湖北宜昌市部分重点中学2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学试卷

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念等素养，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数导数、双曲线离心率、等比数列|第5题结合导函数图象考查几何直观| |多选|3/18|排列组合、等差数列性质|第10题通过前n项和分析公差与最值，体现逻辑推理| |填空|3/15|二项式定理、线面角、不等式恒成立|第13题以射线夹角为背景考查空间观念| |解答|5/77|数列证明、立体几何夹角与距离、函数单调性、解析几何轨迹|第17题立体几何综合考查空间想象与运算能力，第19题解析几何轨迹问题体现数学建模，贴合高考命题趋势|

2026年春季学期高二年级期中考试数学试卷答案 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的： 1--4:DBBC 5--8:AADB 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BD 10.ABD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1 13 14.(-00,2] 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)fx)=3x2-6x-9=3(x-3)x+1),-- ----2分 由fx)>0,得x>3或x<-1, -4分 所以x)的单调递增区间为(-0，-1)和(3，+0).--- --------6分 (2)由(1)知，函数x)在x=3处取得极大值， 即3)=33-3×32-9×3+1=-22，解得a=5,则f)=x3-3x2-9x+5,-- ---9分 因为x)在[-2，-1]上单调递增，在[-1,0]上单调递减， 且-2)=30)=5，所以x)在[-2,0]上的最小值为3. -13分 16.解：(1)由an=Sn+3n(n-1)得， 当n≥2时，(.-S)=S+3n(n-1),即(n-1)S。-S1=3n(n-1) 3分 S2-S1=3 S. S=4=1 即nn-1.所以数列n)是首项为11，公差为3的等差数列 .-6分 ②由S=1+-1)x3得，S,=3r-2m, 之 当n≥2时，a=Sn-Sn-1=6n-5,a1=1也满足n≥2时an的式子， 所以n≥1时，a,=6n-5 -9分 1 1 1[11 a.a(6n-5)儿6(n+1）-5】(6n-5)(6n+1）6L6-56+1 ---12分 所以北行)…动动 --a）产a41所u数刻 的前n项和Z= anat1」 6n+1 ,-15分 二年级数学试卷答案第1页 共3页 17(1)在△ABC中，过点W作NQ/∥AB交BC于点Q,连接QM,如图： 在三棱柱ABC-AB,C中，因为ABAB,所以NQ∥AM, 所以A,N,QM四点共面. ---2分 因为直线ANI∥平面BCM,ANc平面ANQM,平面BCM∩平面 ANQM=QM,所以AN/QM.所以四边形ANQM是平行四边形. 所NQ=4M-AB-AB.所以N为AC的中点 .-5分 (2)因AB⊥平面BCCB,BC,BB,C平面BCCB,所以AB⊥BC,AB⊥BB1, 又因BCC,B,为正方形，BC⊥BB,故可以B为原点，BA,BB，BC所在直线分别为xy,Z轴 建立空间直角坐标系，如下图：因为2AB=BB,=2, 所以B(00,0,4.0,0,4L,20,B0,20.C0.0,2),G0,22),M320所以 C-a22.丽-G20 -7分 设平面BMC,的一个法向量为n=(x1,y1,Z1) 由·BC=0a2+22110 丽=0得1+21=0取%=1，得而=（←1-1， --9分 易知平面AB8,A:的法向量-0,01).cos)=高需-高 -1 、② ---10分 平面ABB1A1与平面BMC1夹角的余弦值为 --11分 6 (3)设平面NBM的一个法向量为=(xo,yo,20),易求=(4，-1，-2)- --12分 又BC=(0,22),则点C1到平面NBM的距离d=Bc画=24=2回 7 .-15分 nol 21 18证明：(1)函数fx)=e-h(+1)的定义域为(-1，+0)，--------1分 g60f)-ae-中xe(-1,+o则g)ae+中 -4分 因为心0，之0，所以g④>0，所以g因为(-L,+0)上的增函数-6分 (2)方法一：当2e1时，ae之eler=e-1,则有fx)=ae-n(x+1)≥e1-ln(x+1), 故只需证el-ln(x+l)>0恒成立.- -8分 令h)=e1-h(x+1),则hw)=el-1 x+1 由(1)知，当a=e时fy)=e1-在(-1，+0)上单调递增，即h)在(-1，+0)上单调递增，-l0分 x+1 又h@=-e1K0h0)-e-}0 由函数零点存在定理，可知h'(x)=0在(-1，+o)上有唯一实根xo,且xo∈(0,1)， 当x∈(-1，xo)时，h(x)<0,当x∈(xo,+o)时，hx)>0,从而当x=xo时，h(x)取得最小值.-----12分 由ho)=0,得e01-1=0, x0十1 即eo1=所以0-1=-h6ko+l. --14分 故h6epo)=eo1-h(o+l)-w-1o+6o+1)-20, 综上，当a2e1时fx)>0恒成立. -17分 方法二：当心el时，ae≥ele=e1,则有fx)=ae-ln(x+1)≥e-1-lnx+l), 故只需证el-ln(x+1)>0恒成立 令h(x)=e-x-l,则h(x)=e-1, 由h'(x)=0得x=0,由hx)>0得x>0,由h(x)<0得x<0, 二年级数学试卷答案第2页 共3页 所以当x=0时，h(x)mim=h(0)=0, 所以e-x-10恒成立，当且仅当x=0时，等号成立， 所以hx-1)=e-1-(x-1)-1≥0，即e-1≥x, 当且仅当x=1时，等号成立， hln(x+1]=es+)-ln(x+1)-l≥0，即x之n(x+1),当且仅当x=0时，等号成立. 所以e-lnx+1)>0恒成立. 综上，当a心el时x)>0恒成立 19.解：(1)由题意可知：E(0,-1),F(2,0), 由0R=10F=1(2,0)=(2λ，0)，可得R(2λ，0)， 当入≠0时，直线ER的方程为：y=京x-1→y+1=京x, --2分 又G(0,1),C(2,1),由C=1cF=1(0,-1)=(0,-0, 所以0=0C+C了=(2,1)+(0，-)=(2,1-)，可得S(2,1-) 所以直线GS的方程为：y=-2x+1宁y-1=-x, -3分 上面两直线方程相乘可得：y2-1=-x2→+y2=1, 所以可得点P在这个椭圆导+y2=1上， -5分 (2)()证明：设M(x1,y1),Nx2,y2),又由(1)知A1(-2,0),B1(2,0) 所以kAM=kW=是kAN一开 x2+2 则有kNk=2品 x7-4 又浮+乃=1，则好=1-草-年，代入上式可得k4wkw=一 -7分 又因为kB,M=3kAW,所以Mk=-立 1 -8分 设直线MN的方程为x=my+t(t≠士2)， (x=my+t 联立 +y2=1得(m2+4y2+2m+2-4=0. 2mt y1+y2=- 所以 m2+4,且4=4m2t2-4(m2+4)t2-4>0,即m2-t2+4>0,-10分 t2- y2= y1y2 y1y2 kA1M·kA1N= (x1+2)(x2+2)(my1+t+2)(my2+t+2) t2-4 m2+4 1 2、2m2+2+c+2)24t+8—12 m2+4 m2+4 所以t=1,所以直线过定点(1,0)： 13分 (i)由()可知 1+=4 -3 y1y2=m2+4 |B1M·|B1Q|=IB1☑·B1N1=l(x1-2)(x2-2)+y1y2l=l(my1-1)(my2-1)+y1y2l +器+山= 1 因为m2+4≥4，所以0<年≤子故B,MB:Q1的取值范围为0，]--17分 二年级数学试卷答案第3页 共3页2026年春季学期高二年级期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.若为正整数，则(+3)(+4)…(+8)等于() A.A3 B.A43 C.Ais D.A+8 2双曲线少x2 京户=1(a>0,b>0)的离心率为V5,则其渐近线方程为(） A.y=±V2x 马.y=)3 C.y=3x D.y=t 3.已知函数()在=1处可导，若1im2+0@=,则‘（①）=() A.-品 B品 c.- D 4.已知正项等比数列{}的前项和为，若3=51+2，则{}的公比为() A月 B月 C.2 D.4 5.已知()=}2+cos,’()为()的导函数，则'()的大致图象是() 6.己知二项式(2x-1)”的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为 () A.-160 B.-80 C.80 D.160 7.已知，∈，若两圆2+2-4+42-1=0和2+2-2-4+2=0外切，则 2+的最大值为() A号 B.√2 C.22 D.3V2 8.若曲线()=一有三条过点(0，)的切线，则实数的取值范围为() A.(0,7) B.(0,) C.(0,) D.(0) 二年级数学试卷 第1页 共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有() A.若、两人站在一起有24种方法B.若、不相邻共有72种方法 C.若在左边有48种排法 D.若不站在最左边，不站最右边，有78种方法 10.己知等差数列{}的前项和为，且10<12<11，则() A.数列{}的公差小于0 B.中11最大 C.数列{一}的公差与数列[的公差相等 D.使得>0的正整数的最大值为22 11.已知直线：=(-1)(>0)与抛物线：2=4交于，两点，为抛物线的焦点，过点 作的垂线交直线=一1于点，则（) A.·=0 B.=0 C.若引|=2|，则=2V2 D.若1=，则=V3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.9910除以1000余数为 13. ，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线与平面 所成角的正弦值是 14函数)-2-3+4-eR,当0∈0时，不等式fam)+/4m)少2恒成立， 则实数m的取值范围是 二年级数学试卷 第2页 共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设()=3-32-9+ (1)求函数()的单调递增区间： (2)若函数()的极小值为-22，求函数()在[-2,0]上的最小值. 16.(15分)己知数列[}的前项和为，满足=+3(-1)，且1=1. (1)证明数列{一}是等差数列： (2)求数列}的前项和· 17.(15分)如图，在三棱柱 一111中，侧面11是正方形， ⊥平面 11 2=1=2,点是线段11的中点，点在线段上，满足AN/1平面 (1)求证：是线段的中点： (2)求平面 11与平面 1夹角的余弦值： (3)求点1到平面 的距离. C 上-B 二年级数学试卷 第3页 共4页 18.(17分)己知函数()=-(+1) (1)设()=()(>-1)，当≥0时，求证：()为增函数； (2)当≥-1时，求证：（)>0恒成立. 19.(17分)己知矩形 在如图所示的平面直角坐标系中，1|=4,1|=2，，，， 分别是矩形四条边的中点，且四点均在坐标轴上，直线，上的动点，满足=，= (∈)，直线与的交点为. H B (1)证明：点在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程； (2)设1,1是椭圆C的左右顶点，若直线与椭圆交于、，且1=31（1,1分别 表示直线1,1的斜率)，过作直线1的垂线，垂足为· ()证明：直线过定点；()求！1·|1的取值范围. 二年级数学试卷 第4页 共4页▣▣ 报告查询：登录zhi xue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2026年春季学期高二年级期中考试 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 可▣ (正面朝上，切勿贴出虚线方框》 正确填涂 缺考标记 一、单选题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 二、多选题（每小题6分，共18分） 9[A][B][C][D] I0[A][B][C][D] 1I[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 第1页共6页 四、解答题 15.(13分) 囚囚■ 囚囚■ 第2页共6页 ■ 16.(15分) ■ 第3页共6页 ■ 17. (15分) C N B B A M I I 1 I 囚■囚 第4页共6页 18.(17分) 第5页共6页 口 19. (17分) D G H R E 囚■囚 第6页共6页 2026年春季学期高二年级期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若为正整数，则等于（  ） A． B． C． D． 2. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在处可导，若，则(  ) A. B. C. D. 4. 已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为(  ) A. B. C. D. 5. 已知，为的导函数，则的大致图象是(  ) A. B. C. D. 6. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ） A.-160 B.-80 C.80 D.160 7. 已知，若两圆和外切，则的最大值为(   ) A. B. C. D. 8. 若曲线有三条过点的切线,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有(  ) A.