专题02一元二次方程基础解法与根判别式复习讲义(知识梳理+14大题型+突破题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题02一元二次方程基础解法与根判别式复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一元二次方程的概念，牢记方程标准形式，准确区分二次项、一次项与常数项。 2.全面掌握一元二次方程多种求解方法，明确不同解法的适用范围。 3.掌握一元二次方程根的判别式，熟记判别式与实数根数量的对应关系。 1.具备灵活选取解题方法的能力，高效完成方程求解运算。 2.能够借助根的判别式，判断方程根的情况，解决参数取值类问题。 3.提升代数计算、逻辑分析能力，学会整合章节知识，做到灵活运用。 1.吃透本章核心考点，夯实基础题型，保证基础题目零失误。 2.规避运算失误、符号写错、概念混淆等高频易错问题。 3.规范书写解题步骤，掌握答题技巧，适配各类考试出题形式，稳步提升得分。 题型01.一元二次方程的定义 题型02.一元二次方程一般式化简 题型03.由一元二次方程定义求参数 题型04.一元二次方程解的判定 题型05.由一元二次方程的解求参数 题型06.一元二次方程解的估算 题型07.直接开平法 题型08.配方法 题型09.配方法的应用 题型10.公式法 题型11.因式分解法 题型12.判别式判定根的情况 题型13.由根的情况求参数 题型14.新定义运算 解答题6题 知识点01.一元二次方程和它的解【核心三定：定定义、定形式、定根】 1. 定义：抓 3 个关键不跑偏 只含1 个未知数+ 未知数最高次数2+整式方程，三者缺一不可，且二次项系数≠0（隐藏核心，判断必查）。 2. 一般形式：ax2+bx+c=0（a0）【系数三要素】 a（二次项系数）≠0 是前提，b（一次项系数）、c（常数项）可含 0，化一般式步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（右边必为 0）。 3. 方程的根：验根唯一准则 代入未知数的值，使方程左右两边相等即根；一元二次方程根的个数：2 个不等实根 / 2 个相等实根 / 无实根（提前铺垫，为 2.2 判别式做衔接） 【特色考点速记】 判断是否为一元二次方程：先看是否整式，再定未知数个数，最后查最高次数 + 二次项系数≠0； 化一般式 + 指系数：注意符号（移项变号），缺项系数为 0 知识点02.一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法 1. 直接开平方法【平方型专属，一步到位】 ✅ 适用：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0)（无一次项，可凑平方） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±​ 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 2. 因式分解法【乘积为 0 专属，最快解法】 ✅ 适用：方程右边为 0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式 / 平方差 / 十字相乘） 步骤： 1.移项：把方程右边化为 0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 3. 配方法【万能基础法，为公式法铺路】 ✅ 适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为 1、一次项系数为偶数） 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=−c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+()2=−c+()2 3.化为平方形式：(x+)2= 4.用直接开平方法求解 4. 公式法【万能终极法，无技巧硬解】 ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 知识点03:一元二次方程的解法｜四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 重点补充 1.因式分解法：常结合提公因式.平方差.完全平方公式使用，考试高频简便算法； 2.配方法：是推导求根公式的基础，也是后续二次函数学习的铺垫； 3.解题原则：优先用因式分解法、直接开平方法，复杂题目统一用公式法。 知识点04:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 1.判别式概念 通过固定式子的取值范围，快速判断一元二次方程实数根的数量，无需完整解方程。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 高频易错点 1.利用判别式求参数取值时，必须额外保证二次项系数不为 0； 2.题目说明有两个实数根，包含 “两个相等、两个不相等” 两种情况； 3.无实数根不代表没有解，只是不存在有理数、实数范围内的解。 题型01.一元二次方程的定义 【典例】下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程、二次项系数不为0），逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：，只含未知数，最高次数为2，是整式方程，二次项系数，符合定义； 选项B：整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合； 选项C：含和两个未知数，不符合； 选项D：，未说明，当时不是二次方程，不符合． 故选：A． 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 _____． 【答案】 【分析】将代入原方程得到关于k的方程，求解k后，根据一元二次方程的定义，得到二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到k的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不能为0， ∴， ∴． 【跟踪专练2】下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 题型02.一元二次方程一般式化简 【典例】把一元二次方程：，化成一般式是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式为：，经过移项、整理后将一元二次方程化成一般式即可． 【详解】解：， 移项，得， 整理后，得， 即把一元二次方程化成一般式是：， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足四个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故A错误； 对于选项B：方程中未说明，当时，方程不是二次方程，故B错误； 对于选项C：整理，得，符合一元二次方程的定义，故C正确； 对于选项D：整理，得，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故D错误． 【跟踪专练2】将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 题型03.由一元二次方程定义求参数 【典例】若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 即． 【跟踪专练1】已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为，且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 由得或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， ． 故选：B． 【跟踪专练2】已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 但，即． 故． 故答案为：． 题型04.一元二次方程解的判定 【典例】结论开放题写出一个以2和3为根的一元二次方程：_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题根据一元二次方程解的定义即可得到方程。 【详解】解：根据一元二次方程的解的定义， 则二次项系数为1的方程为， 即; 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是熟记定义解题。 【跟踪专练1】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 【跟踪专练2】已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，先将代入已知方程得到和的关系式，进而即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 题型05.由一元二次方程的解求参数 【典例】若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 【答案】D 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴． 【跟踪专练1】已知m是方程的一个实数根，则的值是______． 【答案】2027 【分析】本题考查方程的解的定义，将代入已知方程，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】∵ 是方程的一个实数根， ∴ 将代入方程得：， 移项整理得： ， ∴ . 【跟踪专练2】已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个方程进行展开，再根据两个方程的解相同进行比较求解即可． 【详解】解：由题意得， ； ， ∵关于的方程和的解相同， ∴，， ∴． 题型06.一元二次方程解的估算 【典例】根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ______________． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 【跟踪专练1】根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 【跟踪专练2】根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 题型07.直接开平法. 【典例】一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵任何实数的平方都是非负数，即，而， ∴该一元二次方程无实数根． 故选C． 【跟踪专练1】定义新运算“”，对于实数a和非零实数b，规定，若，则__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新运算定义、解一元二次方程等知识点，掌握运用直接开平方解一元二次方程是解题的关键． 先根据新运算的定义将转化为，再解一元二次方程即可． 【详解】解：由新运算定义，， ∴． ∵， ∴． ∴或，即或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定 【答案】B 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程、求代数式的值，可化为，两边直接开平方得出x的值，进而可得，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵一元二次方程的两个根是与， ∴， 解得． 故选：B． 题型08.配方法 【典例】一元二次方程用配方法解可变形为______． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式即可得到结果． 【详解】解：由题意得， ． 【跟踪专练2】用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ． 题型09.配方法的应用 【典例】用配方法解方程时，配方后得到的方程为________________. 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练1】把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A．，28 B．5， C．5， D．，25 【答案】A 【分析】利用完全平方公式进行配方求解． 【详解】解： ， ∴． 【跟踪专练2】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 【答案】2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 题型10.公式法 【典例】定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算及一元二次方程的解法，根据新定义可得，解方程即可． 【详解】解：， 解得， 故答案为． 【跟踪专练1】一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】解：， ， 判别式 ， ∴代入求根公式得 ∴，即选项D符合题意． 【跟踪专练2】定义，则方程的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法-公式法以及新定义运算，正确运用新定义化简方程是解题的关键． 利用题中的新定义化简所求方程，然后再运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， ∵， ∴，整理得：， 这里， ∵， ∴，即． 故答案为：． 题型11.因式分解法 【典例】方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解． 【详解】解：∵ ∴或 解得． 【跟踪专练1】一元二次方程的解是_____． 【答案】 ， 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 【详解】解：， ， ， 或 ； 解得 ，. 【跟踪专练2】已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，将原方程变为，再转化为关于的一元二次方程，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或， 故选：A． 题型12.判别式判定根的情况 【典例】一元二次方程的根的判别式的值是______． 【答案】8 【分析】根据一元二次方程根的判别式，代入方程系数计算即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程中的，，． 则这个方程根的判别式的值是． 【跟踪专练1】一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．没有实数解 B．有两个相等的实数解 C．有两个不相等的实数解 D．不确定 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程， ，，， ， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【跟踪专练2】已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得出，，结合题意得出，解一元一次不等式即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴此方程总有两个实数根， ∴， ∴，， ∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于， ∴， ∴， 故答案为：． 题型13.由根的情况求参数 【典例】已知关于的一元二次方程的两个根，满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得判别式为零． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根，满足， ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，联立两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于一元二次方程有两个不相等的实数根， 则判别式， 解得， 由二次项系数不为0得：，即， 因此，的取值范围是且． 【跟踪专练2】对于关于的一元二次方程，有同学提出下列说法 ①若，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根． 其中正确的（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程解的意义，根的判别式以及求根公式逐项判断即可． 【详解】解：对于①：若，则方程有一个根为， ∴，故①正确； 对于②：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 当时，不一定等于，故②错误； 对于③：∵是一元二次方程的根， ∴。 ∵， 方程两边同乘，得 ，配方得， 即。故③正确 对于④：∵有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 对于方程， ， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，正确的结论为①③④． 题型14.新定义运算 【典例】定义符号的含义为：当时，；当时，，如：，，则方程的解是______． 