江苏南京市金陵中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

金陵中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 一.选择题（共5小题） 1.在复平面内，（-1+3)i对应的点位于（ ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】由(-1+3)i=-3-i得点坐标为(-3，-1) 2.某同学记录了当地4月最后8天每天的最低气温（单位：℃），分别为12,14,12,16,12,11， 15,17,则该组数据的第70百分位数为() A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】数据整理为11,12,12,12,14,15,16,17，由8.0.7=5.6得取第6个数15. 3.已知向量m=(1,l),n=(1,-1).若(xm+n)⊥(ym+n),则 A.xy=-1 B.xy=1 C.x+y=-1 D.x+y=1 【答案】A 【解析】由已知得 xm+n=(x+1,x-1 、,所以由垂直有(x+1)(y+1)+(x-1)y-1)=0,化简得xy=-1. ym+n=(y+1,y-1 4.如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏北30° 的方向上，行驶300m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向上，塔顶D的仰角为 45°，则此铁塔的高度为() D B A.50v6m B.75√6m C.150W2m D.150V3m 【答案】C 【解析】由已知得430C=45,所以有定理，即300、 .=BC, 2 2 2 又因为仰角为45°，所以三角形BCD是等腰直角三角形，即BC=CD=300 5.若sin0+cs日3，则tan9+anA的值为() tan日 3 A.3 B.-3 C. D. 【答案】B 【解折平方得+2sm8cosA即sm8cos9Eam9+sn0os0 1 =-3. 3 tane cos sin sincos 6.在△ABC中，AB=1,∠BAC=120°，AC-4,D是BC边上一点，AD是∠BAC的角平分线，则 AD的长为() B. 4 c. 3 3 D. 4 【答案】B 【】因为5加=8a+成m,所4兽0厚40，解嗣0-号 7设函数闭=加2+o0<9<孕的最小正同期为T,若/们-兰：一若为因的-个零点， 6 则正数ω的最小值为（) 3 A. B. C. 9 D. 9 4 【答案】C 【折】由已知得7-云，故/日-兰，有如2+例-兰，即9=兰，根据p的范可 得o-年，所以2r+),又由零点得警+)-0，即有警+普-a(低e2), 化简得w=设-e2.所以a=} 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2 ccosC=bcosA+acosB,且△ABC的外接圆 的半径为2，则△ABC周长的最大值为() A.2√2 B.3V2 C.2√3 D.3V5 【答案】D 【解析】由2 ccosC=bcosA+acos B得2 sin CcosC=sin Bcos A-+sin Acos B, 即有2 in CsC=n(4+B）,即有2i血CcsC=smC,即有asC=方，所以C-号 又由外接圆半径为1可知C。=2,(九章数学)即c=√3， sin C 由余孩定理得3=a+b-ab,即有(a+6)-3+3b,所以a+b≤3+3a+b, 4 化简得a+b≤2W3(当且仅当a=b时取等)，所以周长最大值为3√3. 二.多选题（共3小题） 9.若y是样本数据x,2,3,x4的平均数(x1,2,3,x4不全相等)，则（) A.,2,3,x4的极差等于x1,2,x3,4,y的极差 B.x,2,,x4的平均数等于1，，x3,x4,y的平均数 C.x1,2,3,x4的中位数等于x1,x2,3,x4,y的中位数 D.x1,2,x3,x4的标准差大于x1,2,x3,x4,y的标准差 【答案】ABD 【解析】设x<x2<x<x4,此时y∈(x,x4), A中极差均为x,一x,故A对； y=+++龙，所以y=++++少，故B对： 4 5 C中前者中位数为+龙，后者中位数为x,故C错； 2 D中前者标准差为s=1 (x-y2+(2-y2+(x-y2+(x-y)2 后者标准差为s'=≤-+s-+(s-+(飞-+-明 故D对. 5 10.已知复数z=i-2026(i为虚数单位)，则下列说法错误的是() A.z的实部为1 B.z的虚部为-1 C.|z=√2 D.z=1+i 【答案】AC 【解析】z=i-2026=1+i,所以实部为1，虚部为1，模为V2,共轭复数为1-i. 11.已知△ABC,O、H分别为该三角形的外心、垂心，则下列结论正确的是() A.若A(0,2),B(1,0),C(2,-1),则BA在BC上的投影向量的坐标为(-1,0) B.“BCcosA=ACcosB”是“⊥ABC为等腰三角形”的充分不必要条件 C若8=AC=2,BC=5,则40=月 D.若2盛+3压+4C=0,则sin∠BHC= 5 【答案】AC 【解析】A中投影向量为 A.BC.BC=（←1,0)，故A对（用几何更直接）： BC 由已知得sino=-sin,即sin2A=sin2B,所以A=B或A+B=5,故B错： B40=6-)(用投影角度易得)，故c对： (九章数学)由垂心易知HAB=HA.HC=HC.HB, (2HA+3HB+4HC.HB=0 所以由2HA+3B+4HC=0有 (2LA+3HB+4HC)·HC=0 2HA.HB+3HB.HB+4HC.HB=0 2HB.HC+3HB +4HC.HB=0 即 2HA.HC+3HB.HC+4HC.HC=0' (九章数学)即 2HB.HC+3HB.HC+4HC2=0 HB'=-2HC.HB 即 c=-c丽 所以os∠BC=cos(c,丽，代入得os∠BHC-号， 所以sm∠ac,故∠ic-5, 故D错 三.填空题（共3小题） 12. 已知i是虚数单位，复数+的模为 1+i 【答案】√5 【解析 3+i_ 3+_o-5. 1++V2 13.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,△CED是等边三角形，M为五边形ABECD边上的动 点（含端点），则BCBM的最大值为 E A 【答案】1+√6 【解析】由向量投影可知当M点在E处满足题意，过E向直线BC作垂线，垂足为H,易得CH=√6 (即正三角形的高)，所以BH=1+√6，因此最大值为(1+√6)1=1+√6. 14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=sin2B 1+sinA 1+cos2B 则+2沙的最小值 为 【答案】4√3-6 【解析】由cosA=,sin2B得，cosA=2 sinB, 1+sin A 1+cos2B 1+SinA1+2cos2B-1，即=S0B 1+sin A cos B' 即有cos Acos B=sinB+sin Asin B,所以有cos Acos B-sin Asin B=sinB,即cos(A+B)=sinB, 即sinA+B+ sinB,(九章数学)所以A+B+元=B(舍)或A+B+无+B=元， 2 2 即A=T-2B,由三角形纳角和可知C=π-A-B=无+B, 2 所以42+2-sim2A+2sin2B Sin2 元-2B +2sin2 B 2 c2 sin2C sin2 +B _cos2B+2sinB(2cos2B-1)'+2(1-cos?B =4c0S2B+ 3 cos2 B cos2B 6 cos2 B 时取等， E2W12-6=4W3-6,当且仅当4cos2B=06 四.解答题（共5小题） 15.设复数z1=3+bi(其中i为虚数单位，b∈R),z2=4-3i. (1)若21+2是实数，求22的值；(2)若乙1是纯虚数，求b的值. Z2 【解析】(1)因为z,+22=7+(b-3)为实数，所以b=3,故2，=3+3i, 所以z22=(3+3)(4-3)=12-9i+12i+9=21+3i; 2)因为三=3+1-3+〔4+30-2-30+46+9上为纯虚数，所以6=4. z24-3i(4-3)(4+3) 25 16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知V3sinC+cosC=0,c=√7，b=√5. (I)求a;(2)设D为BC边上一点，且CD⊥CA,求△BCD的面积. ,所以c= 【解析】(1)由V5snC+cosC=0得amC=-5 6 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC得7=a2+3+3a,解得a=1; (2)因为Sc=Scm+3m,所以)51=；5cD.5+1cD,解得cD=5 22 2+2 5 所以sm=5cD.5-35 2 220 17.设向量a=2sn受o)=eas受smo+孕coe+Xo>0lp水孕， 函数f(x)=ab,xeR. I)若o=-,求p的值， (2)已知f在区间[-名爱上单调增，f爱=1.请从条件0、条件②这两个条件中 选择一个作为已知，使函数(x)存在，并求出f(x)的解析式. 条件②：x)在区间[-子-上单调减。 (3)在(2)的条件下，若锐角9满足f0)-号，求(2)的值， 【解折】)f)-2sn受os学np+引+o(om侧ewp+ =sin(ox)coso-cos(@x)sino=sin(@x-o), 若r0号，则有如(=9，即 Q)选条件2，则可知x=-名时/)取最小值，故有()=-1，即-9小-1， 即-oz-p=-T+2kπ(keZ), 又由(g-1得mg-9小1，即g-0受+2'xe2. 解得w=l,0=胥，所以f()=smx-写引月 6)由ro号得n0-)号因为s是锐角，所以0-引0，因此a0-》号， sin zo-3)-2sin(o-3)oot(o-3)-5 所以 m20-】so-哥}-smg-到}g m以m29-m0-}mo-m40-m等 92=18 18.校园绿化是提升校园品质、改善空气质量、创造怡人学习生活环境的重要组成部分.某校决定对 一块半径为30m的半圆形空地进行绿化建设 (1)如图1，甲单位提供的设计方案是：建设一块矩形绿化园CDEF,其中C,D位于半圆O的 直径上，E,F位于半圆O上，记∠DOE=Q.求矩形CDEF面积S,关于a的函数解析式，并求S,的 最大值； 图1 图2 (2)如图2，乙单位提供的设计方案是：在半圆O的圆弧上取两点M,N,使得∠AOM=∠BON- 6 扇形区域AOM和BON均进行绿化建设，同时，在扇形MON内，再将矩形区域GHPO进行绿化 建设，其中G,H分别在直线OM,ON上，GH与AB平行，P,Q在扇形MON的圆弧上，求该 方案中绿化区域的总面积S,的最大值，并请在两个方案中进行选择，同时说明理由. 【解析】(1)在直角三角形ODE中，由三角函数的定义可得OD=30cosa,ED=30sina, 所以S=ED.CD=ED20D=18000 sinacos=900sin2a,当a=元时，S取最大值900； (②)设P7延长与o8相胶于点I,且设∠P08=B(0)】 在直角三角形OPT中，由三角函数的定义可得OT=30cosB,PT=30sinB, 所以在直角三角形Or中，由三角函数定义可得m,即M-105cB, OT 因此PH=PT-HT=30sinB-10W3cosB, 所以SGre=PH.GH=PH·2OT=60cosB30sinB-10W3cosB） =1800sin Bcos B-600 3cos2B=900sin 2B-300 (1+cos2B) =30w5(5m20-cos20-刂-30w62sn（2n-8- 所以5=5am+9as+5ae15s0r+305l2n2p-}], 当B=5时S,取最大值150π+3005，由于150元+300W5>900,所以选择方案二. 19.设定义在数集S上的函数f,(x)=g”(x)+h(x),其中n是正整数，xES, (1)S=R,g(x)=sinx,h(x)=cosx, ①D求函数)+2ghC)的最大值：②解不等式（≤ (2)复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数.当S=C,g(x)=x,h(x)=二时，若存在 实数M，及实部不为零的虚数x,使得f(x)≥M,求x的模的取值范围. 【解析】(1)①f(x)+2g(x)h(x)=g(x)+h(x)+2g(x)h(c) =sinx+cosx+2sin xcosx=(sinx+cosx)+(sinx+cosx)2-1 m*asx+am+}r手 当x-子+2水x(eZ)时取最大值V2+1: (x)=g8(x)+h (x)=sinx+cos*x=(sinx+cos)-2(sinxcosx) =[【(sin2x+cos2x°-2((insx)-26 sinxcox月 =1-4(sin xcosx)+2(sinxcosx)=1-sin2x+Isin'2x, 9 由无（创s品得1-sm2x+日2r≤最.即4sm2-32sm2x+15s0, 因式分解有(2sin22x-1(2sin22x-15)s0,即)ssim22x≤5 即s1≤5.即cms4s0,即子+2ks4 3π +2kπ， 2 2 所以解得+红≤x≤3”+？(k∈Z);(注：本问也可用二倍角公式不断降幂处理) 821 -82 ②)由已知有方（创=g6闭+（四=+子，设x=a+, 则+草=(a+j+1 7=a2-b2+2abi+ (a2-b2-2abi) (a+bi)? (a2-b2+2abi)(a2-b2-2abi =a2-b2+2abi+ a2-b2-2abi =a2-b2+2abi+ a2-b2-2abi a2-b2）+4a2b2 (a2+b2 yiialate 聚7车w大小w,然a】 =0,即b=0或a2+b2=1, 即x为实轴上非0的点或以原点为圆心、1为半径的圆上的点时均满足题意， 所以x的模的取值范围为(0，+∞).金陵中学2025-2026学年第二学期期中考试 一、选择题（共8小题） 1.在复平面内，(-1+3)i对应的点位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.某同学记录了当地4月最后8天每天的最低气温（单位：C),分别为12,14,12,16,12,11,15， 17,则该组数据的第70百分位数为（) A.6 B.7 C.8 D.9 3.已知向量元=(1,1)，元=(1，-1).若(c元+)⊥（ym+),则(） A.y=-1 B.cy=1 C.x+y=-1 D.x+y=1 4.如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏北 30°的方向上，行驶300后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向上，塔顶D的仰角 为45°，则此铁塔的高度为（) ⊙⊙ ⊙⊙ A.50v6m B.75v6m C.150W2m D.150W3m 5.若sin6+cos0=5,则tan0+,1的值为() 3 tand A.3 B.-3 c昌 D-是 6.在△ABC中，AB=1,∠BAC=120°，AC=4,D是BC边上一点，AD是∠BAC的角平分线，则 AD的长为() A B青 c D 7设函数fa]=sim2e+j0<o<登)的最小正周期为T,若f7)=号，-若为fe)的- 个零点，则正数w的最小值为() A星 B号 c.9 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2 ccosC=bcosA+acos B,且△ABC的外接圆 的半径为2，则△ABC周长的最大值为() A.2W2 B.3√2 C.25 D.3√5 二、多选题（共3小题） 9.若y是样本数据x1,c2,c,c1的平均数(c1,c2,3,1不全相等)，则（) A.1,D2,c3,D1的极差等于D,c2,D3,c,y的极差 B.,2,C3,D1的平均数等于D1,D2,C3,x,y的平均数 C.1,2,C3c4的中位数等于1，x2,D3,c,y的中位数 D.C,2,c3,c1的标准差大于1，c2,c3,,y的标准差 10.已知复数z=i-2026(i为虚数单位)，则下列说法错误的是（) A.z的实部为1 B.z的虚部为-1 C.z=√2 D.z=1+元 11.己知△ABC,O、H分别为该三角形的外心、垂心，则下列结论正确的是() A.若A(0,2),B(1,0),C(2,-1),则BA在BC上的投影向量的坐标为(-1,0) B.“BCcosA=ACcos B”是“△ABC为等腰三角形"”的充分不必要条件 C.若AB=1,AC=2,BC=万，则A店.Ad=号 D.若2H☑+3H厉+4Hd=d,则sin∠BHC=5 5 三、填空题（共3小题） 12.已知i是虚数单位，复数3+：的模为 1+2 13.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,△CED是等边三角形，M为五边形ABECD边上的动 点（含端点），则BC·BM的最大值为 E D A B CosA sin 2B 14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 +41t2万则2的最小值 c2 为 四、解答题（共5小题） 15.设复数=3+bi(其中i为虚数单位，b∈R),22=4-3i. (1)若z1十是实数，求云·的值：(2)若互是纯虚数，求b的值. Z (2)因为兰=3+b:=3+b4+32=2-36)+（6+9为纯虚数，所以b=4 2 4-3i(4-3)(4+3) 25 16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知√3sinC+cosC=0,c=√7，b=√5 (1)求a: (2)设D为BC边上一点，且CD⊥CA,求△BCD的面积. 17.设向量d=(2sin受，cos(aa》,i=(cos罗sin(p+号cos(p+受)(w>0.g<受)，函数 f(x)=a·b,x∈R. 1)若于0)=-号，求0的值： (2)已知f✉)在区间[-音]上单调增，f钙)=1请从条件①，条件②这两个条件中选择一个 作为已知，使函数f(x)存在，并求出f(x)的解析式， 条件①：（号）=号： 条件②：✉)在区间[-号，一看]上单调减 (3)在(2)的条件下，若锐角：满足f)=号，求sm(20)的值 18.校园绿化是提升校园品质、改善空气质量、创造怡人学习生活环境的重要组成部分。某校决定对 一块半径为30，m的半圆形空地进行绿化建设， 图1 图2 (1)如图1，甲单位提供的设计方案是：建设一块矩形绿化园CDEF,其中C,D位于半圆O的直径上， E,F位于半圆O上，记∠DOE=a.求矩形CDEF面积S关于α的函数解析式，并求S1的最大值： (2)如图2，乙单位提供的设计方案是：在半圆0的圆弧上取两点M,V,使得∠AOM=∠BON-石， 扇形区域AOM和BON均进行绿化建设，同时，在扇形MON内，再将矩形区域GHPQ进行绿化建 设，其中G,H分别在直线OM,ON上，GH与AB平行，P,Q在扇形MON的圆弧上，求该方案中绿化 区域的总面积S2的最大值，并请在两个方案中进行选择，同时说明理由