若、两人站在一起有种方法 B.若、不相邻共有种方法 C.若在左边有种排法 D.若不站在最左边，不站最右边，有种方法 10. 已知等差数列的前项和为，且，则(   ) A.数列的公差小于 B.中最大 C.数列的公差与数列的公差相等 D.使得的正整数的最大值为 11. 已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，过点作的垂线交直线于点，则（ ） A. B. C.若，则 D.若，则 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 除以余数为 . 13. 是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是 . 14. 函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分)设. 求函数的单调递增区间； 若函数的极小值为,求函数在上的最小值. 16. (15分)已知数列的前项和为，满足，且． （1）证明数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 17．(15分)如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面， ，点是线段的中点，点在线段上，满足平面．   (1)求证：是线段的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 18．(17分)已知函数. (1)设,当时,求证:为增函数；  (2)当时,求证:恒成立． 19．(17分)已知矩形在如图所示的平面直角坐标系中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，且四点均在坐标轴上，直线，上的动点，满足，，直线与的交点为． 证明：点在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程； 设，是椭圆的左右顶点，若直线与椭圆交于、，且分别表示直线，的斜率，过作直线的垂线，垂足为． 证明：直线过定点；求的取值范围． 二年级数学试卷 第 页 共4页1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春季学期高二年级期中考试数学试卷答案 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1--4:DBBC 5--8:AADB 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BD 10.ABD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1 13.号 14.(-0,2] 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)fx)=3x2-6x-9=3x-3)x+1),--- ---2分 由fx)>0,得x>3或x<-1, -4分 所以x)的单调递增区间为（一o,一1）和(3，+o). .-6分 (2)由(1)知，函数x)在x=3处取得极大值 即f3)=33-3×32-9×3+a=-22,解得a=5,则fx)=x3-3x2-9x+5, -9分 因为x)在[-2，一1]上单调递增，在[一1,0]上单调递减， 且-2)=3,0)=5，所以x)在[-2,0]上的最小值为3. -13分 16.解：(1)由nan=Sn+3nn-1得， 当n≥2时，n(S,-S=5,+3mn-,即n-刂，-ms=3nn-,3分 SnS-L=3 S=4=1 即nn-1.所以数列(nJ是首项为11，公差为的等差数列.-6分 2由S=1+(n-1×3得，S,=32-2m, 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=6n-5,a1=1也满足n≥2时an的式子， 所以n≥1时，an=6n-5 -9分 1「1 1 又a.4(6n-5[6n+1-可(6m-56m+6l6m-56m+ .--12分 --》传+o】 6动)所以数列 1 ------15分 a an+ 的前n项和T,=,” 6n+1 二年级数学试卷答案第1页 共3页 17(1)在△ABC中，过点N作NO∥AB交BC于点Q,连接QM,如图： 在三棱柱ABC-ABC中，因为AB∥AB,所以NQ∥AM, 所以A,N,Q,M四点共面.-- --2分 因为直线A,N∥平面BCM,ANc平面ANQM,平面BCM∩平面 ANQM=QM,所以AN/QM.所以四边形ANQM是平行四边形， 所0=4M-号48=方48.所以N为4C的巾点 .----5分 (2)因AB⊥平面BCCB,BC,BB,C平面BCCB,所以AB⊥BC,AB⊥BB,, 又因BCCB,为正方形，BC⊥BB,故可以B为原点，BA,BB,BC所在直线分别为x,y,z轴 建立空间直角坐标系，如下图：因为2AB=BB,=2, 所以B(0,0,0,A1,0,0),A,(1,2,0),B(0,2,0),C(0,0,2, C4(0,22,M22,0 所以 C=022,g丽-日20 -7分 设平面8MG,的-个法向量为元=(&y1Z小 由可元=0得2y+221=0,取y,=1,得元=(-41，-0 (五·BM=0 (x1+2y1=0 分 知T面A88A的法有=00少co(可)-疆-高=-誓 诚 32x 6 --10分 平面ABB1A1与平面BMC1夹角的余弦值为互 -11分 6 (3)设平面NBM的一个法向量为元=(xoy。2可】 易求元0=(4，-1，-2 -12分 又8C=(0,22则点C1到平面NBM的距离d=_24=2 -15分 V21 7 18.证明：(1)函数fx)=ae-ln(x+1)的定义域为(-1，+o),- -1分 86f)-ae-,x∈(-1，+o,则g6)=ae+x+可， -4分 1 因为20，x+>0,所以g)>0,所以g)为(-1，+0)上的增函数。 -6分 (2)方法一：当a≥el时，ae≥ele=e-1,则有fx)=ae-lnc+1)≥e-1-lnx+1), 故只需证e-l-n(x+1)>0恒成立.- -8分 令h的=o1-nG+1则h)=e1- h)知，当a=e1时f)-e1-克在(-1，+o)上单调递增，即h)在一1，+四上单调递增-10分 又ho)-el1<0h-e0-支0， 由函数零点存在定理，可知hx=0在（一1，+∞）上有唯一实根xo,且x∈(0,1) 当x∈(-1，xo)时，h'(x)<0,当x∈(xo,十oo)时，hx)>0,从而当x=xo时，h(x)取得最小值.----12分 由hco)=0,得e1- 8i-0, 即e1=x产，所以-1=-ln(co+l), -14分 二年级数学试卷答案第2页 共3页 故hc)≥hxo)=e1-ln6co+1)-x+o-1=x产+(co+l)-2>0, 综上，当2e1时，fx)>0恒成立. -17分 方法二：当a2e1时，ae≥ele=e-1,则有fx)=ae-ln(x+l)≥e-l-ln(x+l), 故只需证e*-1-n(c+l)>0恒成立. 令hx)=e--1,则h'(x)=ex-l, 由h'x)=0得x=0,由h'(x)>0得x>0,由h'(x)<0得x<0, 所以当x=0时，h(x)min=h(O)=0, 所以e-x一1≥0恒成立，当且仅当x=0时，等号成立， 所以hc-1)=e-1-x-1)-1≥0，即e-≥x, 当且仅当x=1时，等号成立， [ln(x+1)]=el+)-nx+1)-1≥0，即之n(+1),当且仅当x0时，等号成立. 所以e-1-n(x+l)>0恒成立. 综上，当a≥e1时fx)>0恒成立. 19.解：(1)由题意可知：E(0,-1),F(2,0), 由oR=10F=2,0)=(21,0),可得R2入，0， 当入≠0时，直线ER的方程为：y=贡x-1→y+1=苏x, -2分 又G(0,1,C(2,1),由cs=1=(0,-1)=(0,-), 所以=0c+=(2,1)+(0,-)=(2,1-2),可得S(2,1-2), 所以直线GS的方程为：y=-x+1→y-1=-x,- -3分 上面两直线方程相乘可得：y2-1=-x2→￥+y2=1, 所以可得点P在这个椭圆等+y2=1上 --5分 2团证明：设Mxy,Nx2y,又1)知A1(-2,0B(2,0), y1 y1 所以kAW=,kB,N=,kAw=, 则有kNkN=品点=是· 又等+=1，则y=1-等=华，代入上式可得k4w点w=一， -7分 又因为kB,N=3kA4N,所以kAMkA4N=-立， -8分 设直线MN的方程为x=my+t(t≠士2)， x=my+t 联立号+y2=1得(m2+4y2+2mty+2-4=0. y1+y2=-器 所以yy,=崇 ,且 2+4 △=4m2t2-4(m2+4(t2-4)>0,即m2-t2+4>0,-10分 yVe yiV: kAM·kA1N=+2x+2 (my.+t+2my,+t+2) 24 4 42_2m+型+t+2 2+4 @2+4 所以t=1,所以直线1过定点(1,0)； ---13分 y1+y2-- 22m m+4 (i由（可知 -3 二年级数学试卷答案第3页 共3页 B:M-B:d=lBM.BN=(x-2)x2-2)+yyJ=Imy-1)(my:-1)+yyl =+器+〔= 因为m2+4≥4，所以0<m本≤，故B1MB1Q的取值范围为(0，-17分 二年级数学试卷答案第4页 共3页