专题02 分式运算（九大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

专题02 分式运算（九大题型） 【题型1 分式的乘法运算】...................................................................................................1 【题型2 分式的除法运算】....................................................................................................2 【题型3 分式的乘除法混合运算】.........................................................................................4 【题型4 同分母分式的加减】.................................................................................................6 【题型5 最简公分母】...........................................................................................................8 【题型6 异分母分式的加减】.................................................................................................9 【题型7 分式的加减法的实际应用】...................................................................................10 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】.................................................................................13 【题型9 分式化简求值】.......................................................................................................15 【题型1 分式的乘法运算】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘法即可。 【详解】解：． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据分式乘法法则计算，再约分即可得到结果。 【详解】解：原式 ． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再约去公因式即可。 【详解】解：． 4．化简的结果为______。 【答案】 【分析】先对原式的分子运用平方差公式进行因式分解，再根据分式乘法运算法则约分，即可得到化简结果。 【详解】解：． 5．化简： 的结果为_____________。 【答案】 【分析】此题是分式的乘法运算。先把分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分化简。 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型2 分式的除法运算】 6．计算：______。 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式分母进行因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果。 【详解】解： ． 7．化简：______。 【答案】 【分析】先对分子分母进行因式分解，再根据分式乘除法的运算法则计算即可。 【详解】解：原式． 8．计算：________ 【答案】 【分析】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果。 【详解】解： ． 9．计算：______ 【答案】 【分析】先根据分式除法法则将除法转化为乘法，再对多项式因式分解，最后约分得到计算结果。 【详解】解： ． 10．计算的结果是______。 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，根据分式的除法法则计算即可。 【详解】解： , 故答案为：． 【题型3 分式的乘除法混合运算】 11.计算： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识。 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 12.计算： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案。 （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案。 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 13.计算： (1); (2); (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）直接约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先进行乘方运算，除法变乘法，约分化简即可。 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 14.计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式运算的法则。 （1）根据平方差公式和完全平方公式把分子、分母因式分解，把除法转化成乘法，然后约分，即可得出答案。 （2）原式先把除法变为乘法，约分即可得到结果。 【详解】（1）解： ; （2）解： ． 【题型4 同分母分式的加减】 15．化简__________。 【答案】0 【分析】先将原式中两个分式变形为同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算。 【详解】解： 16．计算的结果是________。 【答案】 【详解】解：． 17．计算的结果是______。 【答案】a 【分析】根据同分母分式的减法法则计算，再因式分解约分得到最简结果。 【详解】解：． 18．计算的结果是______。 【答案】2 【分析】根据同分母分式的减法法则计算。 先对分子因式分解，再约分得到结果。 【详解】解：原式 ． 19．计算的结果是______。 【答案】/ 【分析】先化为同分母，利用同分母分式的加减法法则计算即可。 【详解】 ． 20．当时，计算：______。 【答案】2018 【分析】本题涉及分式的加减运算、平方差公式，通过分式加减法则化简式子，再代入求值。先根据同分母分式的减法法则计算，再利用平方差公式因式分解，最后约分，再代入求值。 【详解】 当时， ． 故答案为：． 【题型5 最简公分母】 21.分式，的最简公分母是_____。 【答案】/ 【详解】解：分式，的最简公分母是． 22.分式与的最简公分母为____。 【答案】 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键。对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可。 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 23．分式，，的最简公分母是______。 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的求法，需将各分母因式分解后取所有因式的最高次幂的积，熟练掌握最简公分母的求法是解此题的关键。 【详解】解：分式中，分母为， 分式，分母为， 分式，分母为， ∴分式，，的最简公分母是， 故答案为：． 24.分式，的最简公分母是_____________。 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键。 【详解】解：∵， ∴，的最简公分母是． 故答案为：． 25．分式，的最简公分母是______。 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式。根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母即可求出答案。 【详解】解：分式与的最简公分母是：， 故答案为：． 【题型6 异分母分式的加减】 26．计算的结果是____。 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解分母，再对异分母分式通分，转化为同分母分式后合并分子，最后约分得到结果。 【详解】解：原式 = ． 27．计算的结果等于_____。 【答案】 【分析】先对第二个分式的分母进行因式分解，再通分，根据分式加法法则计算，最后约分得到结果。 【详解】解：原式 28．计算：______。 【答案】 【详解】解：原式 ． 29．计算的结果是______。 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质，分式的混合运算法则是解题的关键。 先通分，再计算，化成最简分式即可。 【详解】解： , 故答案为： ． 【题型7 分式的加减法的实际应用】 30.某工程队要修路米，原计划平均每天修米。因天气原因，平均每天少修米（）。因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数。 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天。 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天。 ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 31.生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”。设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖水更甜了（糖水浓度更大了），其中．根据这一现象，可以列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有一杯克的糖水里含有克糖，则糖占糖水的百分比是，设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖占糖水的百分比是，则，根据得，即可得。 【详解】解：有一杯克的糖水里含有克糖，则糖占糖水的百分比是， 设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖占糖水的百分比是， ∵ = = = = ∵， ∴， ∴， 即， , 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序。 32.某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买_____盒。 【答案】 【分析】本题考查分式运算的应用。 通过计算现在购买数量与原来购买数量的差，得到多买的盒数。 【详解】解：原来每盒售价元，500元可购买盒； 现在每盒售价元，500元可购买盒。 现在比原来多买盒。 故答案为：． 33.王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升。（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可。 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升。 故答案为：． 34.甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了__________千米/小时。 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减法的实际应用，根据速度路程时间分别求出提速前后火车的速度，再用提速后的速度减去提速前的速度即可得到答案， 【详解】解： 千米/小时， ∴提速后火车的速度比提速前的快了千米/小时， 故答案为：． 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】 35．化简，． 【答案】 【分析】先计算括号内的异分母分式减法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分即可得到结果。 【详解】解：原式 36.计算： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可。 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 37．化简：． 【答案】 【分析】根据分式混合运算法则，进行计算即可。 【详解】解： ． 38．化简：． 【答案】 【分析】先把括号内的式子通分，再把除法变为乘法，约分即可。 【详解】解： ． 39．化简：． 【答案】 【分析】先算括号里面的加法，再算除法，即可求解。 【详解】解： ． 【题型9 分式化简求值】 40．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先对分式的分子、分母进行因式分解，将除法运算转化为乘法运算，约分后进行通分、加法运算，完成化简，最后将代入化简后的式子求值。 【详解】解： , 当时，原式． 41．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】首先根据分式混合运算的法则进行化简，然后将代入求值即可。 【详解】解： , 当时， 原式． 42.先化简，再从，，，四个数中选一个合适的数作为的值代入求值。 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，即分母不等于零，熟练掌握知识点是解题的关键； 先将除法转化为乘法，再化简即可，根据分式有意义的条件，确定的值，代入计算即可。 【详解】解：原式 , , ,, ,,1, 当时，原式． 43．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x的值代入，根据二次根式的性质化简即可。 【详解】解： , 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，正确化简是解题的关键。 44．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代入数值计算即可。 【详解】解： ． , , 原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式运算（九大题型） 【题型1 分式的乘法运算】..............................................................................................。.....1 【题型2 分式的除法运算】....................................................................................................2 【题型3 分式的乘除法混合运算】.........................................................................................2 【题型4 同分母分式的加减】.................................................................................................3 【题型5 最简公分母】...........................................................................................................3 【题型6 异分母分式的加减】.................................................................................................3 【题型7 分式的加减法的实际应用】.....................................................................................3 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】.................................................................................4 【题型9 分式化简求值】.......................................................................................................5 【题型1 分式的乘法运算】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．化简的结果为______。 5．化简： 的结果为_____________。 【题型2 分式的除法运算】 6．计算：______。 7．化简：______。 8．计算：________ 9．计算：______ 10．计算的结果是______。 【题型3 分式的乘除法混合运算】 11.计算： (1); (2)． 12.计算： (1); (2)． 13.计算： (1); (2); (3)． 14.计算： (1)． (2)． 【题型4 同分母分式的加减】 15．化简__________。 16．计算的结果是________。 17．计算的结果是______。 18．计算的结果是______。 19．计算的结果是______。 20．当时，计算：______。 【题型5 最简公分母】 21.分式，的最简公分母是_____。 22.分式与的最简公分母为____。 23．分式，，的最简公分母是______。 24.分式，的最简公分母是_____________。 25．分式，的最简公分母是______。 【题型6 异分母分式的加减】 26．计算的结果是____。 27．计算的结果等于_____。 28．计算：______。 29．计算的结果是______。 【题型7 分式的加减法的实际应用】 30.某工程队要修路米，原计划平均每天修米。因天气原因，平均每天少修米（）。因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 31.生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”。设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖水更甜了（糖水浓度更大了），其中．根据这一现象，可以列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 32.某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买_____盒。 33.王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升。（写出化简后的结果） 34.甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了__________千米/小时。 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】 35． 化简，． 36.计算： (1); (2)． 37．化简：． 38．化简：． 39．化简：． 【题型9 分式化简求值】 40．先化简，再求值：，其中． 41．先化简，再求值：，其中． 42.先化简，再从，，，四个数中选一个合适的数作为的值代入求值。 43．先化简，再求值：，其中． 44．先化简，再求值：，其中． 1 学科网（北京）股份有限公司 $