精品解析：湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

宜昌市协作体高二期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在处的导数等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出导函数的值. 【详解】函数，求导得，所以. 故选：A 2. 算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理即可求得. 【详解】拨动两枚算珠可分为以下三类 （1）在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数. （2）同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数. （3）在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示个不同整数. 所以，根据分类加法计数原理，一共可表示个不同整数. 故选：B. 3. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数来求瞬时速度即可求解. 【详解】因为，所以，令，得， 即该运动员在时的瞬时速度为. 故选：C. 4. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法， 再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种坐法. 故选：D. 5 化简：（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理写可得答案. 【详解】因为， ，所以. 故选：C. 6. 某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A. 21 B. 30 C. 42 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】结合排列数的运算，利用缩倍法求解即可. 【详解】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故选：C 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先令，根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为，结合单调性，得到，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 2520种 B. 3360种 C. 3570种 D. 4410种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择. 综上所述，不同的涂色方案有种. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则满足不等式的的值为（ ） A. 6 B. 3 C. 8 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据排列数的计算得出不等式，解不等式再根据的范围即可求得结果. 【详解】因为， 所以，即，解得； 又，，所以或4， 故选：BD. 10 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】应用赋值法分别计算判断各选项即可. 【详解】对于A选项，令，得，故A正确； 对于B选项，令，得，故B错误； 对于C选项，令，得，故C错误； 对于D选项，将，两式相加， 得，即，故D正确. 故选：AD 11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项. 【详解】A.定义域为，，，故A正确. B.定义域为，，，故B正确. C.定义域为，，，故C正确. D.定义域为，，， 当时，，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有______种. 【答案】30 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有种. 【详解】根据题意可知，第一步，派1名男队员共有种； 第二步，派1名男队员共有种， 所以由分步乘法计数原理可得不同的组合方式有种. 故答案为： 13. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的求导公式先求导，再求导数值. 【详解】令，由复合函数的求导公式， 得， 故. 故答案为：. 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，转化为有三个解，令，利用导数求出的单调性和极值可得答案. 【详解】，设，则， 所以，，所以， 因为与的图象若恰有3组对称点， 所以有三组解，可得即有三个解， 令，即函数与的图象有3个不同的交点， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是转化为有三个解，然后构造函数结合图象. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本初等函数导数公式得到，再结合给定条件建立方程，求解参数即可. （2）先求出切点，再利用导数的几何意义得到斜率，进而求出切线方程即可. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 由上问得，所以，则， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 16. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的二项式系数和为即可得，求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解； （2）根据二项式展开式的通项即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以该二项式为， 则通项公式为：． 令，解得， 所以该二项式的展开式中的常数项为． 【小问2详解】 因为， 易知：展开式第四项二项式系数最大， 即, 所以展开式中二项式系数最大的项. 17. 已知函数在处有极小值3． （1）求的解析式； （2）求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质结合给定条件建立方程，求解参数，并且代入检验使其符合题目条件即可. （2）利用导数判断已知函数的单调性，求出极大值和极小值，再求出边界端点值，进而求出函数值域即可. 【小问1详解】 由题意得函数， 则，由题意得，解得 当时，，令，解得． 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 则是极小值点，符合题意，故． 【小问2详解】 由（1）知， 则当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增，则当时，函数取得极小值， 当时，函数取得极大值， 而，故在上的值域为． 18. 实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教. （1）若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？ （2）若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？ （3）若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？ 【答案】（1）60 （2）90 （3）540 【解析】 【分析】（1）按照分步乘法计数原理计算可得结果； （2）按照分组分配的方式计算可得结果； （3）可分为三类，在每一类中再利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【小问1详解】 6名教师选1名到甲学校任教有种方法， 从剩余的5名教师中选2名到乙学校有种方法， 剩余3名教师都分配到丙学校去任教有种方法， 则三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有种分配方法； 【小问2详解】 6名教师按，，分为三个组，有种方法， 则三所学校中一校4人，另外两校各1人共有种分配方法. 【小问3详解】 由题可得教师的分配方案可以是：①，，；②1，1，4；③2，2，2， ①6名教师按，，分为三个组有种方法， 则6人分配到三所学校共有种分配方法； ②6名教师按，，分为三个组有种分法， 则6人分配到三所学校共有种分配方法； ③6名教师平均分配到3所学校有种方法 则6人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法 19. 若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； （3）若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用给定定义判断并证明即可. （2）利用给定定义结合导数建立不等式，再用分离参数法求解即可. （3）利用给定条件结合换元法转化为一元不等式的证明问题，利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 函数是函数在区间上的1级控制数． 理由如下：因为，且，所以， 所以，即成立， 所以函数是函数在区间上的1级控制函数． 【小问2详解】 由函数是函数在区间上的级控制函数， 得，又，由指数函数性质得在上单调递增， 所以，即恒成立． 令，所以当，且时，恒成立， 故在上恒成立．因为，所以在上恒成立， 则恒成立，即，由指数函数性质在上单调递增， 故，则，由题意得，所以， 综上，可以得到实数的取值范围是． 【小问3详解】 因为函数在区间上存在两个零点， 所以我们不妨设，且， 因为函数是函数在区间上的级控制函数， 所以， 即， 可以得到． 要证，即证， 即证，即证， 令，构造， 所以， 所以在上单调递增， 所以，即时，， 即成立，所以得证． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定条件结合换元法将目标不等式转化为一元不等式的证明，然后利用导数证明不等式，得到所要求的不等关系即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宜昌市协作体高二期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在处的导数等于（ ） A 2 B. 1 C. D. 2. 算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 15 3. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 5. 化简：（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A 21 B. 30 C. 42 D. 60 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 2520种 B. 3360种 C. 3570种 D. 4410种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则满足不等式的的值为（ ） A. 6 B. 3 C. 8 D. 4 10. 已知，则（ ） A. B. C D. 11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有______种. 13. 已知函数，则______. 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数． （1）求值； （2）求曲线在点处的切线方程． 16. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 17. 已知函数在处有极小值3． （1）求的解析式； （2）求在上的值域． 18. 实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教. （1）若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？ （2）若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？ （3）若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？ 19. 若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； （3）若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$