第01讲 分式及其基本性质（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本初中数学讲义聚焦分式及其基本性质核心知识点，从分式的定义、有意义及值为零的条件入手，逐步过渡到分式的基本性质（含符号法则），最终落脚于最简分式与约分，构建从概念理解到性质应用的递进式学习支架。 资料通过“典例+变式”分层题型设计，重点突破分式值为零需分子为零且分母不为零等难点，在辨析与应用中培养学生的抽象能力和推理意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，提升数学应用意识。

第01讲 分式及其基本性质 考点1：分式的相关概念 考点2：分式的基本性质 考点3：最简分式﹑分式约分 重点：（1）理解分式的概念； （2）掌握分式有意义、值为零的条件； （3）分式的基本性质及简单应用。 难点★：（1）分式值为0时分子为0且分母不为0的双重条件； （2） 运用分式基本性质时不漏看隐含限制条件。 1. 了解分式概念，能区分整式与分式； 2.掌握分式有意义、值为0的条件； 3.理解并会用分式的基本性质做简单变形。 知识点1：分式的相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式。其中A叫作分子，B叫作分母。 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【题型1 分式的定义】 【典例1】下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意是常数不是字母。 【详解】解：∵ ① 的分母是字母，符合分式定义； ②的分母是常数，不符合分式定义； ③的分母含字母，符合分式定义； ④中是常数，分母不含字母，不符合分式定义； ∴ 是分式的是①③. 【变式1】下列式子属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若，是整式，，且分母中含有字母，则式子是分式；据此逐一判断即可。需注意是常数不是字母。 【详解】解：A．的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，故该选项不符合题意， B．的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，故该选项不符合题意， C．是常数，属于整式，不是分式，故该选项不符合题意， D．是分式，故该选项符合题意。 【变式2】下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、属于整式，不是分式，不符合题意； B.属于整式，不是分式，不符合题意； C.的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式，符合题意； D.属于整式，不是分式，不符合题意。 【变式3】下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义判断选项即可，需注意是常数，不是字母。 【详解】解：A、是整式，不符合分式定义； B.是常数，不含有变量，该式是整式，不符合； C.分母是含有字母的整式，符合分式定义； D.分母是常数，该式是整式，不符合。 【题型2 分式有意义的条件】 【典例2】函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件为分母不能为，列不等式求解即可得到结果。 【详解】解：∵有意义， ∴, 解得：． 【变式1】在函数中，自变量x的取值范围是________。 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。 【详解】解：由题意得： 解得： 【变式2】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________。 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解得到的取值范围。 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 【变式3】函数 中自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式解答即可求解。 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 【题型3 分式值为零的条件】 【典例3】若分式的值为0，则__________。 【答案】 【分析】根据分式值为的条件建立方程，利用平方根解方程可得的值，再结合分式的分母不能等于0即可得。 【详解】解：∵分式的值为0， ∴, 解得或， 又∵，即， ∴． 【变式1】若分式的值为0，则________。 【答案】2 【分析】根据分式值为0的条件即可求解。 【详解】解：∵分式的值为0， ∴, ∴, ∴． 【变式2】根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义的条件及分式的值为0的条件即可判断。 【详解】解：A、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，无意义，故选项不符合题意； B.当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值为0，故选项符合题意； C.当时，分母，有意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； D.当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； 【变式3】当______时，分式值为零。 【答案】 【详解】解：依题意， 由 解得或， 由解得， 综上所述，的值为． 知识点2：分式的基本性质 1.分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫作分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）。 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式。其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件。 （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。例如：，在变形后，字母的取值范围变大了。 2.对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数。 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数。分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用。 【题型4 判断分式变形是否正确】 【典例4】下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：分子分母同时加1，不符合分式基本性质。举反例：当时，左边，右边，，变形错误； B选项：原式有意义时，，可得， ，变形正确； C选项：当时，右边无意义，变形错误； D选项：仅分母乘，分子未乘，不符合分式基本性质，变形错误。 【变式1】根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可。 【详解】解：A、当，时，，，则，故选项不符合题意； B.由分式有意义可得，则，故选项符合题意； C.分式的分子与分母同时减去，分式的值不一定不变，等式不一定成立，故选项不符合题意； D.，故选项不符合题意； 【变式2】分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果。 【详解】解：∵==． 【变式3】下列分式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答。 【详解】解：A．，故变形错误，不符合题意； B．，故变形错误，不符合题意； C．，故变形正确，符合题意； D．，故变形错误，不符合题意。 【题型5 分式的性质】 【典例5】如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大3倍后的x,y代入原式，化简后与原分式比较即可得到结果。 【详解】解：∵把和都扩大3倍后，得到新分式为， ∴新分式与原分式相等，分式的值不变。 【变式1】将分式中的都扩大到3倍，则分式的值（   ） A．扩大到3倍 B．不变 C．扩大到9倍 D．扩大到6倍 【答案】B 【分析】将扩大3倍后的、代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化。根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，可快速判断本题中分子分母同时扩大3倍，分式值不变。 【详解】解：将、都扩大到原来的3倍后，变为，变为， 代入原分式得： 化简后结果与原分式相等，因此分式的值不变。 【变式2】如果把分式中的和都扩大倍，那么原分式的值（    ） A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．缩小6倍 【答案】A 【分析】按照题意将、扩大3倍后代入新分式，化简后与原分式对比即可得到结果。 【详解】解：把分式中的和都扩大倍，得， ． ∴原分式的值不变。 【变式3】如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质。将和都变为原来的一半代入分式，计算新分式的值并与原分式比较。 【详解】解：， 即分式的值变为原来的2倍 故选：B． 知识点3：最简分式﹑分式约分 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫作分式的约分。如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫作最简分式 【题型6 最简分式】 【典例6】下列分式中，属于最简分式的是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式的定义，即分子分母没有公因式的分式是最简分式，对各选项的分式分解因式后判断能否约分即可得到答案。 【详解】解：∵分子分母没有公因式的分式是最简分式， ∴对各选项逐一分析： 选项A：，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项B：分解因式得：，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项C：分解因式得：，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项D：，分子和分母都不能再分解因式，且没有公因式，无法约分，是最简分式。 ∴选项D为最简分式。 【变式1】下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简分式的定义，分子分母没有公因式的分式即为最简分式，据此逐个判断各选项即可。 【详解】解：分子分母没有公因式的分式是最简分式， 选项A：，分子分母有公因式，可约分，A不是最简分式，故该选项不符合题意； 选项B：的分母是常数，该式是整式，不是分式，故该选项不符合题意； 选项C： ，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，故该选项不符合题意； 选项D：的分子与分母没有公因式，是最简分式，故该选项符合题意。 【变式2】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据最简分式的定义，即分子分母不含公因式的分式，对各选项化简判断即可得到结果。 【详解】解：最简分式的定义为：分子与分母没有公因式的分式是最简分式， 对A选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式； 对B选项：分子为，分母为，分子分母没有公因式，是最简分式； 对C选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式； 对D选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式。 【变式3】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式，对每个选项进行分析，判断是否存在公因式即可得到答案。 【详解】解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； B.对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； C.对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式； D.对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式。 综上，答案选C． 【题型7 约分】 【典例7】化简：______。 【答案】 【分析】先分别将分子分母因式分解，再约去公因式即可得到结果。 【详解】解：． 【变式1】化简：=______。 【答案】 【分析】约去分子与分母的公因式即可。 【详解】解：． 【变式2】下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证。 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B.，分母为，可得，，选项约分错误； C.，分母为，可得，，选项约分正确； D.，选项约分错误。 【变式3】约分： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解。 （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分。 【详解】（1）解：． （2）解：． 【题型8 分式求值】 【典例8】若，则__________。 【答案】/ 【分析】将已知条件整体代入所求分式，约分后即可得到计算结果。 【详解】解：∵， ∴． 【变式1】若，则________。 【答案】 【分析】根据已知等式用含y的代数式表示，再代入所求分式，约分后即可得到计算结果。 【详解】解：∵， ∴，且， 将代入得： ． 【变式2】已知，求分式的值。 【答案】 【分析】根据题意得到，代入式子即可得到答案。 【详解】解：， , 原式． 【变式3】若，，则的值为____________。 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，正确计算是解题的关键。 将分子因式分解为完全平方式，分母提取公因式，然后约分简化表达式，最后将，代入求值即可。 【详解】解：原式 当 ，时， 原式， 故答案为：． 1.下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据分式的定义进行判断，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式，据此解答即可。 【详解】选项A中的分母是常数，不含字母，故不是分式； 选项B中的分母是含有字母的整式，符合分式定义，故是分式； 选项C中的分母是常数，不含字母，故不是分式； 选项D中是常数，因此是常数，分母不含字母，故不是分式。 故选：B． 2.若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式值为0时，分子为0且分母不为0，即可计算得到x的值。 【详解】解：∵分式的值为0， ∴需要同时满足分子等于0，分母不等于0， 可得，解得， ∴的值为2． 3.下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，原选项约分错误； B．，原选项约分错误； C. ，原选项约分正确； D．，原选项约分错误。 4.下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质和因式分解逐一判断各选项变形是否正确即可。 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变， 对各选项逐一判断： A选项，变形为不符合分式基本性质，例如时，左边为，右边为，左右不相等，A错误。 B选项，原式有意义则，且， ，B错误， C选项，原式有意义则， ，变形正确，C正确， D选项，当时，，此时右侧分母为，无意义，变形未保证所乘整式不为，不符合分式基本性质，D错误。 5.若、均不为0，将下列分式中的、的值都变为原来的2倍，则分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将、都变为原来的倍，即新取值为、，分别代入验证： 选项A代入得：，与原式相等，分式值不变； 选项B代入得：，值改变； 选项C代入得：，值改变； 选项D代入得：，值改变。 6．若分式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的求值，约分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解。 通过已知条件用含的式子表示，再代入所求分式化简计算，也可利用分式基本性质将所求分式转化为含的形式求解。 【详解】解：∵， ∴, 将代入得， 原式 , 故选：D． 7.代数式的值为0，则______。 【答案】0 【分析】本题根据分式值为零的条件求解，分式值为零需满足分子为零且分母不为零。 【详解】解：分式的值为， ∴, 解， 得， 由得， 综上可得． 8．若，则的值为__________。 【答案】 【分析】根据已知比例关系得到与的关系式，代入所求分式化简求值即可。 【详解】解：∵， ∴, ∴． 9.观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____。 【答案】 【分析】由分子1、2、3、4、5、即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、即可得出第n个数的分母为，据此即可解答。 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、 ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、 ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． ∴第12个数是． 10.某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）。若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）。 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，分式的表示，设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此，可得逆流时船的实际速度为千米/时，再由路程不变即可列代数式。 【详解】解：设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此， ∵逆流时船的实际速度为千米/时， ∴由路程不变得从乙地返回甲地时间为， 故答案为：． 11．化简___________。 【答案】 【分析】先对分子运用平方差公式因式分解，再约去分子分母的公因式，即可得到结果。 【详解】解： ． 12.若分式的值为正，则的取值范围是_____。 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可。 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 13.如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____。 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可。 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 分式及其基本性质 考点1：分式的相关概念 考点2：分式的基本性质 考点3：最简分式﹑分式约分 重点：（1）理解分式的概念； （2）掌握分式有意义、值为零的条件； （3）分式的基本性质及简单应用。 难点★：（1）分式值为0时分子为0且分母不为0的双重条件； （2） 运用分式基本性质时不漏看隐含限制条件。 1. 了解分式概念，能区分整式与分式； 2.掌握分式有意义、值为0的条件； 3.理解并会用分式的基本性质做简单变形。 知识点1：分式的相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式。其中A叫作分子，B叫作分母。 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【题型1 分式的定义】 【典例1】下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 【变式1】下列式子属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 分式有意义的条件】 【典例2】函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在函数中，自变量x的取值范围是________。 【变式2】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________。 【变式3】函数 中自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【题型3 分式值为零的条件】 【典例3】若分式的值为0，则__________。 【变式1】若分式的值为0，则________。 【变式2】根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【变式3】当______时，分式值为零。 知识点2：分式的基本性质 1.分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫作分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）。 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式。其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件。 （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。例如：，在变形后，字母的取值范围变大了。 2.对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数。 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数。分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用。 【题型4 判断分式变形是否正确】 【典例4】下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列分式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 分式的性质】 【典例5】如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【变式1】将分式中的都扩大到3倍，则分式的值（   ） A．扩大到3倍 B．不变 C．扩大到9倍 D．扩大到6倍 【变式2】如果把分式中的和都扩大倍，那么原分式的值（    ） A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．缩小6倍 【变式3】如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 知识点3：最简分式﹑分式约分 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫作分式的约分。如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫作最简分式 【题型6 最简分式】 【典例6】下列分式中，属于最简分式的是（   ）。 A． B． C． D． 【变式1】下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【题型7 约分】 【典例7】化简：______。 【变式1】化简：=______。 【变式2】下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】约分： (1); (2)． 【题型8 分式求值】 【典例8】若，则__________。 【变式1】若，则________。 【变式2】已知，求分式的值。 【变式3】若，，则的值为____________。 1.下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 2.若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 4.下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5.若、均不为0，将下列分式中的、的值都变为原来的2倍，则分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 6．若分式，则（    ） A． B． C． D． 7.代数式的值为0，则______。 8．若，则的值为__________。 9.观察下列一组数：，，，，……根据该组数的排列规律，可推断出第12个数是_____。 10.某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）。若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）。 11．化简___________。 12.若分式的值为正，则的取值范围是_____。 13.如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____。 学科网（北京）股份有限公司 $