第02讲 分式运算（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦初中数学分式运算核心知识点，系统梳理分式乘除、乘方、同分母加减、最简公分母与通分、异分母加减五大考点，构建从基础运算法则到混合运算规范步骤再到化简求值的递进学习支架。 资料以题型分层设计（典例+变式）为特色，融入工程问题等实际应用，通过规范混合运算步骤培养运算能力与推理意识，借助实际情境问题发展模型意识，课中辅助教师高效授课，课后练习题助力学生查漏补缺、强化知识应用。

第02讲 分式运算 考点1：分式的乘除 考点2：分式的乘方 考点3：同分母分式加减 考点4：最简公分母与通分 考点5：异分母分式加减 重点：（1）分式乘除、加减的基本运算法则； （2）分式混合运算的规范步骤； （3）分式化简求值。 难点★：（1）分式加减中通分的准确计算； （2）混合运算中因式分解、约分、符号处理的综合运用； （3）化简求值时忽略原式分母有意义的取值限制。 1.掌握分式的乘除、乘方、加减运算法则； 2.熟练会找最简公分母进行通分，能正确进行分式混合运算； 3.会规范化简分式并求值。 知识点1：分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点2：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹（，n是正整数） 【题型1 分式的乘法运算】 【典例1】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键。 （1）先根据分式的乘法法则计算，再约分即可； （2）先将分子和分母因式分解，然后按照分式的乘法法则计算，再约分即可。 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】计算： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键。 （1）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答。 （2）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答。 【详解】（1）解： ; （2）解： ． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算。 根据分式乘法运算法则进行计算即可。 【详解】解：原式 ． 【变式3】计算下列各式： (1); (2); (3); (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键： （1）先进行因式分解，再约分化简即可； （2）先进行因式分解，再约分化简即可； （3）先进行因式分解，再约分化简即可； （4）先进行因式分解，再约分化简即可。 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【题型2 分式的除法运算】 【典例2】化简下列分式。 (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除法法则进行计算即可； （2）根据分式乘除法法则把除法变换为乘法，进行因式分解后，再约分计算即可。 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】化简：． 【答案】1 【详解】解：原式． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键。 （1）先将除法化为乘法，然后约分即可。 （2）先把分式的分子和分母分解因式，除法化成乘法，然后约分即可。 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法运算，因式分解在分式约分中的应用，掌握分式除法转化为乘法，再因式分解约分的步骤是解题的关键。 （1）将除法转化为乘法，对分子提取负号变形后约分； （2）将除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解后约分。 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型3 分式的乘除法混合运算】 【典例3】计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握运算法则是解决问题的关键。 （1）将除法转化为乘法后约分即可； （2）先将除法转化为乘法，再将分母因式分解后约分即可。 【详解】（1）解： ; （2）解： ． 【变式1】计算： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算。 （1）先乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）分子分母先因式分解，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可求解。 【详解】（1）解： ; （2）解： ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法运算和分式的除法运算，熟记分式的运算法则是解题的关键。 （1）根据分式的乘除法则，先将除法转化为乘法，再约分化简即可； （2）先将分子分母因式分解，再约分化简即可。 【详解】（1）解： ; (2) ． 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【点睛】本题考查分式乘除法混合运算，掌握运算法则是解题的关键。 知识点3：同分母分式相加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表示： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误。 （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。 【题型4 同分母分式的加减】 【典例4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式1】计算： (1); (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】分母不变，将分子相减，再约分即可。 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)-1 (2)-1 (3) 【分析】本题考查了分式的加减法，熟记“同分母分式的加减法法则”是解答本题的关键。 （1）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可； （2）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可； （3）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可。 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式3】计算： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减运算，因式分解，通过因式分解找到分子和分母的公因式是解题关键。 （1）同分母分式直接合并分子，对分子因式分解后约去公因式，化简得出最简结果； （2）先将异分母分式化为同分母，合并分子后进行因式分解，再约去公因式完成化简。 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 知识点4：最简公分母与通分 1.最简公分母 定义：几个分式通分时，取所有分母的最简公共分母，叫作最简公分母。简单说：最小、最简单，能被所有分母整除的整式 找最简公分母两大类型方法： （1）分母是单项式 系数部分：取所有系数的最小公倍数 字母部分：取所有出现的字母，每个字母取最高次数 （2）分母是多项式（重点必考） 第一步：先因式分解，把分母全部化成乘积形式第二步：找所有不同因式，相同因式取最高次第三步：相乘在一起，就是最简公分母 2.通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫作分式的通分 【题型5 最简公分母】 【典例5】分式，，的最简公分母是____________。 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母，据此求解即可。 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 【变式1】分式，，的最简公分母是________。 【答案】 【分析】先将分母进行因式分解，然后根据三定法确定最简公分母即可。 【详解】解：， 故分式，，的最简公分母是. 【变式2】分式，，的最简公分母为______。 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解。 确定各分母的系数的最小公倍数和字母因式的最高次幂，然后相乘得到最简公分母。 【详解】解：分母系数，，的最小公倍数为； 字母因式和的最高次幂分别为和， 故最简公分母为， 故答案为：． 【变式3】分式与的最简公分母是______。 【答案】 【分析】本题主要考查了分式最简公分母的判断，结合因式分解分析是解题的关键。 把两个分式的分母进行因式分解，再把所有不同的因式乘到一起，即为最简公分母。 【详解】，， 最简公分母为． 知识点5：异分母分式相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示： . 注意： （1）异分母的分式相加减，先通分是关键。通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法。 （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式。 【题型6 异分母分式的加减】 【典例6】计算： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可； （2）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可。 【详解】（1）解：原式 ; （2）解：原式 ． 【变式1】计算： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通分，再把分子合并同类项，最后约分即可得到答案； （2）先把原式变形为，再通分，接着把分子合并同类项即可得到答案。 【详解】（1）解： ; （2）解： ． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，掌握先对分母因式分解确定最简公分母，再通分，分子相加减后化简约分是解题的关键。 （1）先对分母因式分解，确定最简公分母，将异分母分式化为同分母，再分子相加减，最后整理结果； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，通分后分子相加减，再化简约分。 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】计算： (1); (2); (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的加减运算，注意符号变化。 （1）先通分，再加减，最后约分； （2）先通分，再加减，最后约分； （3）先因式分解，再通分，然后加减，最后通过因式分解约分。 【详解】（1）解： ； (2) ; (3) ． 【题型7 分式的加减法的实际应用】 【典例7】一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】设工作总量为1，根据甲乙合作完成时间得到合作工作效率，结合甲单独完成时间得到甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再根据时间工作总量工作效率，计算乙单独完成需要的时间。 【详解】解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）。 【变式1】绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法，正确进行分式的减法运算是关键。首先表示出原来与现在每天的用水量，然后求差即可。 【详解】解：原来每天用水量：吨， 改用喷灌方式后的每天用水量：吨， 则现在比原来每天节约用水：吨。 故选：A． 【变式2】绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查列代数式，首先求得原来每天的用水量为吨，现在每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可。 【详解】解：（吨）。 故选：D． 【变式3】某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算的应用，根据“现在购买的数量原来购买的数量”和“购买数量总价单价”列出代数式。 【详解】解：依题意， 故选：A． 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】 【典例8】计算： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和因式分解是解题关键。 （1）先算括号内的分式加法，再分解因式，最后进行分式乘法运算并约分； （2）先算括号内的分式加法，再分解因式，将除法转化为乘法，最后约分。 【详解】（1）解： ; （2）解： ． 【变式1】化简：． 【答案】 【分析】先对括号内的分式进行通分化简，再将除式因式分解，最后将除法转化为乘法并约去公因式，进而得到最简结果。 【详解】解：原式 ． 【变式2】化简： 【答案】 【详解】解： 【变式3】化简： (1); (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据分式的乘法法则计算，可得：原式，再根据分式的加法法则进行计算； （2）先根据分式的加法法则把括号里面计算出来，可得：原式，再根据分式的乘法法则进行计算。 【详解】（1）解： ; （2）解： ． 【题型9 分式化简求值】 【典例9】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题为分式化简求值题，解题思路是先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简结果，最后代入的值计算。 【详解】解：原式 当时，原式 【变式1】先化简，再求值：，并从，，，中选择一个合适的数代入求值。 【答案】，取，原式 【分析】首先把分式化简，可得：原式，根据分式有意义的条件，可得：和，所以只能取，把代入化简后的分式求值即可。 【详解】解： , 有意义， ，即，， 解得：且， , 当时， 原式． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可。 【详解】解： , 当时，原式． 【变式3】，求代数式的值。 【答案】6 【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，最后代入即可求解。 【详解】解： =, =, =, =, ∵, ∴, 则原式=． 1．化简的结果是（   ） A． B．m C． D． 【答案】C 【分析】利用分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果。 【详解】解：． 2.分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母。 【详解】解：两个分式分母的系数分别为和，和的最小公倍数是， 最简公分母的系数取； 对于字母部分，的最高次幂是，的最高次幂是，第二个分式含有单独字母，需要将纳入公分母， 将系数与各字母最高次幂相乘，可得最简公分母为． 3．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法运算，先对原式分母因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果。 【详解】解： , ∴化简结果为， 故答案为：A． 4．若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过已知分式等式变形得到与的关系，再将所求分式的分子、分母转化为含和的形式，最后代入计算即可求解。 【详解】解：∵， ∴, ∴, 将代入中， 分子， 分母， ∴原式． 故选：A． 5．计算：__________。 【答案】 【分析】根据同分母分式加法法则计算，再约分即可得到结果。 【详解】解： ． 6．化简：___________。 【答案】 【详解】解：原式． 7.某工厂存有原材料吨，原计划每天用吨，为了响应政府“节能减排”的号召，该工厂经过技术革新，现在每天用的原材料比原计划节省一半，则可以多用__________天。 【答案】 【分析】先分别求出原计划和革新后的使用天数，再通过分式减法求出两者的差值，即为多用的天数。 【详解】解：据题可知，原计划使用原材料的天数为天， 技术革新后每天使用的原材料为吨， 现在使用原材料的天数为天， 多用的天数为天。 8.化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ; （2）解： . 9.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式， 当时，原式． 11．已知，求代数式的值。 【答案】 【分析】先求出的值，再把所求式子的分子和分母都分解因式后约分得到，据此代入求值即可。 【详解】解：∵， ∴, ∴ ． 12.先化简，再求值：，其中a从、0、1中选择一个合适的数代入求值。 【答案】， 【分析】先将括号里的分式通分，计算分式的加法后，再将除法转化为乘法，约分化简，最后选一个使所给分式有意义的数代入计算。 【详解】解：原式 , , 据题意可知，a只能取0． ∴当时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 分式运算 考点1：分式的乘除 考点2：分式的乘方 考点3：同分母分式加减 考点4：最简公分母与通分 考点5：异分母分式加减 重点：（1）分式乘除、加减的基本运算法则； （2）分式混合运算的规范步骤； （3）分式化简求值。 难点★：（1）分式加减中通分的准确计算； （2）混合运算中因式分解、约分、符号处理的综合运用； （3）化简求值时忽略原式分母有意义的取值限制。 1.掌握分式的乘除、乘方、加减运算法则； 2.熟练会找最简公分母进行通分，能正确进行分式混合运算； 3.会规范化简分式并求值。 知识点1：分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点2：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹（，n是正整数） 【题型1 分式的乘法运算】 【典例1】计算： (1)． (2)． 【变式1】计算： (1); (2)． 【变式2】计算： 【变式3】计算下列各式： (1); (2); (3); (4)． 【题型2 分式的除法运算】 【典例2】化简下列分式。 (1); (2)． 【变式1】化简：． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【变式3】计算： (1)． (2)． 【题型3 分式的乘除法混合运算】 【典例3】计算下列各式： (1) (2) 【变式1】计算： (1); (2)． 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． 知识点3：同分母分式相加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表示： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误。 （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。 【题型4 同分母分式的加减】 【典例4】计算： (1) (2) 【变式1】计算： (1); (2)． 【变式2】计算： (1)． (2)． (3)． 【变式3】计算： (1); (2)． 知识点4：最简公分母与通分 1.最简公分母 定义：几个分式通分时，取所有分母的最简公共分母，叫作最简公分母。简单说：最小、最简单，能被所有分母整除的整式 找最简公分母两大类型方法： （1）分母是单项式 系数部分：取所有系数的最小公倍数 字母部分：取所有出现的字母，每个字母取最高次数 （2）分母是多项式（重点必考） 第一步：先因式分解，把分母全部化成乘积形式第二步：找所有不同因式，相同因式取最高次第三步：相乘在一起，就是最简公分母 2.通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫作分式的通分 【题型5 最简公分母】 【典例5】分式，，的最简公分母是____________。 【变式1】分式，，的最简公分母是________。 【变式2】分式，，的最简公分母为______。 【变式3】分式与的最简公分母是______。 知识点5：异分母分式相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示： . 注意： （1）异分母的分式相加减，先通分是关键。通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法。 （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式。 【题型6 异分母分式的加减】 【典例6】计算： (1); (2)． 【变式1】计算： (1); (2)． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【变式3】计算： (1); (2); (3)． 【题型7 分式的加减法的实际应用】 【典例7】一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【变式1】绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒 A． B． C． D． 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】 【典例8】计算： (1); (2)． 【变式1】化简：． 【变式2】化简： 【变式3】化简： (1); (2)． 【题型9 分式化简求值】 【典例9】先化简，再求值：，其中． 【变式1】先化简，再求值：，并从，，，中选择一个合适的数代入求值。 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【变式3】，求代数式的值。 1．化简的结果是（   ） A． B．m C． D． 2.分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 3．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A．10 B．7 C． D． 5．计算：__________。 6．化简：___________。 7.某工厂存有原材料吨，原计划每天用吨，为了响应政府“节能减排”的号召，该工厂经过技术革新，现在每天用的原材料比原计划节省一半，则可以多用__________天。 8.化简： (1) (2) 9.计算： (1) (2) 10．先化简，再求值：，其中． 11．已知，求代数式的值。 12.先化简，再求值：，其中a从、0、1中选择一个合适的数代入求值。 学科网（北京）股份有限公司 $