13.1 三角形的概念-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

2 第十三章三角形 13.1三角形的概念 01基础达标 知识点一三角形及其相关概念 1.如图所示，以BC为边的三角形共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 图1 图2 第1题图 第2题图 第5题图 2.如图，图中有 个三角形，以AD为边的三角形有 ;在△ABC中，∠B的 对边是 ;在△ABD中，∠B的对边是 ;在△ACD中，边AC的对角是 3.如图，过A,B,C,D,E五个点中的任意三个点画三角形 (1)其中以AB为一边可以画出个三角形，并画出图形. (2)其中以C为顶点可以画出 个三角形，并画出图形 知识点二三角形的分类 4.下列说法正确的是 ①等腰三角形是等边三角形②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角 形③等腰三角形至少有两条边相等 A.①②③ B.②③ C.①③ D.③ 5.(1)如图1，图中直角三角形共有 个 (2)如图2，已知AB=AC,AD=BD=DE=CE=AE,则图中共有 个等腰三角形，个等 边三角形. 02能力提升 6.同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型 的是 () 7.如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为 A.10个 B.12个 C.13个 D.15个 条件：AB=AC 条件：( 三角形 等腰 等边 三角形 B D B三角形 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则 A.△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B.△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 C.△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D.△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再 次变为钝角三角形 9.【结论开放性题】小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 是 10.图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间的小三角形 三边的中点，得到图3. (1)图2有 个三角形；图3有 个三角形； (2)按上面的方法继续下去，第10个图有 个三角形， 第n个图形中有 个三角形.（用含n的代数式 图2 图3 表示) 11.观察图形，回答问题， (1)图中共有多少个三角形？ (2)写出其中以EC为边的三角形， (3)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则以∠B为公共角的“共角三角形” 有哪些？ 03思维拓展 12.如图，图1中有1个三角形，在图1中的三角形内部 (不含边界)取一点，连接该点与三角形的3个顶点得 到图2，图2中共有4个三角形.若在图2中的一个小 三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角 图1 图2 图3 形的3个顶点得到图3.在虚线框中画出图3，图3中共有 个三角形.（写出所有可能 的值)温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第十三章三角形 将三个不等式相加得：AM+ 13.1三角形的概念 AN+MB+MP+PN+NC> 1.C MP+NP+PB+PC, 2.3△ABD,△ACD AC AD 即AB+AC>BP+PC. ∠ADC 13.2.2三角形的中线、角平分线与高 3.(1)3画图略； 1.B2.B3.C4.A5.C (2)6画图略. 6.50° 4.D5.(1)3(2)41 7.8或168.B9.710.1 6.C7.C8.D 11.(1)BC边上的高 9.AB=BC(答案不唯一) (2)∠BAC的平分线 10.(1)59(2)37(4n-3) (3)BC边上的中线 11.(1)图中有△BDE,△CDE,12.(1)△ABD,△AEC,△BEC,因 △ACE,△BCE,△ABC,共5个 为它们的面积均为△ABC面积 三角形； 的一半. (2)以EC为边的三角形有： (2)△AMC. △ACE,△DCE,△BCE: 微课堂 (3)以∠B为公共角的“共角三 角形”有：△BDE与△BCE, (2)2 △ABC与△BCE,△BDE 13.3三角形的内角与外角 与△ABC. 13.3.1三角形的内角 12.7或9图略. 1.C2.D3.B 13.2与三角形有关的线段 4.∠ABC=∠PBC-∠PBA=90° 13.2.1三角形的边 -20°=70°. 1.C2.A3.B ∠ACB=∠QCB-∠ACQ=90 4.C -45°=45°. 5.设第三边长为x,由题意，得 .∠BAC=180°-∠ABC 5-2<x<5+2,解得3<x<7. ∠ACB=180°-70°-45°=65° 第三边长为偶数，x=4或6， 5.C ∴.这个三角形的周长为116.(1)由题意，得∠BAC=180°一 或13. ∠B-∠C=100°， 6.三角形的稳定性 ,AE是∠BAC的平分线， 7.B8.B9.B 1 10.-3<a<-2 ·∠BAE=∠CAE=Z∠BAC 11..a,b,c是△ABC的三边长， =50°， .a-b-c<0,b-c-a<0,c-a ,AD是高， -b<0, ∴.∠ADC=90°， ∴.原式=-a十b+c-b十c十a ∴.∠CAD=180°-∠ADC-∠C -c+a+b =40°， =a+b+c. ∴.∠EAD=∠CAE-∠CAD 12.由已知得b-2=0,c-3=0, =10°. 则b=2,c=3, 7.50°或130°8.A9.C10.30° 又|x-4=2,x-4=士2，则x 11.65 =6或x=2, 12.∠B=35°，∠ACB=85°，∠B 即a=6或a=2,当a=6时，2+ +∠ACB+∠BAC=180°， 3<6, ∴.∠BAC=60°. 故a=6(舍去)，所以a=2, :AD平分∠BAC 则△ABC周长为2+2+3=7， △ABC为等腰三角形. ∠BAD=2∠BAC=30 13.(1)BD PC BD+PC BP ∴.∠PDE=180°-∠ACB +PC ∠DAC=65°. (2)在△AMN中，AM+AN 又PE⊥AD,∴.∠DPE=90 >MN, .∠PDE+∠DPE+∠E=180°， 在△MPB中MP+MB>BP, .∠E=25°. 在△NPC中，NP+NC>PC, 13.(1)60 49 (2):∠ABC,∠ACB的平分线 ∠OCD=56°， 相交于点P, ∴.∠ACD=124°，∠CD0=34, ∠1=2∠ABC. ∴∠ECD=62°，∠CDF=17°， ∴.∠F=∠ECD-∠CDF=62 ∠2=3∠ACB, -17°=45. (2)∠F不变. .∠BPC=180°-∠1-∠2= 180°- ∠ABC-∠ACB :∠ECD=Z∠ACD=号(90 180°- (∠ABC+∠ACB)= +∠CD0)=45+2∠CD0, 180°- 号×(180°-80)=130°. H∠CDF=合∠CDO: ∴.∠F=∠ECD-∠CDF (3)∠DPC=90°-号∠A,理 =456+3∠CD02∠CD0 由：在△BPC中，∠BPC=180 =45°. -∠1-∠2， 微课堂 “∠1= 2 ∠ABC,∠2= 1.C2.B3.360° 专题一三角形中的边角 合∠ACB, 关系的运用 1.(1)由题意，得14<2a+2<30, .∠BPC=180°- 2∠ABC 1 解得6<a<14. 3∠ACB=180- (180°- (2),△ABC为等腰三角形， ∴.2a+2=8或2a+2=22.解得a= 3或a=10. ∠A)=90+号∠A, .6<a<14,.a=10. ∴.∠DPC=180°-∠BPC=90 .△ABC的周长=22+22+8 4 =52. 2.设三角形的三边长分别为x一2， 13.3.2三角形的外角 x,x十2，则 1.C2.C3.C4.115 1x-2+x+x+2<30 5.∠ACD=100°， x-2+x>x+2, CE平分∠ACD, 解得4<x<10, ∴∠DCE=∠ACD=号×10 x的最大值为9，最小值为5， ①当x=9时，三边长为7,9,11； =50° ②当x=7时，三边长为5,7,9； ,AF∥CE,.∠AFC=∠DCE ③当x=5时，三边长为3,5,7. =50°. 3.270°4.67° :∠AFC是△ABF的一个外角， 5.,在△ABC中，∠ABC=∠C .∠BAF=∠AFC-∠B=50 2∠A, -30°=20°. ∴.设∠A=x,则∠ABC=∠C 6.C7.D8.28 =2x. 9.图略，延长CD,与AB相交于 ∠A+∠ABC+∠C=180°， 点E. ∴.x+2x十2x=180°，解得x ,∠CDB=111°，∠B=19°， =36°. ∴.∠CEB=∠CDB-∠B=111° ∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72. -19°=92°. ,BD是∠ABC的平分线， 又∠C=23°， ∴.∠A=∠CEB-∠C=92°-23 ∠DBC-7∠ABC=36, =69°≠70° ∴.∠ADB=∠DBC+∠C 这个零件不合格 =108. 10.(1):CE平分∠ACD,DF平6.(1)110° 分∠CDO, (2)∠B=50°，∠BAD=30°， ·∠ECD=Z∠ACD,∠CDF ∴.∠ADB=180°-50°-30 =100°. ∠CD0, ,△ABD沿AD折叠得 到△AED, 50 ∴.∠ADE=∠ADB=100°， .∠ADF=80°， ∠QCB=(∠A+∠ABC, ∴.∠EDF=∠ADE-∠ADF ∠BQC=180°-∠QBC-QCB=180° =20°. 7.(1)证明：DE∥AC, 3(∠A+∠ACB)-合（∠A+ .∠2=∠DAC. :∠1+∠2=180°， ∠AB0=180°-号∠A-号（∠A+ 1 ∴.∠1+∠DAC=180°. ∠ABC+∠ACB), ∴.AD∥GF; =90-3∠A (2)ED∥AC, ∴.∠EDB=∠C=40° 章末核心考点与素养提升 .ED平分∠ADB, 1.C2.23.234.1<x≤3 .∠2=∠EDB=40°. 5.3 69 .号 8.B9.A .∠ADB=80 10.减少10 AD∥FG, 11.(1)∠BAC=44°， ∴.∠BFG=∠ADB=80° 8.(1)∠B=40°，∠C=60°， ∴.∠B+∠C=180°-∠BAC =136° ∠BAC+∠B+∠C=180°， ,∠B=∠C, ∴.∠BAC=80° .2∠C=136°，.∠C=68. ,AD是∠BAC的角平分线， (2).∠ADE=∠AED, ·∠CAD=∠BAD=号∠BAC ∠ADE=75°， =40°， ∴.∠AED=75 :AE是△ABC的高， 又·'∠AED=∠C+∠CDE, ∠C=68°， ∴.∠AEC=90°， ∴.∠CDE=7 .∠C=60°，.∠CAE=90° 12.EF⊥BC,∴∠EFD=90°， 60°=30°， .∠DEF+∠EDF=90°， ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE =10°； ∠DEF=14°， (2)·∠BAC+∠B+∠C .∠EDF=90°-∠DEF=76°， ,∠BAD=∠EDF-∠B,∠B =180°， =46°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C, .∠BAD=76°-46°=30°， :AD是∠BAC的角平分线， ,AD平分∠BAC, ·∠CAD=∠BAD=3∠BAC, .∠BAC=2∠BAD=2X30 =60°， :AE是△ABC的高，.∠AEC ∴.∠C=180°-∠B-∠BAC= =90°， 180°-46°-60°=74. .∠CAE=90°-∠C, 13.(1)30°是 ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE= (2)是 ∠BAc-(90-∠C=180 1 (3)设∠OAC=x°，则∠BAC= -∠B-∠C)-90°+∠C= 90°-x,∠ACB=60°+x, 1 号∠B,即∠DAE- ∠ABC=30°， :△ABC为“灵动三角形”，且 ∠C-∠B ∠ACB为灵动角， ①当∠ACB=3∠BAC时， (3)45 .60+x=3(90-x),.x=52.5, 回归教材练探究与三角形角平 ②当∠ACB=3∠ABC时， 分线有关的几个常见的结论 ,.60十x=90,,.x=30: 【母题引申】50°+子 综上所述：∠OAC=52.5°或30°. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 【变式练】1)123(2)号 1.△ABC≌△ADE∠DAE BC (3)∠BQc=90°-7∠A. 2.D3.B4.D5.D6.60 7.①②③④ 理由：∠QBC= （∠A+∠ACB), 8.(1)BC=DE+CE (2)当∠ACB=90°时，BC∥DE. 51