17.3 一元二次方程根的判别式 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学八年级下册

本讲义聚焦一元二次方程根的判别式这一核心知识点，系统阐述判别式△=b²-4ac与根的三种关系，衔接一元二次方程的概念和解法，为后续根与系数关系等内容搭建学习支架。 资料通过基础判断、参数计算、综合应用（如等腰三角形边长问题）等梯度题型设计，培养学生抽象能力（符号运算）、推理意识（逻辑分析）和应用意识（实际问题解决）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生强化练习，有效查漏补缺。

第17章 17.3 一元二次方程根的判别式 题型1 根的判别式 ▉题型1 根的判别式 【知识点的认识】 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 1．关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣8x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k＜4且k≠0 C．k≤4且k≠0 D．k＞4且k≠0 【答案】C 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣8x+4＝0有实数根， ∴Δ≥0且k≠0，即Δ＝（﹣8）2﹣4k×4≥0且k≠0， 解得k≤4且k≠0， 故选：C． 3．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 【答案】C 【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴（﹣2）2﹣4×1×a＝0， 解得，a＝1； 故选：C． 4．方程x2+2x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【解答】解：∵方程x2+2x+1＝0， ∴a＝1，b＝2，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×1＝0， ∴方程x2+2x+1＝0有两个相等实数根， 故选：A． 5．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0无实数根，则实数k的取值范围为（　　） A．k＜﹣1 B．k≥﹣1，且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 【答案】A 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0无实数根， 所以Δ＝22+4k＜0且k≠0， 解得k＜﹣1． 故选：A． 6．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0， ∴方程x2﹣3x﹣2＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【解答】解：x2﹣2x﹣2＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0， ∴一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0有两个不相等的实数根， 故选：C． 8．关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＞4 D．m≥4 【答案】B 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有实数根， ∴Δ≥0，即Δ＝16﹣4m≥0， 解得m≤4． 故选：B． 9．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥4 B．k＞4 C．k＜4且k≠0 D．k＜4 【答案】D 【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0， 解得k＜4． 故选：D． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＜1 D．m＜﹣1 【答案】C 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m＞0， 解得：m＜1． 故选：C． 11．一元二次方程x2+2x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（　　） A．c＜1 B．c≤1 C．c＝1 D．c≠1 【答案】B 【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+c＝0有实数根， ∴22﹣4c≥0， 解得，c≤1， 故选：B． 12．关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．且m≠0 D．且m≠0 【答案】B 【解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ 解得． 故选：B． 13．关于x的一元二次方程3x2﹣2x+1＝0根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．不确定 【答案】C 【解答】解：Δ＝（﹣2）2﹣4×3×1 ＝4﹣12 ＝﹣8＜0， 故原方程无实数根， 故选：C． 14．已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的负实根 D．有两个不相等的正实根 【答案】C 【解答】解：在此方程中Δ＝b2﹣4ac＝（a+b）2﹣4c（a+b）2﹣c2， ∵a，b，c是△ABC三条边的长， ∴a＞0，b＞0，c＞0．c＜a+b，即（a+b）2＞c2， ∴Δ＝（a+b）2﹣c2＞0， 故方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是0，两根的积是0， ∴方程cx2+（a+b）x0的根的情况是有两个不相等的负根． 故选：C． 15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0 【答案】C 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0， 解得k且k≠0． 故选：C． 16．关于x的方程x2﹣4x﹣1＝0根的情况说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 17．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为（　　） A．k≤4，且k≠1 B．k＜4，且k≠1 C．k＜4 D．k≤4 【答案】A 【解答】解：∵原方程为一元二次方程，且有实数根， ∴k﹣1≠0，且Δ＝62﹣4×（k﹣1）×3＝48﹣12k≥0，解得k≤4， ∴实数k的取值范围为k≤4，且k≠1． 故选：A． 18．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6＝0有两个相等的实数根，则m等于（　　） A．﹣6 B．1 C．﹣6或1 D．2 【答案】C 【解答】解：∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6＝0有两个相等的实数根， ∴m﹣2≠0且Δ＝0，即16m2﹣4×（m﹣2）×（2m﹣6）＝0，m2+5m﹣6＝0， 解得m1＝﹣6，m2＝1． ∴m的值为﹣6或1． 故选：C． 19．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是 m＜1　 ． 【答案】m＜1． 【解答】解：由题意得Δ＞0，即（﹣2）2﹣4m＞0， 解得m＜1， 故答案为：m＜1． 20．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜1　 ． 【答案】m＜1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0， 解得：m＜1． 故答案为：m＜1． 21．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象不经过第 　三　 象限． 【答案】三． 【解答】解：∵方程nx2﹣2x﹣1＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×n＝4+4n＜0， 解得：n＜﹣1， ∴n+1＜0，﹣n＞1， ∴一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象经过第一、二、四象限． 故答案为：三． 22．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是k＞1　 ． 【答案】k＞1． 【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＜0， 解得k＞1． 故答案为：k＞1． 23．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k＜4且k≠0　 ． 【答案】k＜4且k≠0 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k×1＞0， 解得：k＜4且k≠0． 故答案为：k＜4且k≠0． 24．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝0， 即32﹣4（﹣m）＝0， 解得：m． 故答案为：． 25．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤9　 ． 【答案】k≤9． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＝36﹣4k≥0， 解得k≤9， 故答案为：k≤9． 26．若关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣5x﹣m＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣5）2+4m＜0， ∴， 故答案为：． 27．若关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是m＞9　 ． 【答案】m＞9． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0没有实数根， ∴Δ＜0， ∴36﹣4m＜0， ∴m＞9． 故答案为：m＞9． 28．若关于x的方程有2个不相等的实数根，则a的范围是 a＞2　 ． 【答案】a＞2． 【解答】解：∵关于x的方程有2个不相等的实数根， ∴， 解得a＞2， 故答案为：a＞2． 29．如果关于x的一元二次方程kx2x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是 　k且k≠0　 ． 【答案】k且k≠0． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2x+1＝0有实数根， ∴， 解得：k且k≠0． 故答案为：k且k≠0． 30．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m　 ． 【答案】m． 【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣3，c＝m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（m﹣1）＞0， 解得m， 故答案为：m． 31．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜2且k≠0　 ． 【答案】k＜2且k≠0 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4×2×k＞0， 解得k＜2且k≠0． 故答案为k＜2且k≠0． 32．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个根，则m的值为 　12或16　 ． 【答案】12或16． 【解答】解：当等腰三角形的底边为6时，则关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根， 根据根的判别式的意义得Δ＝（﹣8）2﹣4m＝0， 解得m＝16， 此时方程为x2﹣8x+16＝0，解方程得x1＝x2＝4， 因为4+4＞6， 所以m＝16符合题意； 当等腰三角形的腰为6时，则x＝6为关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0一个根， 把x＝6代入方程得36﹣48+m＝0， 解得m＝12， 此时方程为x2﹣8x+12＝0，解方程得x1＝2，x2＝6， 因为6+6＞2， 所以m＝12符合题意； 综上所述，m的值为12或16． 故答案为：12或16． 33．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），现给出以下结论： ①若a﹣b+c＝0，则方程必有一根为﹣1； ②若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根； ③若a、c异号，则方程一定有两个不相等的实数根； ④若m是方程的根，则等式（2am+b）2＝b2﹣4ac一定成立． 其中正确的结论是 　①③④　 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④． 【解答】解：①∵a﹣b+c＝0， ∴当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c＝0， ∴x＝﹣1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故结论①正确； ②∵a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， ∴方程有两个实数根，故结论②错误； ③∵a、c异号，a≠0， ∴ac＜0，﹣4ac＞0 ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确； ④∵x＝m方程的一个根， ∴am2+bm+c＝0， ∴（2am+b）2﹣（b2﹣4ac）＝4a2m2+4abm+b2﹣b2+4ac＝4a（am2+bm+c）＝0， ∴（2am+b）2＝b2﹣4ac，故结论④正确； 故答案为：①③④． 34．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0． （1）求证方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：这里a＝1，b＝﹣（k+3），c＝2k+1， ∵Δ＝（k+3）2﹣4（2k+1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4≥4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：把x＝4代入方程得：16﹣4（k+3）+2k+1＝0， 解得：k＝2.5，即方程为x2﹣5.5x+6＝0， 设另一根为m，根据题意得：4m＝6， 解得：m＝1.5． 35．不解方程，判断关于x的方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m＝0的根的情况． 【答案】当m时，Δ＝0，方程有2个相等的实数根； 当m且m≠1时，Δ＞0，方程有2个不等的实数根； 当m时，Δ＜0，方程无实数根； 当m＝1时，方程为4x+1＝0，方程有1个实数根． 【解答】解：（1）若m≠1，由Δ＝4（m+1）2﹣4（m﹣1）m＝12m+4， 当m时，Δ＝0，方程有2个相等的实数根； 当m且m≠1时，Δ＞0，方程有2个不等的实数根； 当m时，Δ＜0，方程无实数根； （2）若m＝1，方程为4x+1＝0，方程有1个实数根． 36．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝3． （1）若此方程有实数根，求k的取值范围； （2）当k＝﹣1时，求以此方程的两根的绝对值为边长的等腰三角形的周长． 【答案】（1）k； （2）5． 【解答】解：（1）将方程化为一般式：x2﹣（2k+1）x+k2﹣3＝0， ∵原方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， 则[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣3）≥0，解得：k， ∴k； （2）将k＝﹣1代入得：x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1， ∴|﹣2|＝2，|1|＝1， ∴等腰三角形腰长为2，底边长为1， ∴等腰三角形周长＝2×2+1＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 17.3 一元二次方程根的判别式 题型1 根的判别式 ▉题型1 根的判别式 【知识点的认识】 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 1．关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣8x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k＜4且k≠0 C．k≤4且k≠0 D．k＞4且k≠0 3．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 4．方程x2+2x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 5．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0无实数根，则实数k的取值范围为（　　） A．k＜﹣1 B．k≥﹣1，且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 6．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 8．关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＞4 D．m≥4 9．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥4 B．k＞4 C．k＜4且k≠0 D．k＜4 10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＜1 D．m＜﹣1 11．一元二次方程x2+2x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（　　） A．c＜1 B．c≤1 C．c＝1 D．c≠1 12．关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．且m≠0 D．且m≠0 13．关于x的一元二次方程3x2﹣2x+1＝0根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．不确定 14．已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的负实根 D．有两个不相等的正实根 15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k B．k C．k且k≠0 D．k且k≠0 16．关于x的方程x2﹣4x﹣1＝0根的情况说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 17．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为（　　） A．k≤4，且k≠1 B．k＜4，且k≠1 C．k＜4 D．k≤4 18．一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6＝0有两个相等的实数根，则m等于（　　） A．﹣6 B．1 C．﹣6或1 D．2 19．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是 ． 20．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 21．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象不经过第 　 　 象限． 22．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 　 ． 23．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　 ． 24．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ． 25．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 　 ． 26．若关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是 　 ． 27．若关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 　 ． 28．若关于x的方程有2个不相等的实数根，则a的范围是 　 ． 29．如果关于x的一元二次方程kx2x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是 　 ． 30．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 31．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 ． 32．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个根，则m的值为 　 ． 33．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），现给出以下结论： ①若a﹣b+c＝0，则方程必有一根为﹣1； ②若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根； ③若a、c异号，则方程一定有两个不相等的实数根； ④若m是方程的根，则等式（2am+b）2＝b2﹣4ac一定成立． 其中正确的结论是 　 ．（写出所有正确结论的序号） 34．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0． （1）求证方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为x＝4，求k的值，并求出此时方程的另一根． 35．不解方程，判断关于x的方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m＝0的根的情况． 36．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝3． （1）若此方程有实数根，求k的取值范围； （2）当k＝﹣1时，求以此方程的两根的绝对值为边长的等腰三角形的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $