15 综合与实践 最短路径问题&章末总结-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

.PELAC.EF=1AF. ,·△APF是等边三角形，AP=CQ, ∴.PF=C0. PF∥BC,∴.∠Q=∠FPD I∠FPD=∠Q, 在△PDF和△QDC中，{∠FDP=∠CDQ, PF=QC, .△PDF≌△QDC,.DF=CD, DF=1 CF, 2 ·DE=EF+DF=1 1 AF+CF=- 2 .DE=5. 2-1证明：如图，过点D作DG∥AC交AB 点G, 则∠1=∠3，△GDB为等边三角形 :△ABC为等边三角形， ..AG=DC. 又∠ADE=∠ACE=60°，∠ACE=∠ECF, ∴.∠1=∠2，∠AGD=∠DCE=120°，∴.∠3=∠2. 1∠3=∠2， 在△AGD和△DCE中，{∠AGD=∠DCE, AG=DC, ∴.△AGD≌△DCE(AAS), ∴.AD=DE. .·∠ADE=60°， .△ADE是等边三角形 E B 万 3-1(1)证明：：AB=AC,∠C=30°， .∠B=30°，∠BAC=120° AB⊥AD,∴.∠DAC=30°， .∠DAC=∠C,.DA=DC. DE⊥AC,∴.AE=EC. (2)解：.∠C=30°，DE⊥AC,DE=2, ∴.DC=2DE=4. AB⊥AD,∠B=30°， ∴.BD=2AD=2DC=8, .∴.BC=12. 综合与实践 最短路径问题 预习检测 1.解：如图，根据“两点之间，线段最短” 知，连接AB交L于点O,点O即为所求 A B 2.A 3.解：如图，先确定AA'与河等宽，且AA'⊥ L2,连接BA',与河岸的交点就是点C,过点C作 CD⊥l2,垂足为D,CD就是所求作的桥的位置. B、C D ·A 理由：由作图过程可知，AD平移至A'C即可得 到线段A'B,根据“两点之间，线段最短”，由于 于 河宽不变，CD就是所求作的桥的位置， 举一反写 1-1A【解析】如图，点A'是点A关于线段EG 的对称点，连接A'B,则A'B与线段EG的交点 即为点P,此时PA+PB最短.，A'B与线段EG 交于点C,.点P应选在C点 B E (R G 1-28【解析】如图所示，作点E关于CD的对 称点E',连接PE',PF, D E C E ∴.PE=PE,CE=CE',∴.EP+FP=PE'+PF≥ EF.当点E',P,F三点共线，且EF⊥AB时， EP+FP的值最小..：△ABC是等边三角形， ∴.∠B=60°，AB=BC=AC..E'F⊥AB,∴.∠FEB= 90°-∠B=90°-60°=30°，∴BE'=2BF.:BF= 6,BE=4,.BE'=2BF=12..CE=CE',.12= 2CE+BE=2CE+4,解得CE=4,∴.AB=BC=4+ 4=8. 2-1C【解析】如图，把点P向下平移至点 P',使PP'的长等于河宽，连接QP',与河岸1相 交于N,作NM⊥L,则MN∥PP'且MN=PP',故 PM=NP'.根据“两点之间，线段最短”，可得 QP'最短，即PM+NQ最短.观察选项，选项C符 可 合题意 ·14 M p 变式训练 B【解析】如图，连接AD.△ABC是等腰三 角形，点D是BC边的中点，.AD⊥BC, Sc BC·AD=7×3×4D=12,解得AD 第十六章 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 预习检测 1.D2.C3.A4.B5.A6.A7.10 举一反写 1-1C【解析】a·a=a+5=a5 1-2D【解析】：2"×2m=2m+m=2,∴.m+n=6. 1-3B【解析】∵2m=a,2”=b,m,n为正整 数，.2m+"=2m·2”=ab. 变式训练 B【解析】m2·(-m)3=-m2·m3=-m 16.1.2幂的乘方与积的乘方 第1课时幂的乘方 预习检测， 1.A2.C3.A4.A5.D6.D7.A 8.129.9 举三反三 1-1B【解析】(a3)4=a3x4=a2 1-24【解析】.3m=2,∴.32m=(3m)2=22=4 变式训练 1-1解：(x3)2.(x2)3 =x6.x6 =x2 2-1解：.2×8*×16=223 2×22#×24=23,23x+4=225 .1+3x+4=23,解得x=6. 3-1B【解析】.m*=2,m=5,.m2xy=m2· m'=(m*)2·m'=22×5=4×5=20. 第2课时 积的乘方 预习检测 1.C2.C3.D4.C5.C6.C 8.EF是线段AC的垂直平分线，.点C关于 直线EF的对称点为点A,.AD的长为CM+MD 的最小值，∴.△CDM的周长的最小值为AD+ 2BC=8+2×3=9.5, 整式的乘法 7.-27x6y98.-6x69. 3 2 举一反写 1-1日【解折】(-分8)=(-宁户， (a2y3.(62=-5 8 1-2C【解析】a2+a2=2a2,故A选项错误； a3·w=a34=a7,故B选项错误；(a3)4=a3x4= a2,故C选项正确；(ab)2=a2b2,故D选项 错误 1-3解：(1)原式=-pq3. 33 (2)原式=a8+a3-4a8=-2a8. 变式训练 解：原式=a3+1+4+(-3)2·a42 =a8+9a8 =10a8. 16.2 整式的乘法 第1课时 单项式与单项式相乘 预习检测， 1.D2.C3.D4.C5.D6.-2x6y3 举一反三 1-1D【解析】3x2y·（-4xy4)=-12x3y5. 1-2D【解析】x2+x2=2x2,故A选项错 误；-3a3·2a2=-6a3,故B选项错误；2x4· (-3x4)=-6x8,故C选项错误；(-a2)3=-a6,故D 选项正确， 变式训练 解：原式=(-2a26)·6+846 =-2a4b7+a4b7 =-a4b7. 15综合与实践 最短路径问题 课前·预习笔记 预 1.能运用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂 习 线段最短”探索最短路径问题.重点© 目12.能运用“三角形两边之和大于第三边”说明最短路径的选址问题中的道理， 会运用 标 图形成轴对称的性质解决实际问题中最短路径的选址问题， 第○我明确考情 1.考频：5年2考 12.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第步梳理知识 1.最短路径的求解原理：两点之间，线段最短 12.解决“造桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把 未知的线段转换到同一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题。 第三步预习检测 :1.如图，在直线l上找一点O,使OA+OB的和最短，并给出相应的理由. 预 A。 习 7- 任 ·B 务2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD=10,D是BC的中点，EF垂直平分边AB,交AB 于点E,交AC于点F,在EF上确定一点P,使PB+PD的值最小，则这个最小值为 B A.10 B.11 C.12 D.13 3.如图，直线11,12表示一条河的两岸，且11亿2，现要在这条河上建一座桥（桥与河 的两岸相互垂直)，桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出 示意图，并说明理由 B 第十五章轴对称 课堂·听课笔记 新知解读， 知识点1>最短路径问题 举一反三》参考答案见答案册P14 求解原理：两点之间，线段最短. 1-1如图，在4×4的正方形网 问题 作法 最小值 格中，有A,B两点，在线段 如图，在直线1上求 如图， 连接AB,与 EG上求一点P,使PA+PB最 作一点P,使PA+PB 直线l的交点即为 PA+PB的最 短，则点P应选在( ) 类型1 的值最小 点P A 小值为线段 B ·B B AB的长 G ·A A 如图，作点A关于 A.C点 B.D点 如图，在直线1上求 直线1的对称点 C.E点 D.F点 作一点P,使PA+PB A',连接A'B,与直PA+PB的最 1-2如图，点E在等边三角形 类型2 的值最小 线I的交点即为点P 小值为线段 ABC的边BC上，BE=4,射线 B A'B的长 CD⊥BC,垂足为C,点P是射 线CD上一动点，点F是线段 AB上一动点，当EP+FP的值 最小时，BF=6,则AB的长为 例1如图，在等边三角形ABC中，BD是边AC的中线，点 P,Q分别在边AB,AD上，且BP=AQ=QD=1,动点E在边BD 上，则PE+QE的最小值为()说明P,Q为定点 A A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】如图，在边BC上取一点P',使BP'=BP=1,连接 PP',P'Q,EP'. 114随堂笔记8年级数学RJ上册 :△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D,·.BD所在直线是 △ABC的一条对称轴，∴.点P'与点P关于BD对称，AC= 2AD,.PE=P'E,.PE+QE=P'E+QE≥P'Q,∴.PE+QE的最 小值为线段P'Q的长.AQ=QD=1,.AC=2(AQ+QD)=2× 2=4.:△ABC是等边三角形，∴.AC=BC,∠C=60°.AQ= BP'=1,.CP'=CQ,∴.△CP'Q是等边三角形，∴.P'Q=CQ. .CQ=AC-AQ=4-1=3,∴.PE+QE的最小值为3. 【答案】B 知识点2>“造桥选址”问题 举一反三》参考答案见答案册P14 问题 作法 最小值 2-1如图，平行河岸两侧各有 如图，m∥n,m,n之 一城镇P,Q,根据发展规 如图，将点A向下平移 划，要修建道路连接P,Q两 间的距离为d,A,B d个单位长度至点 镇.已知相同长度造桥总价远 为两定点，点P,Q分 A',连接A'B交直线n 别为m,n上两动 大于陆上公路造价，为了尽量 于点Q,过点Q作 减少总费用，应该选择方 点，且PQ⊥m,求 AP+PQ+QB的 PQ⊥m交m于点P AP+PQ+QB的最小值 案（) 最小值为A'B+d m m B ★方法点拨： 先平移，再连接，利用两点之间，线段最短来确定最小值点 的位置 例2如图，某大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小 河甲和小河乙.已知亿2，L儿，A为校本部大门，B为分校大 门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于 河岸.请你设计一条路线，使A,B两点间来往的路程最短， A. 甲 ! B 第十五章轴对称 115 【答案】解：如图，分别作AA'⊥L1,垂足为A',BB'⊥L4,垂足 为B',使AA'的长等于小河甲的宽度，BB'的长等于小河乙的宽 度.连接A'B',交I2于点D,交L3于点E,过点D作DC⊥ L1,过点E作EF⊥L4,垂足分别为C,F,连接AC,BF. .AA'⊥I1,DC⊥L1,AA'=CD, .AC+CD=AA'+A'D. 同理可得，BF+EF=BB'+B'E, .最短路径为AC+CD+DE+EF+BF=AA'+A'B'+BB'. 课后·提升笔记 题型训练 题型一>》最小周长问题 >变式训练》参考答案见答案册P15 例如图1，△ABC的周长为30，BC=12,AC=5,作BC边的垂如图，等腰三角形ABC的底边 直平分线PF分别交AB,BC于点F,E.连接PB,PC,若点M BC长为3，面积是12，腰AC 是直线PF上的一个动点，则△MAC周长的最小值为 的垂直平分线EF分别交边 AC,AB于点E,F若点D为 BC边的中点，点M为线段EF 上的动点，则△CDM的周长的 最小值为() 图1 图2 D 【解析】如图2，连接BM,CF.:△ABC的周长为30，BC= M F 12,AC=5,.AB=30-12-5=13.:PF是边BC的垂直平分 A.4 B.9.5 线，∴.CM=BM,CF=BF,.AM+BM=AM+CM≥AB,.当点M C.12.5 D.16 在点F处时，AM+BM的值最小，最小值是AB的长.，AC= 5,∴.△MAC的周长最小值为5+13=18. 【答案】18 116随堂笔记8年级数学RJ上册 链接中考 考点最短路径问题 典例2[绥化中考]如图，已知在Rt△ACB 题型 难度 分值 中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5,点E为 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则 FE+EB的最小值是（) 典例[天津中考]如图，在△ABC中，AB= AC,AD,CE是△ABC的两条中线，点P是线 段AD上一个动点，则下列线段的长度等于 BP+EP的最小值的是（ 53 B. 5 A 2 C.5 D.√3 2 【解析】如图，作F关于AC的对称点F',延 长AF',与BC的延长线交于点B.:在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=75°， .∠CAB=90°-∠ABC=15°，∴.∠BAB'= A.BC B.CE C.AD D.AC 2∠CAB=30°，EF=EF',∴.FE+EB=BE+ 【解析】如图，连接PC EF',.当点B,E,F'共线且与AB垂直 时，BE+EF最小.作BD⊥AB'于点D,在 △4BD中，BD=。AB=号，即FE+EB的最小 2 值泥 AB=AC,BD=CD,..AD L BC,.PB= PC,∴.BP+EP=CP+EP.EP+CP≥CE,∴.点 P,C,E共线时，BP+EP的值最小，最小值 、E 为CE的长度 A 【答案】B I答案】B 第十五章轴对称 117 章末总结·体系构建 轴对称 如果一个平面图形沿一条直线折叠， 一个图形 图形 直线两旁的部分能够互相重合，这个 图形就叫作轴对称图形 有关概念 两个图 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果 轴对称— 它能够与另一个图形重合，那么就说 这两个图形关于这条直线成轴对称 轴对称 成轴对称的两个图形全等，连接对称点的 性质 线段被对称轴垂直平分 轴对称 轴对称图形 对称轴是其任意一对对称点所连线段 的垂直平分线 定义一经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 线段的垂 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 直平分线 点的距离相等 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上 对称轴的作法— 作对应点所连线段的垂直平分线 画轴对称的图形的方法 画轴对称 关于x轴对称的两点的坐标特征：横坐标相同，纵 的图形 用坐标表 坐标互为相反数 示轴对称 关于y轴对称的两点的坐标特征：纵坐标相同，横 坐标互为相反数 定义一有两边相等的三角形是等腰三角形 等边对等角 轴对称 等腰三角形 性质 三线合 也可作判定方法 轴对称图形 也可作判定方法 等腰 判定一 等角对等边 三角形 定义一 三边都相等的三角形是等边三角形 三条边都相等 等边三角形 性质 三个角都相等且每一个角都等于60 三个“三线合 轴对称图形 →三条对称轴 三个角都相等的三角形 判定 有一个角是60的等腰三角形 含30°角的直角 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 三角形的性质 直角边等于斜边的一半 最短路径问题 通常利用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各 点的所有线段中，垂线段最短”探索最短路径问题 118随堂笔记8年级数学RJ上册