第五章 分式与分式方程能力提升自测卷-2025-2026学年北师大版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

**基本信息** 聚焦“分式与分式方程”单元，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，结合新能源汽车、口罩采购等现实情境，适配单元复习，培养运算能力、模型意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|最简公分母、分式值为0、分式计算|结合分式方程解的范围（推理意识）| |填空|4/12|分式有意义条件、分式方程应用|燃油与纯电汽车费用对比（数据意识）| |解答|7/58|分式化简求值、实际应用、新定义|新能源充电桩价格问题（模型意识）、“阶分式”新定义（创新意识）|

第五章 分式与分式方程能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 2．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 5．某商店为庆祝开业，购进甲、乙两种鲜花，购买甲种鲜花花费600元，购买乙种鲜花花费420元，且购买甲种鲜花的数量是购买乙种鲜花数量的2倍．已知购买一束乙种鲜花比购买一束甲种鲜花多花费20元，设购买一束甲种鲜花需元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．如果，那么的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 7．已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 8．若为负整数，且，则的值所对应的点落在图中数轴上的部分为（   ） A． B． C．或 D．或 9．若（A、B均为常数）的计算结果为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知 为正整数且，且，则计算的结果为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．要使代数式有意义，则x的取值范围为_________． 12．若代数式与代数式的值相等，则________ ． 13．小明家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费8000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1600元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为y元，则可列分式方程为________ 14．已知是实数，并且，则代数式的值是____． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（8分）计算： (1)； (2)． 16．（8分）解方程： (1)； (2)． 17．（8分）先化简，再求值，其中． 18．（8分）随着新能源汽车产业的飞速发展，充电基础设施的建设已成为国家战略的重要一环．某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩是乙型充电桩单价的1.5倍，用18万元购买甲型充电桩比用9万元购买乙型充电桩的数量多5台．求甲、乙两种型号充电桩的单价． 19．（8分） 2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同． (1)求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ (2)采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ 20．（8分）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 21．（10分）某校举行数学社团活动，老师让班长小珠到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． (1)若小珠在甲商店购买，她发现：用180元购买硬面笔记本与用120元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． (2)若小珠在乙商店购买，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于20本，按原价售出；不少于20本按软面笔记本的单价售出、小珠本打算按照老师的吩咐购买m本硬面笔记本（m为正整数），但她发现：若再多购买5本，所需费用与原来居然相等．求乙商店硬面笔记本的原价． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 分式与分式方程能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和，和的最小公倍数为，的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为因式． 2．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 3．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式 ． 4．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 5．某商店为庆祝开业，购进甲、乙两种鲜花，购买甲种鲜花花费600元，购买乙种鲜花花费420元，且购买甲种鲜花的数量是购买乙种鲜花数量的2倍．已知购买一束乙种鲜花比购买一束甲种鲜花多花费20元，设购买一束甲种鲜花需元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据设定的单价分别表示出甲、乙两种鲜花的购买数量，再根据甲数量和乙数量的等量关系列方程即可 【详解】解：∵设购买一束甲种鲜花需元，购买一束乙种鲜花比甲多花费20元， ∴购买一束乙种鲜花需元， 根据题意得： 6．如果，那么的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先通过分式运算法则化简所求代数式，再利用已知条件整体代入求值． 【详解】解：∵ ∴ ． 7．已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解是非负数，且分母不为零，列出不等式求解的范围即可． 【详解】解：原方程为 ， ∵ ， ∴ 原方程可化为 ， 方程两边同乘 ，得 ， 展开整理得 ， 解得 ， ∵ 方程的解是非负数，且分母不能为零， ∴ ， 解得 且 ． 8．若为负整数，且，则的值所对应的点落在图中数轴上的部分为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意先将分式除法进行化简计算，继而得到本题答案． 【详解】解：, 是负整数，且， 则， ， 则， ， 则在第③段． 9．若（A、B均为常数）的计算结果为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查分式的运算，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．将左边通分后与右边比较分子，得到关于A和B的方程，解出A和B后代入计算． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 分子相等：， ∴ 比较系数： 解得：， ∴ ． 故选：D． 10．已知 为正整数且，且，则计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的规律性问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，每项的乘积为常数，总项数为，恰好是的倍数，因此总乘积为的奇数次幂，结果为． 【详解】∵， ， ， ， ∴序列周期为， 每项乘积：， ∵， ∴． 故选：D． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．要使代数式有意义，则x的取值范围为_________． 【答案】且 【分析】根据二次根式被开方数为非负数、分式分母不为零列出不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， 的取值范围是且． 12．若代数式与代数式的值相等，则________ ． 【答案】/ 【分析】根据题意列出分式方程，按照解分式方程的步骤求解并检验即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，其中且， 方程两边同乘最简公分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 经检验，是原分式方程的解． 13．小明家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费8000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1600元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为y元，则可列分式方程为________ 【答案】 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可得燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据两种汽车行驶路程相等的等量关系即可列出分式方程． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，则燃油汽车每百公里的耗油费为元， ∵燃油汽车耗费8000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1600元电费行驶的路程相同， ∴根据题意得． 14．已知是实数，并且，则代数式的值是____． 【答案】2020 【分析】先由已知等式变形得到与，再将这两个关系代入所求代数式，通过化简计算得出结果． 【详解】解：， ， ． ∴ ． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据同分母分式加减运算计算，再约分即可； （2）根据异分母分式的加减运算法则先算括号，再算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键． 先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘，得 化简，得 解得： 检验，把代入得：， ∴是原方程的解． （2）解：， 方程两边同时乘得：， 化简得：， 解得：， 检验，把代入得： ， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 17．（8分）先化简，再求值，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式化简求值，分式加减乘除混合运算，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先将小括号里面的通分，再将除法转化为乘法计算，并将后面的分式分子、分母分别分解因式，化为最简后，代入求值即可． 【详解】解：原式 当时， 原式． 18．（8分）随着新能源汽车产业的飞速发展，充电基础设施的建设已成为国家战略的重要一环．某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩是乙型充电桩单价的1.5倍，用18万元购买甲型充电桩比用9万元购买乙型充电桩的数量多5台．求甲、乙两种型号充电桩的单价． 【答案】甲、乙两种型号充电桩的单价分别为万元和0.6万元 【分析】设乙种型号充电桩的单价为万元，根据甲型充电桩是乙型充电桩单价的1.5倍，用18万元购买甲型充电桩比用9万元购买乙型充电桩的数量多5台，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设乙种型号充电桩的单价为万元，由题意，得 ， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：甲、乙两种型号充电桩的单价分别为万元和0.6万元． 19．（8分） 2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同． (1)求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ (2)采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ 【答案】(1)每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元 (2)可以购买14盒口罩，6盒水银温度计 【分析】（1）设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元，根据“用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同”建立分式方程求解； （2）设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计，根据题意建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元， 由题意得： ，       解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元； （2）解：设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计， 由题意得： 解得 y只能取整数， ， 答：可以购买14盒口罩，6盒水银温度计． 20．（8分）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 【答案】(1)5 (2) (3)不是 【分析】本题考查了新定义，分式的加减以及分式的乘法运算． （1）把所给两个分式相加即可判断； （2）用6减去即可求解； （3）分别计算所给两个分式的和与差几颗判断． 【详解】（1）∵ ∴式与互为“5阶分式”． 故答案为：5； （2）由题意，得 故答案为：； （3）∵， ， ∴分式与分式不是“互为友好分式”． 21．（10分）某校举行数学社团活动，老师让班长小珠到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． (1)若小珠在甲商店购买，她发现：用180元购买硬面笔记本与用120元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． (2)若小珠在乙商店购买，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于20本，按原价售出；不少于20本按软面笔记本的单价售出、小珠本打算按照老师的吩咐购买m本硬面笔记本（m为正整数），但她发现：若再多购买5本，所需费用与原来居然相等．求乙商店硬面笔记本的原价． 【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为9元 (2)乙商店硬面笔记本的原价为12元 【分析】（1）根据总价和单价的关系，利用两种笔记本数量相等的等量关系，列出分式方程，求解检验即可得到结果； （2）先根据乙商店的优惠条件确定m的取值范围，再根据费用相等列出等式，结合单价为整数的条件，即可求出硬面笔记本的原价． 【详解】（1）解：设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元， 根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 答：甲商店硬面笔记本的单价为9元； （2）解：设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为 元， 根据优惠条件可得， 解得， 根据费用相等可得， 展开整理得， 变形得， 因为m和a均为正整数， 所以m可取15，16，17，18，19， 分别代入得，仅当时，为整数，符合题意． 答：乙商店硬面笔记本的原价为12元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $