7.1 相交线 课件 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.1 两条直线相交 新课导入 教学目标 教学重点 3 1.理解邻补角与对顶角的概念； 2.掌握邻补角与对顶角的性质，并能运用它们的性质进行角的计算及解决简单实际问题.（重点、难点） 学习目标 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系. 新课导入 直线与直线相交于一点，并形成了四个角. 你发现了什么？ 活动：握紧剪刀刀柄时，随着两个刀柄之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题. 讲授新课 1.邻补角与对顶角的概念 思考 剪刀剪东西的过程中,你能说说∠AOC与∠AOD, ∠AOC与∠BOD这两对角的位置保持怎样的关系吗？ A O C B D ∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线. ∠AOC和∠AOD有一条公共边OA，且∠AOC的另一边是∠AOD另一边的反向延长线. 1 2 3 A B C D O 邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为____________，那么这两个角互为邻补角.图中∠1的邻补角有___________. 反向延长线 ∠2, ∠3 一、邻补角的概念 1 2 A B C D O 对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是______. 反向延长线 ∠2 二、对顶角的概念 【例1】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 1 2 C 1 2 D D 1 2 A 1 2 B 方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的， 只有两条直线相交时，才能构成对顶角． 典例精析 猜想：对顶角相等 C O A B D 4 3 2 1 问题：∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？ 思考：你能利用有关知识来验证∠1 与∠3的数量关系吗？ 在上学期我们已经知道互为补角的两个角的和为180°，因而互为邻补角的两个角的和为180°. 讲授新课 2.邻补角与对顶角的性质 O A B C D 4 3 2 1 已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明:∠1=∠3， ∠2=∠4. 解：∵直线AB与CD相交于O点, ∴∠1+∠2=180°, ∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠3. 同理可得∠2=∠4. 应用格式：∵直线AB与CD相交于O点， ∴∠1=∠3，∠2=∠4. 想一想：图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？ 对顶角相等 15 B A C D O 1 2 3 4 1.有公共顶点 归类 ∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1 ∠1和∠3、 ∠2和∠4 1.有公共顶点 位置关系 邻补角 对顶角 2.有一条公共边 3.另一边互为反向延长线 2.没有公共边 两直线相交 3.两边互为反向延长线 名称 考虑角的位置关系可从角的顶点和角的边入手! 数量关系 对 顶 角 相 等 邻 补 角 互 补 总结归纳 16 ∠3=∠1=40°,∠4=∠2=140°. a b ） （ 1 3 4 2 ） （ 【例2】如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数. 由∠1和∠2互为领补角，得 ∠2=180°－∠1 =180°－40°=140°. 由对顶角相等，得 解: 掌握邻补角和对顶角的性质是解题的关键! 17 3 .若 1: 2 = 2: 7 ，则∠1,∠2,∠3,∠4的度数分别为________________________. 2.若∠2是∠1的 3倍，则∠1,∠2,∠3,∠4的度数分别为________________________. 1.若∠1+∠3= 60º ，则∠1,∠2,∠3,∠4的度数分别为________________________ . 30º 、150º 、30º、150º 45º、 135º、 45º、 135º 40º、140º、40º 、140º 变式训练： 【例3】如图，直线AB,CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数. 解：因为∠1＝40°， ∠BOC＝110°(已知)， 所以∠BOF＝∠BOC－∠1 ＝110°－40°＝70°. 因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)， 所以∠2＝70°(等量代换)． 注意：隐含条件“对顶角相等”. 1.如图，直线AB，CD，EF相交，若∠1 +∠5=180°, 找出图中与∠1 相等的角. D B E O A C F 解：因为 ∠1= ∠3（对顶角相等）, 1 2 3 4 5 6 8 7 ∠5+∠8=180 °,且∠1 +∠5=180°, 所以∠8= ∠1. 因为 ∠8= ∠6（对顶角相等）, 所以∠6= ∠1. 变式训练： 2.如图，直线AB，CD，EF，MN相交，若∠2=∠5， 找出图中与∠2 互补的角. F N C E A B D M 1 2 3 4 5 8 6 7 解：因为 ∠1+∠2=180°, ∠2+∠3= 180°, 所以∠2的补角有∠1和∠3. 因为 ∠5+∠8=180°， ∠5+∠6=180 °,且∠2=∠5, 所以∠2的补角有∠6和∠8. 课堂小结 归纳总结 构建脉络 22 角的 名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对 顶 角 邻 补 角 对顶 角相 等 邻补 角互 补 ②有公共顶点； ③没有公共边 ①两条直线相交形成的角； ①两条直线相交而成； ②有公共顶点; ③有一条公共边 ①都是两条直线相交而成的角； ③都是成对出现的 ②都有一个公共顶点； ②两直线相交时，对顶角只有两对，邻补角有四对 ①有无公共边； 课堂小结 7.1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 第七章 相交线与平行线 新课导入 教学目标 教学重点 25 1.理解垂线的有关概念、性质及画法；（重点） 2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用 其解决问题. （重点、难点） 学习目标 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 新课导入 日常生活里，图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？ 在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的 位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化. ） α a b b b b b ） α 讲授新课 1.垂线的概念 问题 如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数是多少？为什么？ A B C D O 由对顶角和邻补角的性质知，当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°. 如果两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直. 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直. 垂直定义： 知识要点 如果直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）. 如果用l、m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，可记作：l⊥m（或m ⊥ l）. 把互相垂直的两条直线的交点叫做垂足（如图中的O点）. A B C D O l m 垂直的表示法 A B C D O 符号语言： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O. ①判定：因为∠AOD=90°,（已知） 所以AB⊥CD.（垂直的定义） 符号语言： 反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，则∠AOD=90°. ②性质：因为 AB⊥CD ,（已知） 所以 ∠AOD=90° .（垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) 垂线的基本性质与判定 (1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则 ； (2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则 ∠BOD =______； (3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比 为1∶5，那么∠COA＝____,∠BOC的补角为 . O m n 1 B C A O m⊥n 90° 72° 162° 图1 图2 【例1】 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动1： 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动2： 折一折，试一试 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗? 【例2】如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数． 解：因为∠BOE＝∠NOE， 所以∠BON＝2∠EON＝40°. 所以∠NOC＝180°－∠BON ＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. 因为AO⊥BC， 所以∠AOC＝90°. 所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°. 问题: (1)画已知直线l的垂线能画几条? (2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能 画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能 画几条? A .B l . 讲授新课 2.垂线的画法及基本事实 问题：这样画l的垂线可以画几条？ 1.放 2.靠 3.画 l O 如图，已知直线 l,作l的垂线. A 无数条 l A B 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条 l A B 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线. 根据以上操作，你能得出什么结论 问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可 以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指 唯一性. 总结归纳 【例2】 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 解：如图所示： 画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线 C D E l 1.线段AB, AC, AD , AE谁最短？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？ 说一说： 如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. B A 讲授新课 3.点到直线的距离 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 总结归纳 特别规定： D l A 试一试： 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. m 垂线段最短 课堂小结 归纳总结 构建脉络 48 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 1.垂线的定义 2.垂线的画法 3.垂线的性质 (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)垂线段最短. 4.点到直线的距离 7.1 相交线 7.1.3 两条直线被第三条直线所截 第七章 相交线与平行线 新课导入 教学目标 教学重点 51 1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念； 2.结合图形识别同位角、内错角、同旁内角；（重点） 3.从复杂图形分解为基本图形的过程中，体会化繁 为简，化难为易的化归思想.（难点） 学习目标 问题1 两条直线CD和EF相交，能形成些具有什 么关系的角？ 3 2 2 1 3 4 1 4 C D E F 1 3 4 2 具有邻补角关系的角 新课导入 A B E F 1 3 4 2 4 2 问题2 两条直线AB和EF相交，能形成些具有什么关 系的角？ 具有对顶角关系的角 3 1 6 7 5 8 简称“三线八角” 若再添加一条直线，即直线EF被第三条直线CD所截，构成了几个角？有什么特点？ B A F E C D 4 3 1 2 讲授新课 1.同位角、内错角、同旁内角 F 活动1 观察∠1与∠5的位置关系： ②在直线EF的同侧（右侧） ①在直线AB、CD的同一侧（上方） A C B D E 1 2 3 4 5 6 7 8 1 5 ∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8 图中的同位角还有哪些？ 同位角 一、同位角的概念 A A.(1)，(2) B.(3)，(4) C.(1)，(2)，(3) D.(2)，(3) ，(3) 【例1】下列图形中，∠1和∠2是同位角的有（ ） 1 2 1 2 1 2 1 2 （1） （2） （3） （4） 图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角. 变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角. 1 2 1 2 1 2 1 2 归纳总结 A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 活动2 观察∠3与∠5的位置关系： ②在直线EF的两侧 ①在直线AB、CD之间 3 5 ∠4和∠6 图中的内错角还有哪些？ 内错角 二、内错角的概念 【例2】如图，与∠1是内错角的是（ ) 1 3 2 4 5 A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 B 变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角. 图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角. 1 2 1 1 1 2 2 2 归纳总结 A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 活动3 观察∠4与∠5的位置关系 ②在直线EF的同一旁 ①在直线AB、CD之间 4 5 ∠3和∠6 图中还有哪些同旁内角？ 同旁内角 三、同旁内角的概念 【例3】下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的有（ ） 1 1 A B C D 1 2 2 2 1 2 A 变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角. 图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.　 1 1 1 1 2 2 2 2 归纳总结 角的 名称 角的特征 基本图形 基本图形 相同点 共同特征 同位角 同旁 内角 内错角 F Z U 截线:同侧 被截线:同旁 截线:同侧 被截线:之间 截线:两侧 被截线:之间 1 2 1 2 1 2 都在截线同侧 都在被截线之间 这三类角都是没有公共顶点的 总结归纳 【例4】如图，直线DE,BC被直线AB所截. （1）∠1和∠2， ∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？？ 4 3 2 1 F E D C B A 解：（1）∠1和∠2是内错角，∠1和∠3同旁内角，∠1和∠4是同位角. 温馨提示：解题之前要明确哪两条直线被哪条直线所截. 典例精析 解：(2)如果∠1=∠4，又由对顶角相等，可得∠2=∠4，因此∠1=∠2. 因为∠3和∠4互补，即∠4+∠3=180°. 又因为∠1=∠4,所以∠1+∠3=180°. 即∠1与∠3互补. 4 3 2 1 F E D C B A （2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与 ∠3互补吗？ 为什么？ 变式：∠A与∠8是哪两条直线被哪条直线所截的角?它们是什么关系的角?∠A与∠5呢?∠A与∠6呢? E D C B A 8 7 6 5 4 3 2 1 解：∠A与∠8是直线AB，DE被直线AC所截形成的内错角. ∠A与∠5是直线AB，DE被直线AC所截形成的同旁内角. ∠A与∠6是直线AB，DE被直线AC所截形成的同位角. 练一练：识别这些角是同位角、内错角还是同旁内角 1 2 (1) 同位角 1 2 (2) 1 2 (3) 1 2 (4) 1 2 (5) 1 2 (6) 1 2 (7) 1 2 (8) 1 2 1 2 (9) (10) 同位角 同位角 同位角 同位角 × 内错角 同旁内角 × × 69 69 生活中的数学：三线八角手势记忆法 同位角 内错角 同旁内角 课堂小结 归纳总结 构建脉络 71 1.同位角、内错角、同旁内角的结构特征: 三线八角 同位角 “F”型 内错角 “Z”型 同旁内角 “U”型 2. 在图形中判断三线八角的方法(描图法)： ①把两个角在图中描画出来； ②找到两个角的公共直线； ③观察所描的角，判断所属“字母”类型，同位角为“F”型，内错角为“Z”型，同旁内角为“U”型，注意图形的变式（旋转、对称）也是符合的. THANKS！ 侵权必究 《名校课堂》版权所有 侵权必究 73 $