专题11 数列求通项公式讲义-2026届高考数学二轮复习

专题11 数列求通项公式 考向一 前n项和法求通项公式 核心知识 由求： ①已知，则； 第一步：当时，；第二步：当时，；第三步：验证是否符合，若符合，则合并. ②已知：可先求出数列的通项公式，再求出{的通项公式； ③已知：两式相减得到与的关系式；或将带入 得到与的关系式，求出数列的通项公式，再求出的通项公式. 典例 例1.(2025·四川省成都市·模拟题)已知数列的前项和满足，则的通项公式为           例2. (2024·山东省烟台市·模拟题) (多选)记为数列的前项和．若，则(    ) A. B. C. D. 数列为递减数列 拓展提升 练1-1.(2025·湖南省长沙市·月考试卷)已知数列，为的前项和，，，则          ． 练1-2.(2025·河北省·月考试卷)已知数列满足，则           考向二 累加法求通项公式 核心知识 累加法： 第一步：将已知条件中的递推关系,经过整理变形得到后一项与前一项的差为一个关于项数的函数,即 的形式； 第二步：写出，，…，,并将它们累加起来； 第三步：得到的值，求出； 第四步：检验是否满足所求通项公式，若满足，则合并；若不满足，则写出分段形式. 典例 例3.(2025·山东省济南市·联考题)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，构成的数列的第项，则的值为(    ) A. B. C. D. 例4.(2025·河北省石家庄市·模拟题)数轴上一动点从坐标原点开始每次移动若干个单位，第次移动的规则如下：若为偶数，向右移动个单位，若为奇数，向左移动个单位动点第次移动完后，在数轴上的坐标位置即为，且规定． 求； 求数列的通项公式． 拓展提升 练2-1.(2025·天津市市辖区·模拟题)定义新运算：，已知数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 练2-2. (2024·重庆市市辖区联考题)（多选）如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪去半圆的半径得图形，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 考向三 累乘法求通项公式 核心知识 累乘法： 第一步：将已知条件中的递推关系,经过整理变形得到后一项与前一项的差为一个关于项数的函数,即 的形式； 第二步：写出，，……，，并将它们累乘起来； 第三步：得到的值，求出； 第四步：检验是否满足所求通项公式，若满足，则合并；若不满足，则写出分段形式. 典例 例5.(2025·广东省·月考试卷)已知数列的前项和，则(    ) A. B. C. D. 例6.(2024·广东省四校·联考题) (多选)在数列中，，且对任意不小于的正整数，恒成立，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 成等比数列 D. 拓展提升 练3-1.(2025·安徽省·单元测试)已知数列满足，，则          ，数列的通项公式为          ． 练3-2. (2024·江苏省无锡市·联考题) 在数列中，已知，，则          ． 考向四 构造法求通项公式 核心知识 ①（其中为常数，且）：构造等比数列 第一步：先将递推公式改写为； 第二步：由待定系数法，解得； 第三步：求出数列的通项公式，得到的通项公式. ②（其中为常数，且） 第一步：先将递推公式改写为； 第二步：由待定系数法，求出的值； 第三步：求出数列的通项公式，得到的通项公式. ③（其中为常数，且） 思路一： 第一步：两边同除以，得； 第二步：若，利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式；若，数列为等差数列. 思路二： 第一步：或先将递推公式改写为； 第二步：由待定系数法，求出的值； 第三步：求出数列的通项公式，得到的通项公式. ④（其中为常数） 第一步：把递推关系式转化为； 第二步：设，则；若，则利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式； 第三步：通过数列的通项公式，即数列的递推公式，选择合适的方法构造数列，求出的通项公式. ⑤（其中为常数） 第一步：将递推公式两边取倒数得； 第二步：若，利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式； ⑥ 第一步：对递推公式两边取对数； 第二步：利用①中方法求出数列的通项公式，得到的通项公式. 数列通项公式的求法还有很多,如归纳法、迭代法、换元法和不动点法等,做题时要根据递推关系式的特征,选择合适的求解思路与解题方法. 典例 例7. (2025·江苏省苏州市·月考试卷)设正项数列满足，，则数列的通项公式是          ． 例8. (2024·福建省宁德市月考试卷) 已知数列满足，且，且 求，； 求数列的通项公式． 拓展提升 练4-1.(2025·云南省·单元测试)在数列中，，，则数列的通项公式为          ． 练4-2.(2025·浙江省台州市·月考试卷)已知数列满足，且，则的通项公式为(    ) A. B. C. D. 答案 例1.解：当时，， 当时，， ， 则， 验证时，直接代入，得，与矛盾， 因此，通项公式为：． 故答案为：． 例2.解：当时，，即， 当时，， 所以， 因此， 所以数列的通项公式，数列为递减数列，故B错误，D正确； 数列的前项和， 所以，，显然，故A错误； 所以，，，则，故C正确； 故本题选CD． 练1-1.解：当时，， 当时，， ， 则， 验证时，直接代入，得，与矛盾， 因此，通项公式为：． 故答案为：． 练1-2.解：令 ， 的前  项和为 ， 因为  ， 可得 ， 当  时， ， 当  时，  ， 将  代入上式可得  ， 综上可得，  ， 即  ， 所以  ． 例3.解：设第个数为， 则， ， ， ， ， 叠加可得， ， 故选：． 例4.解：由题意可得，当为奇数时，；当为偶数时，， 则，，，，． 由知，当为奇数时，；当为偶数时，， 则当为奇数时，为偶数，为奇数，有，， 则，即， 则， 由累加法可得， ， 则， 而符合上式，则当为奇数时，， 当为偶数时，为奇数，则， 则， 故数列的通项公式为． 练2-1.解：由可得， 故 累加可得， 故， 故选：． 练2-2.解：根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆， 故，，即，， 故，，，，，，， 累加可得，， 经检验当时，也满足上式， 故， 所以，故A正确，C错误； 又，， 故，，即，故D正确； 又，，，，，， 累加可得，， 经检验当时，也满足上式， 故，故，故B正确． 故选ABD． 例5.解：当时，由得， 两式相减并整理得， 所以， 由得，所以由累乘法得， ， 当时，也满足上式，所以， 故选A． 例6.解：因为时，  ， 所以当时，， 当时，  ， 得，即 ，所以，， 所以当时，， 当也成立，当时不成立， 所以，A错误； 故，B正确； 由 ，可知成等比数列，C正确； ，D正确． 故选BCD． 练3-1.解： ， 即，两式相乘得． ，，，，， 个式子相乘得 ，又， 故． 故答案为；． 练3-2.解： ，，，  ， 以上两式相减得： ，  ，   ，    ， ，． 故答案为. 例7.解：原式两边同时取对数，得， 即， 设， 则， 又， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以， 所以，所以． 故答案为． 例8.解：当  时，  ， 当  时，  ； 依题意，  ，两边同时除以  ， 得  ，即  ，  ，  ， 所以数列  是首项为  ，公差为的等差数列， 即  ， 所以  ． 练4-1.解法一： 由得令，则，即又，所以，，即所以，故数列的通项公式为． 解法二：由得又，所以，故数列的通项公式为． 练4-2.解：设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 故选：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $