专题03 分式方程（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

**基本信息** 聚焦分式方程七大核心题型，从概念辨析到实际应用层层递进，强化运算能力与模型意识，构建完整知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式方程定义|4题|考查分式方程识别，强化抽象能力|从概念出发，奠定基础| |解分式方程|5题（10小题）|覆盖去分母、验根等步骤，培养运算能力|掌握解法，为应用铺垫| |解的情况求值|4题|涉及增根、无解及解的正负，发展推理意识|深化对解的理解，衔接参数问题| |工程问题|4题|以效率、时间为核心等量关系，建立模型|应用解法解决实际问题，体现数学语言表达| |行程问题|4题|围绕速度、路程构建方程，强化应用意识|拓展实际场景，提升问题转化能力| |销售问题|6题|结合进价、利润等经济量，培养数据观念|丰富应用类型，贴近生活实际| |其他问题|5题|涵盖运输、生产等场景，发展创新意识|全面覆盖考法，形成知识闭环|

专题03 分式方程（七大题型） 【题型1 分式方程定义】....................................................................................................1 【题型2 解分式方程】..........................................................................................................1 【题型3 根据分式方程解的情况求值】............................................................................2 【题型4 分式方程应用－工程问题】.....................................................................................3 【题型5 分式方程应用－行程问题】.....................................................................................4 【题型6 分式方程应用－销售问题】.....................................................................................5 【题型7 分式方程应用－其他问题】.....................................................................................7 【题型1 分式方程定义】 1．下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【题型2 解分式方程】 5．解分式方程： (1)； (2)． 6．解分式方程： (1)； (2)． 7．解方程： (1)； (2)． 8．解方程 (1)； (2)． 9．解分式方程： (1)； (2)． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 10．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 11．解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____． 12．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 13．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【题型4 分式方程应用－工程问题】 14．某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积是多少万平方米？ 15．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件？ (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为20小时，则至少需要安排多少台这样的分拣机？ 16．科技赋能乡村振兴，智能装备助力高效采收．某智慧农场近期投放使用了一批新型采收机器人用于采收某种农作物，实践中发现其优势如下： 单位采收量更大 每台新型机器人比每台旧型机器人每天多采收40千克 工作效率更高 每台新型机器人采收1200千克所用时间与每台旧型机器人采收880千克所用时间相等 求每台新型机器人每天的采收量． 17．重庆江津是“中国花椒之乡”，某花椒加工厂承接了火锅底料花椒包的包装订单，采用智能包装机与人工包装两种方式配合生产．已知智能包装机包装300袋花椒包的时间，人工只能包装80袋，且智能包装机每小时比人工多包装55袋． (1)求人工每小时包装多少袋花椒包？ (2)该加工厂接到紧急订单，需在8小时内完成不少于700袋的花椒包装任务．智能包装机可以8小时连续工作，人工可以配合工作一段时间，求人工至少需要配合工作多少小时? 【题型5 分式方程应用－行程问题】 18．甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米． (1)求甲、乙速度； (2)甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？ 19．小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 20．某中学组织学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线的全程是，但交通比较拥堵；路线比路线的全程多，但平均速度比走路线能提高，走路线能比走路线少用．求走路线的平均速度是多少． 21．从昆明站至丽江站，现有的动车线路里程大约为510公里．随着昆丽高铁（目前在建设中，预计将于2027年开通）的竣工，新线路的里程将缩减至约442公里．假设未来高铁的平均速度是目前动车平均速度的2倍，那么从昆明站到丽江站乘坐高铁所需的时间将比现在乘坐动车少1.7小时．求未来高铁的平均速度． 【题型6 分式方程应用－销售问题】 22．2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚．某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱．已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等． (1)求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元？ (2)该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来． 23．某校计划购买甲、乙两种乒乓球拍．经市场调查，甲种乒乓球拍的单价是乙种乒乓球拍的1.5倍；用600元单独购买甲种乒乓球拍比单独购买乙种乒乓球拍少10把． (1)求甲、乙两种乒乓球拍的单价； (2)若该校计划购买这两种球拍共50把，且甲种乒乓球拍的数量不少于乙种乒乓球拍的一半，如何购买这两种球拍可使购买费用最少，并求出最少费用． 24．2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高，若用360元等额资金分别购进A、B两类配件，则A类配件的数量比B类配件的数量少3个． (1)求A、B两类机器人配件每个的进价； (2)3月，该科技店用5400元购进A类配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 25．四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量不低于乙种茶叶重量的．求商店至少购进甲种茶叶多少千克？ 26．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测粽子能够畅销．根据预测，每千克粽子节前的进价比节后多元，节前用元购进粽子的数量是节后用元购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进粽子千克，若节前购进粽子千克，按照节前每千克元，节后每千克元全部售出，那么该商场节前购进多少千克粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 27．乳制品产业通过特产店渠道提升品牌和附加值，一家特产店计划从本地奶制品厂采购两款热销产品：奶片和酸奶．已知奶片每件的进价比酸奶每件的进价少4元．该店用120元购买奶片的件数，恰好等于用160元购买酸奶的件数． (1)求奶片和酸奶每件的进价各是多少元； (2)第一批采购的奶片和酸奶很快售完，现该店准备再次购进这两种商品共70件、恰逢厂家调价：奶片在第一批进价的基础上打9折，酸奶在第一批进价的基础上提价5%，按照此价格采购，总费用不能超过960元，此次采购中最多可以购进酸奶多少件． 【题型7 分式方程应用－其他问题】 28．大红袍花椒有芳香健胃、温中散寒、除湿止痛、杀虫解毒、止痒解腥的功效．为拓宽这一特色农产品的销路，助力乡村振兴，某食品公司计划将一批大红袍花椒运往外地销售，现有甲、乙两种货车可供调配，已知甲种货车每辆比乙种货车每辆多装20箱花椒，且甲种货车装运1000箱花椒所用的车辆数与乙种货车装运800箱花椒所用的车辆数相等．求这两种货车每辆分别可以装运的花椒箱数． 29．小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如下表（续航里程是指在满电或满油状态下最大行驶里程．）： 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：90千瓦时 油价：元/升 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示表格中每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 30．清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的质量是新手采茶工人每天采茶质量的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比每个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求每个熟练采茶工人和每个新手采茶工人一天分别能采摘多少斤鲜叶； (2)若某茶厂计划一天采摘鲜叶至少斤，并安排熟练采茶工人和新手采茶工人共名，求最少安排熟练采茶工人多少名？ 31．某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． (1)求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ (2)若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 32．武汉某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的倍，若用一台机器人分拣件货物，比原先名工人分拣这些货物只多用小时． (1)求一台机器人每小时可分拣多少件货物？ (2)此仓库“双十二”前夕收到货物万件，为了在小时内分拣完所有货物，公司调配了台机器人和名工人，工作小时后，又调配了台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由． (3)公司技术部为了提速，对机器人“东东”的程序进行优化．若该仓库有万件货物待分拣，用相同的时间分拣，提速后的“东东”可比提速前多分拣万件，则机器人“东东”平均提速______件/小时（用含的式子表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式方程（七大题型） 【题型1 分式方程定义】....................................................................................................1 【题型2 解分式方程】..........................................................................................................3 【题型3 根据分式方程解的情况求值】............................................................................6 【题型4 分式方程应用－工程问题】.....................................................................................8 【题型5 分式方程应用－行程问题】.....................................................................................11 【题型6 分式方程应用－销售问题】.....................................................................................13 【题型7 分式方程应用－其他问题】.....................................................................................19 【题型1 分式方程定义】 1．下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可． 【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数， 选项A：，分母无未知数，不是分式方程； 选项B：，分母x是未知数，是分式方程； 选项C：，分母2是常数，不是分式方程； 选项D：，分母无未知数，不是分式方程． 故选：B． 2．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握分式方程的定义是关键；分式方程是指含有分式的方程，一般指分母中含有未知数的方程．选项B的分母均为常数，因此不是分式方程． 【详解】∵ 分式方程需满足分母中含有未知数， A、分母为x，含未知数，是分式方程； B、分母为3、4、5，均为常数，不含未知数，不是分式方程； C、分母为，含未知数，是分式方程； D、分母为x和，含未知数，是分式方程． ∴ 不是分式方程的是B． 故选B 3．下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：①，符合分式方程的定义，是分式方程； ②，符合分式方程的定义，是分式方程； ③，分母里不含有字母，不符合分式方程的定义，不是分式方程； ④，符合分式方程的定义，是分式方程； 故选：B． 4．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 【题型2 解分式方程】 5．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两边同乘最简公分母化为整式方程求解，再代入公分母检验即可； （2）两边同乘最简公分母化为整式方程求解，再代入公分母检验即可． 【详解】（1）解：方程两边都乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：方程两边都乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 6．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： ， 经检验，是原方程的解； （2）解： ， 经检验，当时，， 故原方程无解． 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 8．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解： ， 经检验，是原方程的解； （2）解： ， 经检验，是原方程的增根， 原方程无解． 9．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项，再系数化为，求出方程的根，最后检验方程的根即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解． （2）解： ， ， ， ， ， 检验：当时，， 原分式方程无解． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 10．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴且． 11．解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____． 【答案】 【分析】先确定分式方程的分母，令分母为零得到增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根， 方程两边同乘最简公分母去分母，得：， 将增根代入整式方程，得：， 解得． 12．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求解分式方程，得到含的解的表达式，再根据分式方程的解为负数，且分母不为零，列出关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】解：， 将方程变形为， 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 分式方程的解为负数， ，且， 即，且， 解得， 解得， 已经满足， 的取值范围是． 13．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 【题型4 分式方程应用－工程问题】 14．某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积是多少万平方米？ 【答案】0.6万平方米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积是万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积是x万平方米，则实际每天绿化的面积是万平方米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 即原计划每天绿化的面积是0.6万平方米． 15．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件？ (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为20小时，则至少需要安排多少台这样的分拣机？ 【答案】(1)人工每人每小时分拣60件 (2)至少需要安排4台这样的分拣机 【分析】本题主要考查了不等式的应用，分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣件，根据3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时，列出方程，解方程即可； （2）设需要安排y台分拣机，根据该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为20小时，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣件， 根据题意得，，     解得：，     检验：当时，， ∴是方程的解，且符合题意，     答：人工每人每小时分拣60件． （2）解：由（1）可知，每台机器每小时分拣快件为（件），设需要安排台分拣机，根据题意得： ， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最小值为4，     答：至少需要安排4台这样的分拣机． 16．科技赋能乡村振兴，智能装备助力高效采收．某智慧农场近期投放使用了一批新型采收机器人用于采收某种农作物，实践中发现其优势如下： 单位采收量更大 每台新型机器人比每台旧型机器人每天多采收40千克 工作效率更高 每台新型机器人采收1200千克所用时间与每台旧型机器人采收880千克所用时间相等 求每台新型机器人每天的采收量． 【答案】150 【分析】本题考查分式方程的实际应用，通过设旧型机器人每天采收量为x千克，新型机器人每天采收量为千克，根据采收时间相等的条件建立方程，求解得到x的值，进而求出新型机器人的采收量即可． 【详解】解：设每台旧型机器人每天的采收量为x千克，则每台新型机器人每天的采收量为千克，由题意，得： ， 解得； 经检验，是原方程的解且符合题意． 每台新型机器人每天的采收量为（千克）； 答：每台新型机器人每天的采收量为150千克． 17．重庆江津是“中国花椒之乡”，某花椒加工厂承接了火锅底料花椒包的包装订单，采用智能包装机与人工包装两种方式配合生产．已知智能包装机包装300袋花椒包的时间，人工只能包装80袋，且智能包装机每小时比人工多包装55袋． (1)求人工每小时包装多少袋花椒包？ (2)该加工厂接到紧急订单，需在8小时内完成不少于700袋的花椒包装任务．智能包装机可以8小时连续工作，人工可以配合工作一段时间，求人工至少需要配合工作多少小时? 【答案】(1)人工每小时包装20袋花椒包 (2)人工至少需要配合工作5小时 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，正确列出等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设人工每小时包装袋花椒包，则智能包装机每小时包装袋，根据智能包装机包装300袋花椒包的时间，人工只能包装80袋，列方程即可解答； （2）设人工需要配合工作小时，根据题意列出不等式即可解答． 【详解】（1）解：设人工每小时包装袋花椒包，则智能包装机每小时包装袋， 由题意，得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合实际意义． 答：人工每小时包装20袋花椒包； （2）解：设人工需要配合工作小时， 由题意，得， 解得：， 答：人工至少需要配合工作5小时． 【题型5 分式方程应用－行程问题】 18．甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米． (1)求甲、乙速度； (2)甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？ 【答案】(1)甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时 (2)乙5分钟追上 【分析】（1）设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据“乙比甲早40分钟到达”列分式方程求解； （2）设乙出发t小时追上，根据题意列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时， 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴（千米/时） 答：甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时； （2）解：设乙出发t小时追上， 根据题意得，， 解得小时分钟， 答：乙5分钟追上． 19．小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟 【分析】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可． 【详解】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 此时， 答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟． 20．某中学组织学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线的全程是，但交通比较拥堵；路线比路线的全程多，但平均速度比走路线能提高，走路线能比走路线少用．求走路线的平均速度是多少． 【答案】走路线的平均速度是 【分析】设走路线的平均速度是，则走路线的平均速度是，根据时间差列出正确的分式方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：设走路线的平均速度是，则走路线的平均速度是， 由题意可得，路线的全程为，. 根据走路线比走路线少用，列方程得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：走路线的平均速度是． 21．从昆明站至丽江站，现有的动车线路里程大约为510公里．随着昆丽高铁（目前在建设中，预计将于2027年开通）的竣工，新线路的里程将缩减至约442公里．假设未来高铁的平均速度是目前动车平均速度的2倍，那么从昆明站到丽江站乘坐高铁所需的时间将比现在乘坐动车少1.7小时．求未来高铁的平均速度． 【答案】未来高铁的平均速度为340公里/小时． 【分析】此题主要考查分式方程的实际应用．设动车的平均速度为公里/小时，则未来高铁的平均速度为公里/小时，根据题意列出分式方程，故可求解． 【详解】解：设动车的平均速度为公里/小时，则未来高铁的平均速度为公里/小时， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴. 答：未来高铁的平均速度为340公里/小时． 【题型6 分式方程应用－销售问题】 22．2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚．某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱．已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等． (1)求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元？ (2)该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来． 【答案】(1)每枚岳麓山纪念徽章进价10元，每个橘子洲纪念钥匙扣进价15元 (2)共有3种购买方案，分别为：方案一：购进岳麓山纪念徽章25件，橘子洲纪念钥匙扣25件；方案二：购进岳麓山纪念徽章24件，橘子洲纪念钥匙扣26件；方案三：购进岳麓山纪念徽章23件，橘子洲纪念钥匙扣27件 【分析】本题考查分式方程、不等式组的应用，根据已知条件列出分式方程及不等式组是解题的关键． （1）设每枚岳麓山纪念徽章的进价为元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价为元，结合两种文创的购进数量相等的等量关系，列分式方程求解即可，分式方程需要检验； （2）设购进橘子洲纪念钥匙扣件，则购进岳麓山纪念徽章件，根据题意列出不等式组，结合为正整数，即可求出所有符合条件的购买方案． 【详解】（1）解：设每枚岳麓山纪念徽章的进价为元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 则元， 答：每枚岳麓山纪念徽章进价10元，每个橘子洲纪念钥匙扣进价15元； （2）解：设购进橘子洲纪念钥匙扣件，则购进岳麓山纪念徽章件， 由题意得： 解得， 为正整数， 可取25，26，27， 当时，件， 当时，件， 当时，件， 答：共有3种购买方案，分别为：方案一：购进岳麓山纪念徽章25件，橘子洲纪念钥匙扣25件；方案二：购进岳麓山纪念徽章24件，橘子洲纪念钥匙扣26件；方案三：购进岳麓山纪念徽章23件，橘子洲纪念钥匙扣27件． 23．某校计划购买甲、乙两种乒乓球拍．经市场调查，甲种乒乓球拍的单价是乙种乒乓球拍的1.5倍；用600元单独购买甲种乒乓球拍比单独购买乙种乒乓球拍少10把． (1)求甲、乙两种乒乓球拍的单价； (2)若该校计划购买这两种球拍共50把，且甲种乒乓球拍的数量不少于乙种乒乓球拍的一半，如何购买这两种球拍可使购买费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)甲种乒乓球拍单价为30元，乙种乒乓球拍单价为20元 (2)购买甲种乒乓球拍17把，乙种乒乓球拍33把时购买费用最少，最少费用为1170元 【分析】（1）设出乙的单价后，根据两种球拍的数量差列方程求解即可； （2）先得到总费用关于甲购买数量的一次函数，再根据甲数量的限制条件确定自变量范围，结合一次函数的增减性即可求出最小费用． 【详解】（1）解：设乙种乒乓球拍单价为元，则甲种乒乓球拍单价为元， 根据题意列方程得 解得 检验：当时，，因此是原方程的解，且符合题意 答：甲种乒乓球拍单价为30元，乙种乒乓球拍单价为20元； （2）解：设购买甲种乒乓球拍把，总费用为元，则购买乙种乒乓球拍把， 可得总费用 化简得 根据题意得 解不等式得 因为为正整数，且，随的增大而增大 所以当时，取得最小值， 此时 答：购买甲种乒乓球拍17把，乙种乒乓球拍33把时购买费用最少，最少费用为1170元． 24．2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高，若用360元等额资金分别购进A、B两类配件，则A类配件的数量比B类配件的数量少3个． (1)求A、B两类机器人配件每个的进价； (2)3月，该科技店用5400元购进A类配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 【答案】(1) A类配件每个进价72元，B类配件每个进价45元 (2) 购进A类配件50个，B类配件40个 【分析】（1）设B类配件的进价为未知数，根据A、B进价的关系表示出A的进价，再结合“360元购买时A的数量比B少3个”列分式方程求解； （2）设购进两类配件的数量，根据总进价和总利润列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设B类配件每个进价为元，则A类配件每个进价为（元）， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 则， 答：A类配件每个进价72元，B类配件每个进价45元． （2）解：设购进A类配件个，购进B类配件个， 根据题意可得 解得， 答：购进A类配件50个，B类配件40个． 25．四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量不低于乙种茶叶重量的．求商店至少购进甲种茶叶多少千克？ 【答案】(1)每千克甲种茶叶的进价为元，每千克乙种茶叶的进价为元 (2)商店至少购进甲种茶叶千克 【分析】（1）设甲种茶叶的进价为元，乙种茶叶的进价为元，由题意得：，即可得到答案； （2）设购进甲种茶叶千克，则购进乙种茶叶千克，由题意得：，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种茶叶的进价为元，乙种茶叶的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：每千克甲种茶叶的进价为元，每千克乙种茶叶的进价为元； （2）解：设购进甲种茶叶千克，则购进乙种茶叶千克， 由题意得：， 解得， 答：商店至少购进甲种茶叶千克． 26．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测粽子能够畅销．根据预测，每千克粽子节前的进价比节后多元，节前用元购进粽子的数量是节后用元购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进粽子千克，若节前购进粽子千克，按照节前每千克元，节后每千克元全部售出，那么该商场节前购进多少千克粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该商场节后每千克粽子的进价是元 (2)该商场节前购进千克粽子获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购进的粽子全部售出后可获得的总利润为，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元   依题意得：     解得：    经检验，是所列方程的解，且符合题意     答：该商场节后每千克粽子的进价是元； （2）设购进的粽子全部售出后可获得的总利润为，则      即     ， 随的增大而增大     当时，取得最大值，最大值为     答：该商场节前购进千克A粽子获得利润最大，最大利润是元 27．乳制品产业通过特产店渠道提升品牌和附加值，一家特产店计划从本地奶制品厂采购两款热销产品：奶片和酸奶．已知奶片每件的进价比酸奶每件的进价少4元．该店用120元购买奶片的件数，恰好等于用160元购买酸奶的件数． (1)求奶片和酸奶每件的进价各是多少元； (2)第一批采购的奶片和酸奶很快售完，现该店准备再次购进这两种商品共70件、恰逢厂家调价：奶片在第一批进价的基础上打9折，酸奶在第一批进价的基础上提价5%，按照此价格采购，总费用不能超过960元，此次采购中最多可以购进酸奶多少件． 【答案】(1)奶片每件进价为12元，酸奶每件进价为16元 (2)最多可以购进酸奶34件 【分析】（1）设奶片每件进价为元，酸奶每件进价为元，根据题意得出方程，求解方程即可； （2）设酸奶购进件，则奶片购进件，根据题意得出不等式，求解该不等式即可． 【详解】（1）解：设奶片每件进价为元，酸奶每件进价为元， 根据题意可得方程， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故奶片每件进价为12元，酸奶每件进价为16元． （2）解：设酸奶购进件，则奶片购进件， 根据题意可得， 解得， 故最多可以购进酸奶34件． 【题型7 分式方程应用－其他问题】 28．大红袍花椒有芳香健胃、温中散寒、除湿止痛、杀虫解毒、止痒解腥的功效．为拓宽这一特色农产品的销路，助力乡村振兴，某食品公司计划将一批大红袍花椒运往外地销售，现有甲、乙两种货车可供调配，已知甲种货车每辆比乙种货车每辆多装20箱花椒，且甲种货车装运1000箱花椒所用的车辆数与乙种货车装运800箱花椒所用的车辆数相等．求这两种货车每辆分别可以装运的花椒箱数． 【答案】甲种货车每辆可装运100箱花椒，乙种货车每辆可装运80箱花椒 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设乙种货车每辆可装运x箱花椒，则甲种货车每辆可装运箱花椒，根据“甲种货车装运1000箱花椒所用的车辆数与乙种货车装运800箱花椒所用的车辆数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设乙种货车每辆可装运x箱花椒，则甲种货车每辆可装运箱花椒， 根据题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种货车每辆可装运100箱花椒，乙种货车每辆可装运80箱花椒． 29．小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如下表（续航里程是指在满电或满油状态下最大行驶里程．）： 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：90千瓦时 油价：元/升 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示表格中每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】(1)， (2)燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元 【分析】本题主要考查了列代数式、分式方程的应用等知识点，审清题意、明确量之间的关系是解题的关键． （1）根据每千米行驶费用为：总费用除以续航里程列代数式即可； （2）根据等量关系“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：燃油车每千米行驶费用为元； 新能源车每千米行驶费用为元． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）； （元）． 答：燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元． 30．清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的质量是新手采茶工人每天采茶质量的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比每个新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求每个熟练采茶工人和每个新手采茶工人一天分别能采摘多少斤鲜叶； (2)若某茶厂计划一天采摘鲜叶至少斤，并安排熟练采茶工人和新手采茶工人共名，求最少安排熟练采茶工人多少名？ 【答案】(1)每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶 (2)名 【分析】（）设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，根据题意列出方程即可求解； （）设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每个熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个熟练采茶工人一天能采摘斤鲜叶，每个新手采茶工人一天能采摘斤鲜叶； （2）解：设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人名， 由题意得，， 解得， 答：最少安排名熟练采茶工人． 31．某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． (1)求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ (2)若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 【答案】(1)品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 (2)套 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键。 （1）设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元，列方程求解即可； （2）设购进品牌套装套，则购进品牌套装套，根据题意列不等式求解即可。 【详解】（1）解：设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元 由题意得 解得 经检验，是分式方程的解 答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 （2）解：设购进品牌套装套，则购进品牌套装套， 由题意得： 解得 为正整数， 答：最少购进品牌工具套装套． 32．武汉某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的倍，若用一台机器人分拣件货物，比原先名工人分拣这些货物只多用小时． (1)求一台机器人每小时可分拣多少件货物？ (2)此仓库“双十二”前夕收到货物万件，为了在小时内分拣完所有货物，公司调配了台机器人和名工人，工作小时后，又调配了台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由． (3)公司技术部为了提速，对机器人“东东”的程序进行优化．若该仓库有万件货物待分拣，用相同的时间分拣，提速后的“东东”可比提速前多分拣万件，则机器人“东东”平均提速______件/小时（用含的式子表示） 【答案】(1)一台机器人每小时可以分拣件货物 (2)该公司能在规定的时间内完成任务，详见解析 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键． （1）设一名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，利用工作时间工作总量工作效率，结合“用一台机器人分拣件货物，比原先名工人分拣这些货物只多用小时”可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）利用工作总量工作效率工作时间，可求出小时内分拣货物的总件数，再将其与万件比较后，即可得出结论； （3）设机器人“东东”平均提速件/小时，利用工作时间工作总量工作效率，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设一名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物， 根据题意得：，         解得：，             经检验：是原分式方程的解，且符合题意，         ， 答：一台机器人每小时可以分拣件货物； （2）解：该公司能在规定的时间内完成任务，理由如下： ， ， 该公司能在规定的时间内完成任务； （3）解：设机器人“东东”平均提速件/小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 机器人“东东”平均提速件/小时， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $