值，则6-子，即3(n-6)=2n,解得n=18.放选C 5.D【解析】二项式的展开式中二项式系数之和为64，则2”=64，解得n=6.所以通项 为T=C·(）(-2)×,则T,=C(-2)x=-160,则常数项是-160.故选D. 6.A【解析】由于组成的无重复表字的四位数要大于3000且为偶数，则千位数字只 能为3,4,5.需要分情况讨论：①当千位数字为5时，为保证是偶数，个位数字只能 从0,2,4中选，有3种选法：然后从剩下的4个数字中选2个安排在百位和十位， 有A=4×3=12种，所以共有3×12=36个.②当千位数字为4时，个位数字只能从 0,2中选（因为4已用作千位），有2种选法：然后从剩下的4个数字中选2个排列， 有A2=4×3=12种，所以共有2×12=24个.③当千位数字为3时，个位数字可以从 0,2,4中选，有3种选法；然后从剩下的4个数字中选2个排列，有A=4×3=12 种，所以共有3×12=36个.综上，总个数为36+24+36=96.故选A. 7.B【解析】由题意，得f'(x)=3x2-4mx+m2.因为f(x)在x=1处取得极大值，所以 f'(1)=3-4m+m2=0.解得m=1或m=3.当m=1时，f'(x)=3x2-4x+1=(x-1)· (3x-1).令f(x)=0,解得x=3或x=1,当xe（如，3)，(1，+)时(x)>0. f)为增函数，当x∈行，1时，f()<0f)为诚函数，所以f)在x=1处取得 高二数学答案第1页（共7页） 极小值，不符合题意，故舍去；当m=3时，f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),令 f'(x)=0,解得x=1或x=3,当x∈(-o,1),(3,+o)时，f'(x)>0,f(x)为增函数， 当x∈(1,3)时f'(x)<0f(x)为减函数，所以f(x)在x=1处取得极大值，故m=3 满足题意.综上，m=3.故选B. &B【解标】因c=设=后则了()=n分当1<e时，n1,则 (Inx)2 f'(x)<0,所以f(x)在(1，e)上单调递减；当x>e时lnx>1,则f'(x)>0.所以fx)在 (e,+o)上单调递增.所以f(e)<f(3)<f(5),即c<a<b.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.ACD【解析】若A,B相互独立，则A,B不互斥，若A,B互斥，则A,B不相互独立，故 A正确；数据2,3,4,5,6共5个数，第60百分位数是第3个数和第4个数的平均 5.故B借误教材P63)在篮球比赛中，罚球命中1 得0分.依据两点分布可得E(X)=0.7,故C正确；【教材P66】由E(X)=2.8得E (3X+2)=3×2.8=8.4,D正确.故选ACD. 10.ABC【解析】对于A,由题意知，f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),由f'(x)<0,解得0<x< 2,故A正确；对于B,函数y=f(x)+1=x3-3x2+1,则y'=3x2-6x,在x=0处取得极 大值，为ylx=o=1>0,在x=2处取得极小值；为yl=2=-3<0,且当x→-∞时，f(x) →-0，当x→+∞时，f(x)→+∞，所以函数f(x)在定义域上有三个零点，故B正确： 对于C,若函数y=f(x)+a的图象关于(1，b)对称，则f(x)+a+f(2-x)+a=2b,又 f(x)+a+f2-x）+a=x3-3x2+a+(2-x)3-3(2-x)2+a=x3-3x2+a+8-12x+6x2-x3- 3(4-4x+x2)+a=x3-3x2+a+8-12x+6x2-x3-12+12x-3x2+a=2a-4,所以2a-4=2b, 所以a-b=2,故C正确；对于D,由于f'(x)=3x2-6x,则y=f(x)+a在(-，0]和 [2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以y极大值=f(0)+a=a,又f代3)+a=3- 3×32+a=a,要使y=f代x)+a在[t,t+2]上的最大值为a,则 ≤0，>0， 或 解得 t+2≥0，(t+2=3, -2≤t≤0，或t=1,故D错误.故选ABC. 33P(AB)= 11 11.ACD【解析】对于A,因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 9, 所以P(AB)=)=P(A)P(B),所以A与B相互独立，故A正确：对于B,因为A与 高二数学答案第2页（共7页） G互斥，则P(AC)=0,所以P(AUC)=P(A)+PC)=子，故B错误：对于C.因为A 与C互斥，所以ACC,所以ABCC,所以P(CAB)=P(AB),所以P(CIAB)= PC)）-CAB=1,放C正确：对于D,因为P(BA=子P(A)=了，所以P(A P(AB)P(AB) =1写号，又根据全概幸公式，得P(B)=(A)P(BA)+P(a)P(BA)=写，所以 }子×+P(BA,所以PBA)放D正确放选ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【解析】设4，=“消费者买到新款盲盒”，4，=“消费者买到旧款盲盒”，B=“肓盒 10 中出现隐藏款”，则P(B)=P(A)P(B1A)+P(A,)P(B1A,)=亏×g+亏X12 3121 X 1 10 13.28【解析】若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口，两个路 口为1+3人分布，共有C4CA=8种安排方案，两个路口为2+2人分布，共有 C2C2 A 2=6种安排方案，此时共有8+6=14种安排方案；同理若小王在乙路口，小 李在甲路口，也共有8+6=14种安排方案.所以共有14+14=28种不同的安排 方案 14.9 去一由题意知，X的所有可能取值为1,2,3，…， 当2≤k≤n-1,X,=k时，前k-1次取到白球，第k次取到黑球，则P(X。=k)=× 23k-13 1×2×3×3 18 561 k+2+3(k+1)(k+2)(+3)(6+1)(+2)(k+3)当X,=n时， 前n-1次取到白球，第n次取到黑球，则P(X,=n)三4×5×行×…×” X n+2 6 RaD2所EX)1xP(X.ED+2PD+P(Xn》 i2* 18 6 18 因为 (n+1)(n+2) (k+1)(k+2)(k+3) 高二数学答案第3页（共7页） L(k+1)(k+2)(k+2)(k+3) ,所以 18 1 1 点(k+1)(k+2)(k+3) ÷9 3×44×5 9117 1 1 1 3 4×55×6 +…+9 9 n(n+1)(n+1)(n+2) 3×4(n+1)(n+2) 9 3 18 6 33 (m+1)n+2所以B(X,)=4+(4+1)04+2)(4+3)*+1a+2)4+ 一十 9 6 3 3 (n+1)(n+2)'(n+1)(n+2)2(n+1)(n+2) 综上，E(X)= 3 2 (n+1)(n+2) 3322 故E(X,)=29x1015 这二依整腹得：X==X=2=品r心光=3)=宁名司 P0U48号0x=号E=60 4 2、34、5、31 3 所以E(X,)=4+2×20+3 0*3 3.1 2020 16*7 70527+6x了122 。+8X 280012015 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤！ 15.(1)由二项式(2x+1)”的展开式中第3项的二项式系数和第5项的二项式系数相 等，得C2=C4,解得n=6。…2分 所以(2x+1)6的展开式的通项公式为T1=C6(2x)6(1)'=C52x. 令6-r=3,解得r=3.…4分 代入通项公式得含x3的项为T4=C(2x)3=160x3.…6分 (2)令x=1,得a+a,+a2+…+a6=(2+1)6=3. 8分 令x=-1,得ao-a1+a2-…+a6=(-2+1)=1. 10分 两式相减，得2(a1+a3+a)=36-1=728. 所以a1+a3+0,=364.… 13分 16.(1)函数f(x)=lnx-ax的定义域为(0，+o). 求导得∫(x)=】a,则曲线在点(1,1)处的切线斜率为f(1)=1- 直线2x-y+1=0可化为y=2x+1,斜率为2. 由切线与直线平行，得1-a=2,解得a=-1. 5分 高二数学答案第4页（共7页）》 (2)由(1)知f(x)=1-a=1- -(x>0) 7分 ①当a≤0时，1-ax>0恒成立，所以f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立， 故f(x)在(0，+∞)上单调递增. 9分 ②当a>0时，令f'(x)=0,得1-ax=0,即x= 当0<<时，1-a>0,所以f(x)>0,f(x)单调递增； 当心时，1-x<0,所以f'(x)<0,x)单调递减。 13分 综上，当a≤0时)在(0，+0)上单调递增；当a>0时x)在0，)上单调递 增，在日，+)上单调递减 15分 17.（1)(i)由题意知，事件M:研发投入不超过1500万元，包含企业A,B,C,D,E,共 5家；事件N:专利申请数超过6件，包含企业E,F,G,H,共4家. 所以MnN只有企业E. 所以P()=P(=2,P(Mn=名 所以P(NIM)= P(MW)1、81 P(M)85-5 4分 (ii)事件M与N不相互独立.理由如下： 因方0-日所以P代Pr0-Xg名 。=P(MW). 所以事件M与N不相互独立.… 8分 (2)【教材P60】专利产出数大于6的企业有4家(E、F、G、),从中随机抽取3 家，则X的可能取值为0,1,2,3.依据古典概型知识，可得： P(X=0)= C9C&1×441 C56564P(X=1)= C4×6246 C8565614 CC 4x1 4 1 P(X=2)= CC46×4246 C565614P(X=3)= 12分 C:565614 X的分布列为： 高二数学答案第5页（共7页） X 0 2 3 1 6 6 1 14 14 14 14 数学期望：E(X)=0×+1×+2×,+3X2 6 15分 14 14 14142 18.(1)设该小组的混合样本中含有该物质的户数为X,则X~B(5,P). …1分 因为混合样本检测呈阳性，即X≥1， 所以所求概率P(X=21X≥1)= P(X=2)P(X=2)》 P(X≥1)1-P(X=0)1 3分 又P(X=2)=C×p2×(1-p)3;P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p). 所以P(X=21X≥1)=10p21p) 5分 1-(1-p) (2)因为每组检测次数为Y,则Y的分布为：若混合样本为阴性，则只需检测1次， 概率为(1-p)”;若混合样本为阳性，则需检测n+1次，概率为1-(1-p).…7分 所以期望E(Y)=1×(1-p)"+(n+1)×[1-(1-p)]=1+n[1-(1-p)]. 因为共有1000个小组，所以总检测次数的期望E(T)=1000E(y)=100 n 1+a1-(1p)3=101-(1-pyr 10分 (3)由题意知，总成本包括采样处理成本和化验成本 所以逐一检测时总成本为C浮=1000×5=5000元， 分组检测时采样成本为1000×2=2000元，检验成本为3E(T).…12分 由(2)知，当a=4时.E(=101-(1pr+-1001-(1p+20 故总成本的期望为C组=2000+750+3000-3000(1-p)4=5750-3000(1-p).… …14分 由题意知，分组检测总成本比逐一检测总成本节省20%以上，即C组≤80%C 7 所以5750-3000(1-p)4≤80%×5000，即(1-p)4≥ 2 …16分 高二数学答案 第6页（共7页） 因比p的取值范周为0,1-召 17分 19.(1)由题意知，当a=-1时，函数f(x)=e+lnx-x的定义域为(0，+∞.求导得 f(x)=c+-1.当>0时，e>1,且>0，因此f(>0恒成立 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增. 5分 (2)由题意知，函数f(x)=e-alnx-x的定义域为(0，+o). 求导得f(x)=e”-1. 八s)在定义域内存在极值点等价于f(✉)=0有解，即e-1=是 所以a=x(e-1). 设a=g(x)=x(e-1),则g'(x)=(e-1)+xe=(x+1)e-1. 当x>0时，e>1,且x+1>1,所以g'(x)>0,即g(x)=x(e-1)在(0，+0)上单调 递增 又g(0)=0,当x→+∞时，g(x)→+∞，因此当a>0时，方程a=g(x)=x(e-1)有 唯一解，即存在唯一的极值点；当α≤0时，方程无解，无极值点 故实数a的取值范围为(0，十0).… 10分 (3)设0<x,<x2,由零点存在定理，可得f(x,)=f(x2)=0, e"-x-a In x=0,e-x2-aln x2=0, e"=x+aln x,e=x2+a In x2. 两式相乘得e=(alnx,+x,)(alnx,+x2). 要证e+>x1x2,即证(anx1+x)(alnx2+x)>xx2 由(2)知，a>0,且x1>0,x2>0. 若x>1,则lnx1>0,故anx,+x1>x1;若0<x,<1,则lnx,<0,但e1=x1+anx1, 而e>x1+1,故alnx+x1>x+1,即aln x1>1. 因为lnx<0,故a<0,与a>0矛盾，故x>1. 同理可得x2>1. 因此alnx1+x1>x1>0,alnx2+x2>x2>0. 两式相乘，得(alnx,+x1)(lnx2+x2)>x1x2, 即et>x1x2… 17分 高二数学答案第7页（共7页）