第03讲 分式方程（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦分式方程核心知识点，系统梳理从概念（定义、与整式方程的区别联系）到解法（去分母步骤、检验、增根原因）再到应用（工程、行程、销售等问题）的脉络，构建从基础理解到实际应用的学习支架，衔接整式方程知识。 资料特色在于通过对比辨析概念培养抽象能力，详解解法中检验和增根原因发展推理意识，结合高铁隧道施工、共享单车行程等实际问题渗透模型意识。典例与变式题分层设计，课中助力教师分层教学，课后帮助学生针对性练习查漏补缺。

第03讲 分式方程 考点1：分式方程的概念 考点2：分式方程的解法 考点3：分式方程的应用 重点：（1）掌握分式方程的解法步骤； （2）解分式方程必须检验； （3）列简单分式方程解决实际问题。 难点★：（1）理解分式方程产生增根的原因； （2）准确进行去分母运算，不漏乘常数项； （3）实际应用题找准等量关系，正确设数列方程。 1.理解分式方程的定义，能区分整式方程与分式方程； 2.掌握解分式方程的基本步骤，熟练会去分母化为整式方程； 3.牢记解分式方程必须检验，能正确识别增根并会列、解简单的分式方程实际应用题。 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程。 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数。 （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）。 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程。 （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。 【题型1 分式方程定义】 【典例1】下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 【变式1】下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 【变式2】下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解：由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程， 故选：D． 【变式3】在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是判断方程中分母是否含有未知数． 逐一分析每个方程，判断分母中是否含有未知数，统计满足分式方程定义的个数． 【详解】解：：分母为，不含未知数，不是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母为（常数），不含未知数，不是分式方程． 综上，分式方程共3个． 故选：B． 知识点2：解分式方程 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 【题型2 解分式方程】 【典例2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2)原分式方程无解 【分析】（1）先去分母，转化为整式方程，解整式方程后再检验即可； （2）先去分母，转化为整式方程，解整式方程后再检验即可． 【详解】（1）解：， 原方程化为：， 两边同乘以，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是增根，原方程无解； （2）解：， 两边同乘以，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是增根，原方程无解． 【变式1】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解． 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 无解 【详解】（1）解： 检验，当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解： 检验，当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程无解． 【变式3】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是增根，原分式方程无解． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 【典例3】若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【详解】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 【变式1】若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查分式方程增根的概念，分式方程的增根是使最简公分母为的未知数的值，先将分式方程化为整式方程，再代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程 有增根， ∴最简公分母，得， 方程两边同乘去分母得：， 整理得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 【变式2】关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 分式方程的根是非负数，且， ，且， 解得且． 【变式3】若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 知识点3：分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义；+ 1）检验所求的解是不是所列分式方程的解。 2）检验所求的解是否符合实际意义。 答：实际问题的答案。 与分式方程有关应用题的常见类型： 【题型4 分式方程应用－工程问题】 【典例4】渝昆高铁是我国“八纵八横”高铁网京昆通道的重要组成部分，全长约700公里，设计时速350公里．其中位于云南省昭通市境内的彝良隧道是该线的重难点控制性工程，全长24.8公里，是中国目前贯通里程最长、时速最快的高铁隧道，为了确保全线按期贯通，在剩余22公里时，施工队将掘进速度提高，结果每天比原计划多掘进20米．最终在提速后所用的时间比原计划少了10天．求施工队原计划每天掘进多少米？ 【答案】200米 【分析】设原计划每天掘进米，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设原计划每天掘进米． 根据题意得：， 解得（舍去），， 当时，经检验符合题意． 答：施工队原计划每天掘进200米． 【变式1】在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 【答案】(1)原来每天铺设地砖； (2)元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖，由题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）可知原来铺设地砖天，采用新模式后铺设了天，然后列出算出即可求解． 【详解】（1）解：设原来每天铺设地砖，则采用新模式后每天铺设地砖， 由题意得：， 解方程得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：原来每天铺设地砖； （2）解：由（）可知原来铺设地砖（天），则采用新模式后铺设了（天）， ∴该公司支付给民工的工资总额为： （元）． 【变式2】在梅溪湖生态环境提升项目中，计划由甲、乙两个工程队合作完成部分工程．调查发现：甲工程队每天比乙工程队少整治40米，且甲工程队单独完成3000米整治任务的时间，与乙工程队单独完成4000米整治任务的时间相等． (1)甲、乙工程队每天分别整治多少米？ (2)由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，现由甲、乙两个工程队共用时80天，接力完成不少于11600米河堤整治任务，则乙工程队至少施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天整治120米，乙工程队每天整治160米； (2)乙工程队至少施工50天 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲工程队每天整治米，则乙工程队每天整治米，根据甲工程队单独完成3000米整治任务的时间，与乙工程队单独完成4000米整治任务的时间相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设乙工程队施工天，则甲工程队施工天，根据接力完成不少于11600米河堤整治任务，列出一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）（1）设甲工程队每天整治米，则乙工程队每天整治米， 根据题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队每天整治120米，乙工程队每天整治160米； （2）设乙工程队施工天，则甲工程队施工天， 根据题意得：， 解得：， 答：乙工程队至少施工50天． 【变式3】某村种植合作社共需要采摘茶叶24吨，村民采摘4吨后，政府组织一批志愿者服务队加入一起采摘，已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天． (1)求村民每天采摘茶叶多少吨； (2)已知合作社每天需要支出村民劳务费2000元，志愿者服务队不需要支出劳务费，只需要每天支出饮食费500元，那么志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？ 【答案】(1)0.8吨 (2)25000元 【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数混合运算的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设村民每天采摘茶叶吨，则志愿者服务队每天采摘吨，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）先求出志愿者服务队采摘的时间，再分别计算志愿者服务队加入前预计支付的费用、志愿者服务队加入后实际支付的费用，两者相减即可得出答案． 【详解】（1）解：设村民每天采摘茶叶吨，则志愿者服务队每天采摘吨， 根据题意，得， 解得， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：村民每天采摘茶叶0.8吨； （2）解：志愿者服务队采摘的时间为（天）， （元）， 答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省25000元． 【题型5 分式方程应用－行程问题】 【典例5】2026年，中国在海陆空多维交通与国防领域的“提速”成果密集落地，全国两会期间披露，CR450动车组正在进行提速攻坚实验，计划年内定型，该次列车采用永磁牵引、碳纤维轻量化等技术进行提速，北京至上海有望比原来减少1小时，已知京沪高铁全长1320千米，原来动车组的提速为330千米每小时，求提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快多少千米？ 【答案】提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快110千米． 【分析】设提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快千米．根据北京至上海有望比原来减少1小时列出方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快千米． 经检验：是原方程的解 答：提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快110千米． 【变式1】请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你． 小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了． (1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ； (2)求小明今天的速度． 【答案】(1) (2)小明今天的速度为 【分析】（1）由小明今天的速度是原来速度的1.2倍，可得出小明今天的速度为 ； （2）利用时间路程速度，结合小丽比小明多用，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵小明原来的速度为，今天小明速度是平时骑车速度的1.2倍， ∴小明今天的速度为 ． （2）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴ ． 答：小明今天的速度为． 【变式2】湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力． 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场．小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟．于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小张跑步的平均速度； (2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由． 【答案】(1)小张跑步的平均速度为180米/分 (2)小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由见解析 【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为米/分，根据时间路程速度结合骑车的时间比跑步的时间少用了5分钟，列出分式方程，解方程即可； （2）根据时间路程速度可求出小张跑步及骑车的时间，再求出总耗时29分钟，然后与30分钟比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：小张跑步的平均速度为180米/分； （2）解：小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由如下： 小张跑步的时间为：（分钟），骑车的时间为：（分钟）， ∵（分钟），， ∴小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场． 【变式3】昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 【答案】甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟，然后表示出各自的时间，再由“甲跑完这段路程比乙少用1分钟”建立分式方程求解． 【详解】解：设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟， 根据题意列方程得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为， 则 答：甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟． 【题型6 分式方程应用－销售问题】 【典例6】某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【答案】(1)一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元 (2)该商品获得的最小利润为5500元 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元，根据题意，得，解答即可． 【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根．且符合题意， 此时， 答：一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元． （2）解：设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元， 根据题意，得， 由，得w随a的增大而减小， 由得， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故该商品获得的最小利润为5500元． 【变式1】为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知乙种猕猴桃每箱售价比甲种猕猴桃每箱售价多20元，400元所买甲种猕猴桃箱数与500元所买乙种猕猴桃箱数相等． (1)求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共12箱，且甲种猕猴桃的箱数不超过乙种猕猴桃的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲种猕猴桃每箱80元，则乙种猕猴桃每箱100元 (2)该公司最少需花费元 【分析】（1）设甲种猕猴桃每箱元，根据“400元所买甲种猕猴桃箱数与500元所买乙种猕猴桃箱数相等”列分式方程求解即可； （2）设购买甲种猕猴桃箱，根据“甲种猕猴桃的箱数不超过乙种猕猴桃的箱数”求出m的取值范围，设该公司需花费元，根据题意得到的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设甲种猕猴桃每箱元，则乙种猕猴桃每箱元， 依题意，得 解得 经检验，是原方程的解． 当时，， 所以乙种猕猴桃每箱100元， 答：甲种猕猴桃每箱80元，则乙种猕猴桃每箱100元； （2）解：设购买甲种猕猴桃箱，则购买乙种猕猴桃为箱． 依题意，得 解得 设该公司需花费元， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，此时， 答：该公司最少需花费元． 【变式2】为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同． (1)求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ (2)该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 【答案】(1)共享单车单价500元，共享电动车单价700元 (2)采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元 【分析】（1）设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，根据“用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同．”列出方程，即可求解； （2）设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元， 由题意得： 解得， 经检验，是原分式方程的解， 共享电动车单价：（元）， 答：共享单车单价500元，共享电动车单价700元． （2）解：设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆， ， 又， ， ， w随m的增大而减小， 当时，w取得最小值， （元）， 答：采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元． 【变式3】钧瓷是河南省禹州市的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，是中国“五大名瓷”之一．某校为了推行中原文化进校园，准备购买甲、乙两种钧瓷茶杯用于宣讲．已知每个甲种茶杯比每个乙种茶杯多10元，花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同． (1)求甲、乙两种茶杯的单价． (2)若学校决定购买甲、乙两种茶杯共60个，总费用不超过1600元，那么该校最多可以购买甲种茶杯多少个？ 【答案】(1)乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元 (2)该校最多可以购买甲种茶杯个 【分析】（1）设乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元，根据“花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同”建立分式方程求解； （2）设购买甲种茶杯个，则购买乙种茶杯个，根据“总费用不超过1600元”建立不等式求解． 【详解】（1）解：设乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 甲种茶杯的单价为（元）， 答：乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元； （2）解：设购买甲种茶杯个，则购买乙种茶杯个， 由题意得，， 解得 答：该校最多可以购买甲种茶杯个． 【题型7 分式方程应用－其他问题】 【典例7】为深化劳动实践育人成效，某校组织学生走进劳动实践基地采摘茶叶，并将学生分成A、B两组．已知A组每小时比B组多采摘10千克，A组采摘300千克茶叶所用时间与B组采摘240千克茶叶所用时间相等．求B组每小时采摘茶叶多少千克？ 【答案】B组每小时采摘茶叶40千克 【分析】设B组每小时采摘茶叶千克，则可表示出A组每小时采摘的茶叶，根据时间关系列出分式方程，再求解即可；注意要检验． 【详解】解：设B组每小时采摘茶叶千克，则A组每小时采摘千克茶叶， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：B组每小时采摘茶叶40千克． 【变式1】某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的倍，用元单独购买甲种图书比用元单独购买乙种图书要少本．求： (1)乙种图书每本价格为多少元？ (2)如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲种图书？ 【答案】(1) 乙种图书每本价格为元 (2) 该图书馆最多可以购买本甲种图书 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用． (1)设乙种图书每本元，则甲种图书每本元，根据用元单独购买甲种图书比用元单独购买乙种图书要少本，可列方程，解方程即可求出乙种图书每本的价格； (2)设图书馆购买本甲种图书，则购买乙种图书本，根据购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，可列不等式，解不等式即可求出甲种图书最多购买的数量． 【详解】（1）解：设乙种图书每本元，则甲种图书每本元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：乙种图书每本价格为元； （2）解：设图书馆购买本甲种图书，则购买乙种图书本， 乙种图书每本价格为元， 甲种图书每本价格为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：该图书馆最多可以购买本甲种图书． 【变式2】某工厂计划采购两种型号的设备加工原材料，每台型设备比每台型设备每月的加工量少4吨．若每月内加工36吨原材料所需型设备的数量与加工52吨原材料所需型设备的数量相同． (1)求每台型和型设备的月加工量； (2)该工厂共采购12台这两种型号的设备，计划用一个月时间加工一批原材料．若一半的原材料用型设备加工，则一个月后剩余2吨；另一半的原材料用型设备进行加工，则型设备提前完成．若要求采购型设备不少于5台，请根据计算说明该公司有哪几种采购方案． 【答案】(1)每台型设备的月加工量为9吨，每台型设备的月加工量为13吨 (2)该公司有2种采购方案，方案1：采购5台型设备，7台型设备；方案2：采购6台型设备，6台型设备 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每台型设备的月加工量为吨，则每台型设备的月加工量为吨，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设采购台型设备，则采购台型设备，一半的原材料量是吨，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设每台型设备的月加工量为吨，则每台型设备的月加工量为吨，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：每台型设备的月加工量为9吨，每台型设备的月加工量为13吨； （2）解：设采购台型设备，则采购台型设备，一半的原材料量是吨，根据题意得： ， 解得：， 又且为正整数， 可以为5，6， 该公司有2种采购方案， 方案1：采购5台型设备，7台型设备； 方案2：采购6台型设备，6台型设备． 【变式3】综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 【答案】(1)需要清水 (2)能达到洗衣目标 (3)二 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案． （1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量； （2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比； （3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案． 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗：把，代入得， ； 第二次漂洗：把，代入得， ； ， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标． （3）解：由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优． 1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 2．解分式方程第一步，两边同乘的公分母可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程去分母时找公分母的方法，只需确定两个分母的公分母即可得到答案． 【详解】解：∵ 分式方程的两个分母分别为和，两个整式没有公因式， ∴ 两边同乘的公分母为两个分母的乘积，即． 3．为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总棵数和每天种植棵数分别求出原计划完成天数与实际完成天数，再利用“实际比原计划提前10天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】∵原计划每天种植x棵树，总种植棵数为1200棵， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天种植的棵数是原计划的2倍， ∴实际每天种植棵，实际完成任务的天数为， ∵实际比原计划提前10天完成任务，即原计划天数比实际天数多10， ∴列方程得， 因此正确选项为B． 4．已知是分式方程的解，则实数m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．已知是分式方程的解，将代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：∵是分式方程的解. ∴把代入原方程，得. 化简得. 解得. 5．若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴， 解得， 当时， ，该方程无解； 当时， ， ； ∴的取值为或2， 故选：C． 6．若代数式的值是，则___________． 【答案】 【分析】根据题意列出分式方程求解的值，再检验即可．注意分式有意义的条件，分母不能为． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 检验当时，， 因此是原分式方程的解． 7．关于x的分式方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，按照求解步骤并验证解是解决本题的关键 ． 先将分式方程去分母变成整式方程，按照整式方程的求法求出未知的值，再验证即可 ． 【详解】解：分式方程为， 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， 检验：当时，， 所以原方程的解为 ． 故答案为： ． 8．八年级（）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的倍，慢车的速度为______． 【答案】 【分析】设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意列方程求解即可；本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意，得， 解得：； 经检验：是原方程的解； ∴慢车的速度为， 故答案为：． 9．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握好分式方程的解法是关键． （1）将分式方程转化为一元一次方程，并按照一元一次方程的解法进行计算即可； （2）将分式方程转化为一元一次方程，并按照一元一次方程的解法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得：． 经检验，为原分式方程的解． （2）解：， 方程两边同乘，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 10．八街凉卷粉是安宁的特色美食，其口感独特．大米是制作卷粉的原材料之一，安宁某小吃店老板发现今年第三季度平均每千克大米的价格比第二季度上涨了，第三季度花元买到的大米数量比第二季度花同样的钱买到的大米数量少了千克，求第三季度大米的单价． 【答案】元千克 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设第二季度大米的单价为元千克，则第三季度大米的单价为元千克，根据“数量总价单价”并结合“第三季度花元买到的大米数量比第二季度花同样的钱买到的大米数量少了千克”，即可得出关于的分式方程，解方程并经检验后即可得出答案． 【详解】解：设第二季度大米的单价为元千克，则第三季度大米的单价为元千克， 根据题意可得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 第三季度大米的单价为元千克． 11．某校为了满足学生的阅读需求，计划购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知用1200元购买科普类图书的本数与用900元购买文学类图书的本数相等，求科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？ 【答案】科普类图书平均每本20元，文学类图书平均每本15元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为元，根据用1200元购买科普类图书的本数与用900元购买文学类图书的本数相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：科普类图书平均每本20元，文学类图书平均每本15元． 12．河南是华夏文明的重要发祥地，文化底蕴深厚．近年来河南省旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售．某景区用800元购进的款文创产品和用650元购进的款文创产品数量相同，款产品每件的进价比款多15元． (1)求，两款文创产品每件进价． (2)已知款文创产品每件的售价为100元，款每件售价为80元，根据市场需求，景区计划使用不超过7400元的总费用再次购进两款产品共100件进行销售．景区这次应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)款文创产品每件进价为80元，款文创产品每件进价为65元 (2)购进款文创产品60件，则款文创产品为40件时利润最大为1800元 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用 ，一元一次不等式的应用； （1）设款文创产品每件进价为元，款文创产品每件进价为元．根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购进款文创产品件，则款文创产品为件，根据题意列出一元一次不等式求解，再设获得的利润为元，列出利润的式子根据一次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设款文创产品每件进价为元，款文创产品每件进价为元． 由题意可得：． 解得： 经检验：为原分式方程的根． 款文创产品每件进价为元， 款文创产品每件进价为80元，款文创产品每件进价为65元． （2）解：设购进款文创产品件，则款文创产品为件． 由题意可得： 设获得的利润为元 随的增大而增大 当时，最大元． 购进款文创产品60件，则款文创产品为40件时利润最大为1800元． 13．为庆祝中华人民共和国成立七十六周年，某校组织了大型的庆祝活动，需保证每位师生都拥有一面小五星红旗．已知该校学生人数比教师人数的8倍还多人，购买教师用小五星红旗和学生用小五星红旗分别花了元和元． (1)求该校教师人数和学生人数； (2)在庆祝活动期间，学校为每位教师和学生提供一瓶饮用水，且购买饮用水的费用不超过元，则每瓶饮用水的价格不超过多少元？ 【答案】(1)教师人数为人，学生人数为人； (2)每瓶饮用水的价格不超过元； 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设该校教师人数为，则学生人数为；由题意得：，即可求解； （2）设每瓶饮用水的价格为元，由题意得：，即可求解． 【详解】（1）解：设该校教师人数为，则学生人数为； 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 即：教师人数为人，学生人数为人； （2）解：设每瓶饮用水的价格为元，由题意得： ，解得； ∴每瓶饮用水的价格不超过元． 14．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 【答案】(1)8 (2)至少需要6个这样的机器人 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴的值为8； （2）解：1小时， 设需要个这样的机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小值为6， 答：至少需要6个这样的机器人． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 分式方程 考点1：分式方程的概念 考点2：分式方程的解法 考点3：分式方程的应用 重点：（1）掌握分式方程的解法步骤； （2）解分式方程必须检验； （3）列简单分式方程解决实际问题。 难点★：（1）理解分式方程产生增根的原因； （2）准确进行去分母运算，不漏乘常数项； （3）实际应用题找准等量关系，正确设数列方程。 1.理解分式方程的定义，能区分整式方程与分式方程； 2.掌握解分式方程的基本步骤，熟练会去分母化为整式方程； 3.牢记解分式方程必须检验，能正确识别增根并会列、解简单的分式方程实际应用题。 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程。 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数。 （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）。 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程。 （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。 【题型1 分式方程定义】 【典例1】下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点2：解分式方程 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 【题型2 解分式方程】 【典例2】解方程： (1)； (2)． 【变式1】解方程： (1) (2) 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【变式3】解下列方程： (1)； (2)． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 【典例3】若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式1】若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3】若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 知识点3：分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义；+ 1）检验所求的解是不是所列分式方程的解。 2）检验所求的解是否符合实际意义。 答：实际问题的答案。 与分式方程有关应用题的常见类型： 【题型4 分式方程应用－工程问题】 【典例4】渝昆高铁是我国“八纵八横”高铁网京昆通道的重要组成部分，全长约700公里，设计时速350公里．其中位于云南省昭通市境内的彝良隧道是该线的重难点控制性工程，全长24.8公里，是中国目前贯通里程最长、时速最快的高铁隧道，为了确保全线按期贯通，在剩余22公里时，施工队将掘进速度提高，结果每天比原计划多掘进20米．最终在提速后所用的时间比原计划少了10天．求施工队原计划每天掘进多少米？ 【变式1】在创建全国文明城市活动中，某市城投公司对文化广场的地砖进行改造升级，在铺设的地砖后，采用新的铺设模式，每天的工作效率比原来提高，共用天完成了全部改造任务． (1)求原来每天铺设地砖多少； (2)若该公司原来每天支付民工工资为元，提高工作效率后每天支付的工资增加了，求完成全部任务后共支付民工工资多少元． 【变式2】在梅溪湖生态环境提升项目中，计划由甲、乙两个工程队合作完成部分工程．调查发现：甲工程队每天比乙工程队少整治40米，且甲工程队单独完成3000米整治任务的时间，与乙工程队单独完成4000米整治任务的时间相等． (1)甲、乙工程队每天分别整治多少米？ (2)由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，现由甲、乙两个工程队共用时80天，接力完成不少于11600米河堤整治任务，则乙工程队至少施工多少天？ 【变式3】某村种植合作社共需要采摘茶叶24吨，村民采摘4吨后，政府组织一批志愿者服务队加入一起采摘，已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天． (1)求村民每天采摘茶叶多少吨； (2)已知合作社每天需要支出村民劳务费2000元，志愿者服务队不需要支出劳务费，只需要每天支出饮食费500元，那么志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？ 【题型5 分式方程应用－行程问题】 【典例5】2026年，中国在海陆空多维交通与国防领域的“提速”成果密集落地，全国两会期间披露，CR450动车组正在进行提速攻坚实验，计划年内定型，该次列车采用永磁牵引、碳纤维轻量化等技术进行提速，北京至上海有望比原来减少1小时，已知京沪高铁全长1320千米，原来动车组的提速为330千米每小时，求提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快多少千米？ 【变式1】请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你． 小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了． (1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ； (2)求小明今天的速度． 【变式2】湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力． 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场．小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟．于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小张跑步的平均速度； (2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由． 【变式3】昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 【题型6 分式方程应用－销售问题】 【典例6】某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． (1)求一件，型商品的进价分别为多少元？ (2)若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【变式1】为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知乙种猕猴桃每箱售价比甲种猕猴桃每箱售价多20元，400元所买甲种猕猴桃箱数与500元所买乙种猕猴桃箱数相等． (1)求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共12箱，且甲种猕猴桃的箱数不超过乙种猕猴桃的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【变式2】为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同． (1)求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ (2)该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 【变式3】钧瓷是河南省禹州市的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，是中国“五大名瓷”之一．某校为了推行中原文化进校园，准备购买甲、乙两种钧瓷茶杯用于宣讲．已知每个甲种茶杯比每个乙种茶杯多10元，花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同． (1)求甲、乙两种茶杯的单价． (2)若学校决定购买甲、乙两种茶杯共60个，总费用不超过1600元，那么该校最多可以购买甲种茶杯多少个？ 【题型7 分式方程应用－其他问题】 【典例7】为深化劳动实践育人成效，某校组织学生走进劳动实践基地采摘茶叶，并将学生分成A、B两组．已知A组每小时比B组多采摘10千克，A组采摘300千克茶叶所用时间与B组采摘240千克茶叶所用时间相等．求B组每小时采摘茶叶多少千克？ 【变式1】某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的倍，用元单独购买甲种图书比用元单独购买乙种图书要少本．求： (1)乙种图书每本价格为多少元？ (2)如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的倍多本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲种图书？ 【变式2】某工厂计划采购两种型号的设备加工原材料，每台型设备比每台型设备每月的加工量少4吨．若每月内加工36吨原材料所需型设备的数量与加工52吨原材料所需型设备的数量相同． (1)求每台型和型设备的月加工量； (2)该工厂共采购12台这两种型号的设备，计划用一个月时间加工一批原材料．若一半的原材料用型设备加工，则一个月后剩余2吨；另一半的原材料用型设备进行加工，则型设备提前完成．若要求采购型设备不少于5台，请根据计算说明该公司有哪几种采购方案． 【变式3】综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．解分式方程第一步，两边同乘的公分母可以是（   ） A． B． C． D． 3．为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知是分式方程的解，则实数m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 5．若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 6．若代数式的值是，则___________． 7．关于x的分式方程的解为______． 8．八年级（）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的倍，慢车的速度为______． 9．解分式方程： (1)； (2)． 10．八街凉卷粉是安宁的特色美食，其口感独特．大米是制作卷粉的原材料之一，安宁某小吃店老板发现今年第三季度平均每千克大米的价格比第二季度上涨了，第三季度花元买到的大米数量比第二季度花同样的钱买到的大米数量少了千克，求第三季度大米的单价． 11．某校为了满足学生的阅读需求，计划购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知用1200元购买科普类图书的本数与用900元购买文学类图书的本数相等，求科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？ 12．河南是华夏文明的重要发祥地，文化底蕴深厚．近年来河南省旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售．某景区用800元购进的款文创产品和用650元购进的款文创产品数量相同，款产品每件的进价比款多15元． (1)求，两款文创产品每件进价． (2)已知款文创产品每件的售价为100元，款每件售价为80元，根据市场需求，景区计划使用不超过7400元的总费用再次购进两款产品共100件进行销售．景区这次应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 13．为庆祝中华人民共和国成立七十六周年，某校组织了大型的庆祝活动，需保证每位师生都拥有一面小五星红旗．已知该校学生人数比教师人数的8倍还多人，购买教师用小五星红旗和学生用小五星红旗分别花了元和元． (1)求该校教师人数和学生人数； (2)在庆祝活动期间，学校为每位教师和学生提供一瓶饮用水，且购买饮用水的费用不超过元，则每瓶饮用水的价格不超过多少元？ 14．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 学科网（北京）股份有限公司 $