【答案】或 【分析】根据的定义，分和两种情况分类讨论，分别列一元二次方程求解，舍去不符合取值范围的解即可． 【详解】解：当，即时，根据定义可得， 则方程为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去； 当，即时，根据定义可得， 则方程为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去； 故方程的解是或． 【跟踪专练1】定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 【答案】 或 【分析】（1）通过平方比较法判断与的大小，从而确定二者中的最大值； （2）根据的正负分类讨论的取值，分别建立方程求解并结合前提条件筛选出符合要求的解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）由题意得，，即， 当时，，即， 解得，， ∵，， ∴x的值为； 当时，， 即，解得，， ∵，， ∴． 综上，的值是或． 【跟踪专练2】定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【答案】2026 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 【跟踪专练3】对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于的一元二次方程，再由关于的方程恰好有三个实数根，得到关于的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定t的取值范围． 【详解】解：由新定义的运算可得关于的方程为： 当时，即时，有， 即：，其根为：是负数， 当时，即，时，有， 即：， 要使关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则和都必须有解， ∴， ∴， （1）当时，即时，方程只有一个根， ∵当时，， ∴，， ∴此时方程只有一个根符合题意， ∴不符合题意； （2）当时，方程的两个根都符合题题意， ∵当时，， ∴，， ∴方程只有一个根符合题意， ∴当时，恰好有三个不相等的实数根； （3）∵当时，方程的一个根，另外一个根， ∴此时方程只有一个根符合题意， ∵，， ∴当时，方程最多有一个根符合题意， ∴当时不可能有三个不相等的实根； 综上分析可知，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意，进行分类讨论，是解题的关键． 【跟踪专练4】定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题在新定义的基础上，考查了解二元一次方程组，一元二次方程的解，求代数式的值等知识，解决问题的关键是利用降次的方法化简代数式．先由定义求得，的值，进而知道是的根，可知，那么有，那么，那么，进而得出结果． 【详解】解：由题意得，， ， 是关于的方程的根， 是方程的根， ， ， ， ； 故选：A． 【解答题】 1．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∴. 3．解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简，然后运用直接开平方法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可； （3）直接运用公式法求解即可； （4）先移项，然后再运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ∴， ∴． （4）解：， ， ， ， ， ． 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 ． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：， 该方程总有两个实数根； （2）解：∵， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 5．已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3) 【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解； （1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到，，再取各自范围内的最大整数即可； （2）代入，计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴； （2）解：将代入方程，得方程为， 其判别式 ， ∴方程没有实数根； （3）解：把代入得， ∵为完全平方式， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 计算该方程的判别式得， ∴ ． 6．配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（都是整数）的形式，则称这个数为“和美数”例如，是一个“和美数”，理由是：因为，所以是“和美数”． (1)在三个数中，是“和美数”的有_______； (2)已知（是整数，k是常数），要使为“和美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； (3)已知实数满足，求的最大值． 【答案】(1) 和 (2) ，理由见解析 (3) 最大值为 【分析】（）根据定义，尝试将目标数拆分为两个整数的平方和，能拆分则为和美数，反之则不是； （）根据为和美数，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （）由已知等式表示出，再代入，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：，符合定义，是和美数； 尝试整数平方和， (非平方数)； (非平方数)；(非平方数)，故不是和美数； ，符合定义，是和美数； 故答案为：和； （2）解：当时，为“和美数”，理由如下： ， ∵ ∴； （3）解：∵， ∴， 即， ∴ ． 当时，最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、二次函数求最值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程基础解法与根判别式复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一元二次方程的概念，牢记方程标准形式，准确区分二次项、一次项与常数项。 2.全面掌握一元二次方程多种求解方法，明确不同解法的适用范围。 3.掌握一元二次方程根的判别式，熟记判别式与实数根数量的对应关系。 1.具备灵活选取解题方法的能力，高效完成方程求解运算。 2.能够借助根的判别式，判断方程根的情况，解决参数取值类问题。 3.提升代数计算、逻辑分析能力，学会整合章节知识，做到灵活运用。 1.吃透本章核心考点，夯实基础题型，保证基础题目零失误。 2.规避运算失误、符号写错、概念混淆等高频易错问题。 3.规范书写解题步骤，掌握答题技巧，适配各类考试出题形式，稳步提升得分。 题型01.一元二次方程的定义 题型02.一元二次方程一般式化简 题型03.由一元二次方程定义求参数 题型04.一元二次方程解的判定 题型05.由一元二次方程的解求参数 题型06.一元二次方程解的估算 题型07.直接开平法 题型08.配方法 题型09.配方法的应用 题型10.公式法 题型11.因式分解法 题型12.判别式判定根的情况 题型13.由根的情况求参数 题型14.新定义运算 解答题6题 知识点01.一元二次方程和它的解【核心三定：定定义、定形式、定根】 1. 定义：抓 3 个关键不跑偏 只含1 个未知数+ 未知数最高次数2+整式方程，三者缺一不可，且二次项系数≠0（隐藏核心，判断必查）。 2. 一般形式：ax2+bx+c=0（a0）【系数三要素】 a（二次项系数）≠0 是前提，b（一次项系数）、c（常数项）可含 0，化一般式步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（右边必为 0）。 3. 方程的根：验根唯一准则 代入未知数的值，使方程左右两边相等即根；一元二次方程根的个数：2 个不等实根 / 2 个相等实根 / 无实根（提前铺垫，为 2.2 判别式做衔接） 【特色考点速记】 判断是否为一元二次方程：先看是否整式，再定未知数个数，最后查最高次数 + 二次项系数≠0； 化一般式 + 指系数：注意符号（移项变号），缺项系数为 0 知识点02.一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法 1. 直接开平方法【平方型专属，一步到位】 ✅ 适用：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0)（无一次项，可凑平方） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±​ 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 2. 因式分解法【乘积为 0 专属，最快解法】 ✅ 适用：方程右边为 0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式 / 平方差 / 十字相乘） 步骤： 1.移项：把方程右边化为 0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 3. 配方法【万能基础法，为公式法铺路】 ✅ 适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为 1、一次项系数为偶数） 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=−c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+()2=−c+()2 3.化为平方形式：(x+)2= 4.用直接开平方法求解 4. 公式法【万能终极法，无技巧硬解】 ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 知识点03:一元二次方程的解法｜四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 重点补充 1.因式分解法：常结合提公因式.平方差.完全平方公式使用，考试高频简便算法； 2.配方法：是推导求根公式的基础，也是后续二次函数学习的铺垫； 3.解题原则：优先用因式分解法、直接开平方法，复杂题目统一用公式法。 知识点04:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 1.判别式概念 通过固定式子的取值范围，快速判断一元二次方程实数根的数量，无需完整解方程。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 高频易错点 1.利用判别式求参数取值时，必须额外保证二次项系数不为 0； 2.题目说明有两个实数根，包含 “两个相等、两个不相等” 两种情况； 3.无实数根不代表没有解，只是不存在有理数、实数范围内的解。 题型01.一元二次方程的定义 【典例】下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 _____． 【跟踪专练2】下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型02.一元二次方程一般式化简 【典例】把一元二次方程：，化成一般式是________． 【跟踪专练1】下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 题型03.由一元二次方程定义求参数 【典例】若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 【跟踪专练1】已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 【跟踪专练2】已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 题型04.一元二次方程解的判定 【典例】结论开放题写出一个以2和3为根的一元二次方程：_____________． 【跟踪专练1】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 题型05.由一元二次方程的解求参数 【典例】若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 【跟踪专练1】已知m是方程的一个实数根，则的值是______． 【跟踪专练2】已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 题型06.一元二次方程解的估算 【典例】根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ______________． x 1 【跟踪专练1】根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 题型07.直接开平法. 【典例】一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 【跟踪专练1】定义新运算“”，对于实数a和非零实数b，规定，若，则__________． 【跟踪专练2】若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定 题型08.配方法 【典例】一元二次方程用配方法解可变形为______． 【跟踪专练1】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型09.配方法的应用 【典例】用配方法解方程时，配方后得到的方程为________________. 【跟踪专练1】把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A．，28 B．5， C．5， D．，25 【跟踪专练2】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 题型10.公式法 【典例】定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____． 【跟踪专练1】一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 【跟踪专练2】定义，则方程的解为______． 题型11.因式分解法 【典例】方程的解是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一元二次方程的解是_____． 【跟踪专练2】已知实数，满足，且为整数，设，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型12.判别式判定根的情况 【典例】一元二次方程的根的判别式的值是______． 【跟踪专练1】一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．没有实数解 B．有两个相等的实数解 C．有两个不相等的实数解 D．不确定 【跟踪专练2】已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为___________． 题型13.由根的情况求参数 【典例】已知关于的一元二次方程的两个根，满足，则的值为_____． 【跟踪专练1】一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【跟踪专练2】对于关于的一元二次方程，有同学提出下列说法 ①若，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根． 其中正确的（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 题型14.新定义运算 【典例】定义符号的含义为：当时，；当时，，如：，，则方程的解是______． 【跟踪专练1】定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 【跟踪专练2】定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【跟踪专练3】对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【跟踪专练4】定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 2．解方程： (1)； (2)． 3．解方程 (1) (2) (3) (4) 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 5．已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 6．配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（都是整数）的形式，则称这个数为“和美数”例如，是一个“和美数”，理由是：因为，所以是“和美数”． (1)在三个数中，是“和美数”的有_______； (2)已知（是整数，k是常数），要使为“和美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； (3)已知实数满足，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $