第02讲 图形的旋转（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦初中数学“图形的旋转”核心知识点，系统梳理旋转的定义（三要素：中心、方向、角度）、性质（对应点距离相等、旋转角相等、图形全等）及作图，延伸至中心对称和中心对称图形的概念、性质与作图，构建从基础概念到性质应用再到特殊情形的学习支架。 该资料特色在于结合生活实例（如风力发电机叶片旋转）培养几何直观，通过典例与变式分层训练发展空间观念和推理意识。课中助力教师实施分层教学，课后通过综合题（如旋转综合证明）帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升解决复杂几何问题的能力。

第02讲 图形的旋转 考点1：旋转的定义 考点2：旋转的性质和作图 考点3：中心对称和中心对称图形 重点：（1）图形旋转的概念、性质及旋转作图； （2）中心对称与中心对称图形的概念、性质，中心对称作图及概念辨析。 难点★：（1）旋转性质的理解与复杂图形的旋转作图； （2）准确区分中心对称与中心对称图形的概念，灵活运用性质解决几何问题。 1.理解图形旋转的概念，掌握旋转三要素（旋转中心、方向、角度）及旋转性质，能作简单图形旋转后的图形。 2.理解中心对称（两个图形的关系）和中心对称图形（一个图形的性质）的概念，掌握其性质，能作中心对称图形，区分二者的联系与区别。 3.掌握关于原点对称的点的坐标特征，能识别生活中的中心对称图形。 知识点1 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【题型1 生活中的旋转现象】 【典例1】下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【变式1】数学来源于生活．下列生活中的现象属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．球场上奔跑的运动员 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带上运输的东西 【变式2】新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A．B．C．D． 【变式3】将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】 【典例2】如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【变式1】如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式3】如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 知识点2 旋转的性质与作图 1.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 2.旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【题型3 利用旋转的性质求角度】 【典例3】如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用旋转的性质求线段长度】 【典例4】如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将三角形绕点C逆时针旋转一定的角度得到三角形，此时点A在边上．若，，则的长为（   ）    A．4 B．3 C．2.5 D．2 【变式2】如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A．4 B． C． D．8 【变式3】如图，等腰直角中，，点E为内一点，且，将绕C点顺时针旋转90°，使与重合，得到，连结交于点M，已知，，则的长是（  ）    A． B． C．8 D．10 【题型5 旋转中的规律性问题】 【典例5】小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A．B．C． D． 【变式1】如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【变式2】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型6 旋转综合题】 【典例6】如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【变式1】如图，在中，，以为边作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，．求： (1)的度数； (2)的长． 【变式2】如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式3】如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且，， (1)在图中画出将绕点B逆时针旋转后得到的． (2)求的度数． 知识点3 中心对称和中心对称图形 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【题型7 中心对称图形的识别】 【典例7】下列平面几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【变式1】下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形是用数学家名字命名的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【典例8】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式2】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 【典例9】点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】点关于原点中心对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A． B． C． D． 【题型10 作图-旋转、中心对称图形】 【典例10】如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为个单位长度． (1)画出关于原点对称的图形，并写出，的坐标； (2)求出的面积． 【变式2】在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将绕点O顺时针旋转90°得到，作出； (2)的中心对称图形为，其中点的坐标为，作出． 【变式3】如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．点关于原点成中心对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 4．如图，已知点，，A与关于x轴对称，连接，现将线段以B点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则_． 7．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______． 8．围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图，这是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，且点的坐标分别为，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的坐标为________． 9．如图，是一个风车示意图，若点的坐标为，则点的坐标为________； 10．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______； (2)在图中画出关于点O成中心对称的图形． 11．如图，可以看作是由绕点C逆时针旋转得到的，且B，C，D三点共线，连接，． (1)试判断的形状，并证明； (2)求的度数． 12．如图，与关于点成中心对称． (1)连接，证明四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 图形的旋转 考点1：旋转的定义 考点2：旋转的性质和作图 考点3：中心对称和中心对称图形 重点：（1）图形旋转的概念、性质及旋转作图； （2）中心对称与中心对称图形的概念、性质，中心对称作图及概念辨析。 难点★：（1）旋转性质的理解与复杂图形的旋转作图； （2）准确区分中心对称与中心对称图形的概念，灵活运用性质解决几何问题。 1.理解图形旋转的概念，掌握旋转三要素（旋转中心、方向、角度）及旋转性质，能作简单图形旋转后的图形。 2.理解中心对称（两个图形的关系）和中心对称图形（一个图形的性质）的概念，掌握其性质，能作中心对称图形，区分二者的联系与区别。 3.掌握关于原点对称的点的坐标特征，能识别生活中的中心对称图形。 知识点1 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【题型1 生活中的旋转现象】 【典例1】下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【答案】A 【分析】本题考查生活中的旋转现象，熟记旋转定义是解决问题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，根据选项中的常见现象，结合旋转定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：旋转的本质是物体绕一个固定点转动， A. 秋千绕悬挂点摆动，做圆弧运动，属于旋转，符合题意； B. 火车沿轨道直线行驶，属于平移，不符合题意； C. 标枪被掷出后主要做平移运动，属于平移，不符合题意； D. 电梯垂直上下运动，属于平移，不符合题意； 故选：A． 【变式1】数学来源于生活．下列生活中的现象属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．球场上奔跑的运动员 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带上运输的东西 【答案】C 【分析】旋转是指物体围绕一个点或一个轴做圆周运动。我们需要根据这个定义来判断每个选项是否属于旋转现象． 【详解】解：A、国旗上升的过程，是沿着直线进行的平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意； B、球场上奔跑的运动员，是在平面上的平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，围绕中心轴做圆周运动，符合旋转的定义，符合题意； D、传输带上运输的东西，是沿着传输带做直线平移运动，不符合旋转的定义，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了知识点旋转的定义，解题关键是明确旋转是物体围绕一个点或轴做圆周运动，平移是物体沿直线移动，以此来区分两种运动现象． 【变式2】新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 【变式3】将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是：    故选：D． 【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】 【典例2】如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查了图形旋转方式（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度． 观察与的对应点，确定旋转中心、旋转方向和旋转角度即可得出答案． 【详解】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点顺时针旋转到，绕点顺时针旋转到， 故旋转方式是绕点顺时针旋转． 故选：B． 【变式1】如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质可得，再结合旋转的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，且、、在同一直线上， ∴， 由旋转的性质可得旋转角度是， 故选：C． 【变式2】如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键． 连接，，，分别作，，的垂直平分线交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，、，分别作，，的垂直平分线交点为点B，即点B是旋转中心， 故选：B． 【变式3】如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 【详解】解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 知识点2 旋转的性质与作图 1.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 2.旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【题型3 利用旋转的性质求角度】 【典例3】如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质得，，，由等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由旋转知，，，， ， ， ． 【变式1】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数. 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 【变式2】如图，将绕点顺时针旋转得到，若、、三点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理即可得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设,利用方程思想可以直接算出的度数． 【详解】解：设； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； 即，； 由旋转的性质可知，； ∴； 故选：C． 【题型4 利用旋转的性质求线段长度】 【典例4】如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形角所对直角边等于斜边一半及旋转的性质：旋转前后图形大小形状不变只是位置发生改变； 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，将三角形绕点C逆时针旋转一定的角度得到三角形，此时点A在边上．若，，则的长为（   ）    A．4 B．3 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转，线段的和差，根据图形旋转的性质可得，即可求解．熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式2】如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得． 【详解】解：绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义． 【变式3】如图，等腰直角中，，点E为内一点，且，将绕C点顺时针旋转90°，使与重合，得到，连结交于点M，已知，，则的长是（  ）    A． B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】由旋转知线段之间、角之间的相等关系，进一步根据勾股定理求解． 【详解】如图，由旋转知，，， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，由旋转得到线段之间，角之间的相等关系是解题的关键． 【题型5 旋转中的规律性问题】 【典例5】小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的知识是解题的关键，根据题意找到图形旋转后变换的规律即可求解． 【详解】解：由题意得图形每按一次旋转键，图形就会逆时针旋转， 那么连续按4次旋转键后，图形会旋转， 即旋转一周后图形会回到原来的位置， 由此可知，该图形的旋转是以4次为一个循环周期， ， 则第15次逆时针旋转变为： 故选：D． 【变式1】如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第次旋转后和开始时一样， 故选：D． 【变式2】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，叫做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子朝上一面的点数． 【详解】解：根据题意可知， 骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， 骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2， 骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1， 骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， ， 以此类推可知连续3次变换是一循环． ． 得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：C． 【变式3】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 【题型6 旋转综合题】 【典例6】如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，以为边作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，．求： (1)的度数； (2)的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． （1）根据旋转的性质先证明是等边三角形，由相似三角形的性质可得； （2）由旋转可得，、、在一条直线上，即可得到． 【详解】（1）解：由题知：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴、、在一条直线上， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：∵、、在一条直线上， ∴， ∵绕着点按顺时针方向旋转后得到， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据条件证出，即可得证． （2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可． 【详解】（1） 解：证明：∵绕点B按逆时针方向旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴． （2） 解：由旋转可得：， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键． 【变式3】如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且，， (1)在图中画出将绕点B逆时针旋转后得到的． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1） （1）如图，即为所求； （2） ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得为等边三角形、为直角三角形是解题的关键． 知识点3 中心对称和中心对称图形 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【题型7 中心对称图形的识别】 【典例7】下列平面几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】利用轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】 解：下列的平面几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是． 【变式1】下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的识别方法逐一判断即可． 【详解】 解：是轴对称图形，不是中心对称图形； 既是轴对称图形又是中心对称图形； 不是轴对称图形，是中心对称图形； 不是轴对称图形，不是中心对称图形； 【变式2】下列图形是用数学家名字命名的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后能与自身重合的图形， 根据定义对各选项图形进行分析即可． 【详解】 解：A、赵爽弦图是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、科克曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、笛卡尔心形线是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、斐波那契螺旋线既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 【变式3】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形沿某条直线折叠后两部分重合、中心对称图形绕某点旋转后与自身重合的性质；观察四个选项，选项A是轴对称但不是中心对称，选项B既不是轴对称也不是中心对称，选项C既是轴对称又是中心对称，选项D是中心对称但不是轴对称． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 【题型8 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【典例8】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 【变式1】如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式2】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质，中心对称的性质： 1．对称中心是连接对称点的线段的中点； 2．两个中心对称图形全等； 3．对应线段平行（或共线）且相等； 4．对称点的连线必过对称中心且被对称中心平分．掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ∴，，故C选项成立，不符合题意， ，，故B， D选项成立，不符合题意， 不一定成立，故A选项结论不一定成立．符合题意 故选：A． 【变式3】如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理等．根据与关于点O成中心对称，推出，，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 【典例9】点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，两个点关于原点对称时，横纵坐标都互为相反数，利用该特征即可求出对称点坐标，选出正确选项． 【详解】解：∵点的坐标为，所求点是点关于原点的对称点， 又∵关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， 即对称点坐标为． 【变式1】点关于原点中心对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：平面直角坐标系中，任意一点关于原点中心对称的点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴点关于原点中心对称的点的坐标为． 【变式2】已知，则点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，以及绝对值、算术平方根的非负性．先求出，的值，再结合关于原点对称这个条件，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴点， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 故选：A． 【变式3】若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个点关于原点中心对称时，横纵坐标分别互为相反数，利用该性质计算即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 【题型10 作图-旋转、中心对称图形】 【典例10】如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了原点对称作图，旋转作图，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． （1）根据对称的性质作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； 【详解】（1）由对称的性质A，B，C的对应点，，， 再描点连线，如图，即为所求； （2）绕原点顺时针旋转， 旋转后，A，B，C的对应点，，， 再描点连线，如图，即为所求． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为个单位长度． (1)画出关于原点对称的图形，并写出，的坐标； (2)求出的面积． 【答案】(1)画图见解析；点，； (2)． 【分析】（）先作出、、关于关于原点对称的坐标特征写出、、的坐标，然后顺次连接即可，最后写出的坐标； （）利用割补法求面积即可； 本题考查了画原点对称对称图形，关于原点对称的点的坐标，掌握原点对称对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）作出、、关于关于原点对称的坐标特征写出、、，连接，，， ， 如图，即为所求，点，； （2）． 【变式2】在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将绕点O顺时针旋转90°得到，作出； (2)的中心对称图形为，其中点的坐标为，作出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题考查作图旋转变换，中心对称等知识； （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求．    【变式3】如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，即可得出答案． 【详解】（1）解∶如图，线段、即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P．则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合， 点P的坐标为， 故答案为∶． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 2．点关于原点成中心对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于原点中心对称的坐标变化规律，规律为对称点的横纵坐标均为原坐标的相反数． 【详解】解：点关于原点成中心对称点的坐标为． 3.如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 4．如图，已知点，，A与关于x轴对称，连接，现将线段以B点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，由题意可得，从而得出，，由旋转的性质可得，过点作轴于点，证明，得出，，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，A与关于x轴对称， ∴， ∵， ∴，， ∵将线段以B点为中心逆时针旋转得， ∴， 如图，过点作轴于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题，根据勾股定理，先求得前几个的坐标，观察图形，即可得出的横坐标为，纵坐标为，即可求解． 【详解】解：点 ∴ 的横坐标为6，且， 的横坐标为， …… ∴的横坐标为，纵坐标为 点的横坐标为，点的纵坐标为2，即的坐标是， 故选：C． 6．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则_． 【答案】36 【分析】根据关于原点对称的两点坐标关系，横、纵坐标均互为相反数，求出与的值，再计算乘方得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 7．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______． 【答案】/50度 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， ∴． 8．围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图，这是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，且点的坐标分别为，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：根据点的坐标分别为，建立平面直角坐标系，如图所示： ∴当放入白子的位置在点处时，是中心对称图形． 故答案为： 9．如图，是一个风车示意图，若点的坐标为，则点的坐标为________； 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：依题意，点的坐标为，则点的坐标为 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______； (2)在图中画出关于点O成中心对称的图形． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为． ； （2）解：如图所示． 11．如图，可以看作是由绕点C逆时针旋转得到的，且B，C，D三点共线，连接，． (1)试判断的形状，并证明； (2)求的度数． 【答案】(1)等边三角形，见解析； (2)． 【分析】本题考查旋转的基本性质，等边三角形的证明，熟练掌握基础知识点是解题关键； （1）由旋转性质得，，，进而可得的形状； （2）由旋转性质得，，再利用角度关系计算即可． 【详解】（1）解：等边三角形，证明如下： ∵是由绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形； （2）解：∵是由绕点C逆时针旋转得到， ∴， 又∵B，C，D三点共线， ∴． 12．如图，与关于点成中心对称． (1)连接，证明四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是关键． （1）根据中心对称的特点得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （2）由勾股定理，平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $