专题03一元二次方程应用及韦达定理复习讲义(知识梳理+13大题型+突破题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题03一元二次方程应用及韦达定理复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一元二次方程根与系数的关系，熟记核心规律，明确适用前提。 2.掌握利用根与系数关系，求解两根和、两根积及代数式求值等基础知识点。 3.认识一元二次方程实际应用常见题型，理清增长率、面积、利润等问题的数量关系。 4.掌握列一元二次方程解应用题的完整步骤，牢记检验根的实际意义。 1.能灵活运用根与系数的关系，快速变形计算，解决综合求值问题。 2.学会从实际情境中提取关键条件，准确建立一元二次方程数学模型。 3.提升分析问题、逻辑推理与运算求解能力，学会分类讨论、合理取舍答案。 1.熟练掌握本章高频考题，扎实拿下基础题型，减少简单失分。 2.规避公式误用、列式错误、忽略实际取值范围等常见易错点。 3.规范解题格式与答题步骤，熟练应对期中选择、填空、解答各类题型，提升综合得分能力。 题型01.一元二次方程根与系数关系 题型02.换元法解一元二次方程 题型03.传播问题(常考+重点) 题型04.增长率问题(常考+重点) 题型05.与图形有关的问题(常考+重点) 题型06.数字问题(常) 题型07.营销问题(难点+重点) 题型08.动态几何问题(难点) 题型09.工程问题(难点) 题型10.行程问题(难点) 题型11.图表信息题(难点) 题型12.握手.循环赛问题(常考点) 题型13.其他实际问题 知识点01:根与系数的关系：方程背后的 “隐藏密码” 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），若两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 记忆小技巧：和是负的一次比二次，积是常数比二次 2. 适用前提 必须是一元二次方程（a0） 方程必须有实数根（判别式 Δ=b2−4ac≥0） 3. 高频变形应用 已知方程，求 x12+x22​、等代数式的值 已知两根，反求一元二次方程：x2−(x1+x2)x+x1x2=0 已知一根，求另一根及方程中的参数 知识点02:一元二次方程的应用：从 “纸上公式” 到 “解决问题” 1. 解题黄金五步 审：读懂题意，找出已知量与未知量. 设：设未知数（直接设 / 间接设） 列：根据等量关系列一元二次方程 解：解方程，求出未知数的值 验：检验根是否符合数学意义和实际意义（如长度、人数不能为负） 注意事项 (1) 要注意各类应用题中常用的等量关系，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系。 (2) 注意语言与代数式的互化，题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务，还要注意从语言叙述中找出等量关系。 (3) 注意单位问题：一是在设未知数时必须写清单位，用对单位；二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致。 2. 经典题型模型速览 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 1/2 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 3. 避坑指南 ❌ 忘记检验根的实际意义（如人数不能是小数、边长不能为负） ❌ 列方程时混淆 “增长后” 和 “增长了” ❌ 数字问题中把 10a+b 写成 ab ❌ 动态几何中漏看图形运动的边界条件 知识点03:知识串联：从 “根” 到 “用” 的完整闭环 1.根与系数是方程的 “内在规律”，帮你在不解方程的情况下快速分析根的性质 2.实际应用是方程的 “外在价值”，让你用数学工具解决生活中的真实问题 3.两者结合：在应用题中，常需要先根据题意列方程，再用根与系数的关系快速求解或验证结果 知识点04:记忆小贴士 韦达定理：和负积正，二次分母 应用题：先建模再解方程，最后一定要验根 数字问题：位值要乘 10 的幂次 增长率：两次变化用平方，一次变化用一次方 题型01.一元二次方程根与系数关系 【典例】已知一元二次方程的两个根为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个根为，，则，，直接利用公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴． 【跟踪专练1】设，是方程的两个根，则________． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式．先根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为完全平方公式的展开形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ． 【跟踪专练2】思维拓展：已知实数s，t分别满足，则____________ 【答案】 【分析】根据题意可知s与是方程的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， 方程两边除以得到：， 即， ∴s与是方程的两个根， ∴，， ∴， 故的值为． 【跟踪专练3】已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把变形为，则、可看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，，由于，所以可先化为，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ，且， 、可看作方程的两根， ，， ， ， ． 题型02.换元法解一元二次方程 【典例】已知实数满足，那么的值为（    ）． A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．1 【答案】D 【分析】把看做一个整体，设，从而把原方程转化成一个关于y的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了换元法解方程和因式分解法解一元二次方程，正确利用换元的思想解方程是解题的关键． 【跟踪专练1】关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 【跟踪专练2】若关于的方程的解是，（，，为常数，），则关于的方程的解为________． 【答案】 或 /或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 通过变量替换，将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：设，则第二个方程化为，与第一个方程 形式相同． ∵方程的解为或， ∴或， 代入，得 或， 解得或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】已知方程，则该方程所有的实数根之和为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系．通过换元法将原方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，再代回解关于的方程，仅有一个二次方程有实数根，利用根与系数关系求和． 【详解】解：设，则原方程化为． ∵， ∴判别式， ∴， 即，． ∴或． 对于，即，判别式，无实数根． 对于，即，有实数根，根之和为． ∴所有实数根之和为． 故选：A． 题型03.传播问题(常考+重点) 【典例】.春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（    ） A． B．1 C．1 D． 【答案】C 【分析】设主干长出x支支干，则每根支干又会分出支小分支，再根据主干、支干、小分支的数量总和为21列方程即可． 【详解】解：设主干长出x支支干，则小分支一共有支， 由题意得． 【跟踪专练1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是31，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 则这种植物每个支干长出的小分支个数是． 故答案为：． 【跟踪专练2】某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 【跟踪专练3】有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 【答案】(1) (2)医院至少需要设置167个重症病房 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据在每轮传染中平均1个人传染了x个人，列出代数式即可； （2）先根据两轮传染后，有100人患上流感，列出方程求出的值，进而求出三轮传染后的总人数，设医院需要设置y个重症病房，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第一轮被传染的人数为x，第二轮被传染的人数是， 两轮传染后，患上流感的人数为． （2）由题意，得， 解得（舍去），， 经过第三轮传染后，患上流感的人数为． 设医院需要设置y个重症病房，则设置个普通病房． 由题意，得， 解得， 为正整数， ， ∴医院至少需要设置167个重症病房． 题型04.增长率问题(常考+重点) 【典例】某地区2023年使用工具的人数约为236万人，2025年达到270万人，若2023年至2025年间，每年的增长率都为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率的计算规则，依次推导得到2025年的人数表达式，结合已知2025年人数即可列出正确方程； 【详解】2023年使用AI工具的人数为万人，年增长率为， 2024年使用AI工具的人数为 万人， 2025年使用AI工具的人数为万人， 又2025年使用AI工具的人数为万人， 可列方程． 【跟踪专练1】电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入288万元，将增长率记作x，则方程可以列为________________________ 【答案】 【分析】根据增长率为x，可得第三天为万元即可列方程． 【详解】解：将增长率记作x， 根据题意得：． 【跟踪专练2】2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【答案】(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； (2)不能实现目标． 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 【跟踪专练3】近年来随着安吉白茶种植规模不断扩大，采茶工的需求量和工资也在不断上涨，已知某白茶基地在2024年的采茶工资为每斤25元，2026年的采茶工资为每斤36元，经市场调研发现，当青叶售价为220元时，每天能卖出100斤，每降价5元，则多卖10斤，销售中除了采摘工资的成本，还有其它运输、肥料等养护成本每斤64元． (1)求2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的平均年增长率； (2)若该基地希望2026年度日销售利润达到14400元，求每斤青叶的售价． 【答案】(1) (2)每斤青叶售价为190元或180元时，日销售利润达到14400元 【分析】（1）设平均增长率为x，然后根据2024年的工资和增长率表示出2026年的工资，从而建立方程即可解答； （2）设售价降价y元，表示出每斤的利润和降价后的销量，结合期望的利润建立方程，即可解答． 【详解】（1）解：设2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为x， 根据题意可得， 解得，（舍）， 答：2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为； （2）解：设售价降价y元，根据题意可得， ， 解得，， 则当时，售价为（元）； 当时，售价为（元）； 答：每斤青叶售价为190元或180元时，日销售利润达到14400元． 题型05.与图形有关的问题(常考+重点) 【典例】为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先用x表示出另一边的长，再根据矩形面积算法列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米， 则另一边长为米， 根据题意可列方程为， 故选：A． 【跟踪专练1】如图所示，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，设小道的宽为，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】设小道的宽度应为，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽度应为， 由题意得：， 故答案为：. 【跟踪专练2】实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【答案】可以，米 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：可以，理由如下： 设米，则米，根据题意得 ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即米． 【跟踪专练3】庐阳区城管部门推进“口袋公园”建设，提升居民生活幸福感．某口袋公园外围规划为长方形，长30米，宽18米，内部设计等宽步行道，剩余区域为绿化种植区．工作人员发现，步行道宽度直接影响绿化面积，若绿化种植区总占地面积为220平方米，求步行道的宽． 【答案】步行道的宽为8米 【分析】根据“绿化种植区总占地面积为220平方米”列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得（舍去）， 答：步行道的宽为8米． 题型06.数字问题 【典例】我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设个位数字为，根据题意列方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为， 根据题意可得． 故选：A． 【跟踪专练1】如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【答案】100 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 故最小的数为：9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18， 最大的数为：25， 故这6个数的和为：． 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 【跟踪专练2】一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【答案】16或49 【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】设一位数为，则两位数为． 则根据题意可得：，   整理得：． 分解得：， 解得：，． 答：这个两位数为16或49． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 【跟踪专练3】2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】最小数为9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． 先根据题中图表，找到最小数与最大数之间的关系，设四个数中最小数为x，则最大数为，再根据题意，建立方程并解这个一元二次方程，最后舍去负数，即可得到结果． 【详解】解：设四个数中最小数为x，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， ∴， 即 解得：，（舍） 答：最小数为9． 题型07.营销问题(难点+重点) 【典例】由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该店冬装原本打x折，根据折上折的优惠规则，结合原价和最终实际售价，找出等量关系列出方程即可． 【详解】解：设该店冬装原本打x折． ∵打折时，打x折表示现价为原价的． 又∵本题为两次折扣相同的“折上折”，需要连续两次按计算价格． ∴原价1000元经过两次打折后价格为． ∵优惠后实际价格为490元， ∴可得方程． 【跟踪专练1】一款衬衫每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，那么平均每天可多售出件．每件衬衫降价_______元时，平均每天盈利元． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每件衬衫降价元时，每天可售出件，每件盈利元，根据“总利润＝每件利润×销售数量”列出方程求解可得．理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． 【详解】解：设每件衬衫降价元时，每天可售出件，每件盈利元，即元， 依题意，得：， 解得：或， ∵为了扩大销售量，增加利润， ∴， ∴每件衬衫降价元时，平均每天盈利元． 故答案为：． 【跟踪专练2】锦州地处北纬，属北温带半干旱季风气候，日照充足、昼夜温差大，且土壤富含矿物质，是优质苹果的“黄金种植区”．某商贩购进一批锦州苹果销售，进价为每千克8元，若按每千克15元销售，平均每天可售出80千克．经市场调查发现，销售单价每降低1元，平均每天的销售量可增加30千克．若该商贩想要平均每天获利680元，并尽快减少库存，销售单价应定为多少元？ 【答案】12元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先理解题意，设销售单价定为元，则平均每天可售出千克，根据该商贩想要平均每天获利680元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设销售单价定为元， 则平均每天可售出千克， 依题意，， 解得 ∵尽快减少库存， ∴销售单价应定为12元． 【跟踪专练3】某文体“网红”商店购进一批文创笔记本，该笔记本每本进价8元，物价部门规定每本笔记本的利润率不得超过，在销售过程中发现，每天销售量y（本）与每本售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每本售价为12元时，每天销售量为100本；当每本售价为14元时，每天销售量为90本． (1)求与x之间的函数关系式； (2)若该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润，则每本笔记本的售价为多少元？ (3)若该商店每天的固定成本为240元，那么每天销售这种笔记本能否获得500元的纯利润？若可以，请求出此时每本笔记本的售价为多少元，若不能，则说明理由． 【答案】(1) (2)每本笔记本的售价为12元． (3)不能，见解析． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据题意列出一元二次方程，判断方程有无实数解即可． 【详解】（1）解：设与间的函数关系式为，依题意得： ， 解得：， ∴； （2）由题意得： 解得：，（舍去） ∵， ∴． 故，， 答：每本笔记本的售价为12元． （3）由题意得： 整理得： ∵ ∴方程无解，故不能． 题型08.动态几何问题(难点) 【典例】如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据题意，当运动时间为t秒时，，， 则 ∵四边形的面积为 ∴ 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)四边形的面积不能等于，理由见解析 (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 题型09.工程问题(难点) 【典例】某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 【跟踪专练1】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【跟踪专练2】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 题型10.行程问题(难点) 【典例】新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 【跟踪专练1】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 【跟踪专练2】在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【跟踪专练3】如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键. 题型11.图表信息题(难点) 【典例】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【跟踪专练1】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】(1)见解析 (2)这5个数中最大数为29． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 【跟踪专练2】某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 题型12.握手.循环赛问题(常考点) 【典例】某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加聚会的人数为x，则每两人握一次手，总握手次数为，即可列出方程求解． 【详解】解：根据题意，， 整理得． 解得或（舍去）． 故答案为：10． 【跟踪专练1】某区组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排56场比赛，应有______个球队参加比赛． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有个队，再表示出每个球队要比赛的场数，然后根据总场数相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：设有个队，每个队都要赛场，根据题意，得 ， 解得或（舍去）． 所以应邀请8个球队参加比赛． 故答案为：8． 【跟踪专练2】九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】(1)正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 【跟踪专练3】以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 题型13.其他实际问题 【典例】如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个数为，根据题意得， ， 整理得， 解得， ∴这个数为， 故选：A． 【跟踪专练1】某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，若主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长小分支的个数为，依题意可列方程为______．（化为一般式） 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每个枝干长小分支的个数为，则枝干的数量也为，小分支的总数为，根据主干、枝干和小分支的总数为，列出方程并化为一般式即可． 【详解】解：依题意，主干有个，枝干的数量为，每个枝干长出个小分支，故小分支的总数为． 主干、枝干和小分支的总数为． 化为一般式得． 故答案为：． 【跟踪专练2】旱地冰壶是冬季奥运会项目冰壶的普及版，在各中小学推广以来，深受同学们的喜爱．某县在举行中小学旱地冰壶比赛时，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两个队伍只比赛一场），单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有多少支参赛队伍？ 【答案】共有支队伍参加比赛 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了场”列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设共有x支队伍参加比赛， 根据题意，可得， 解得或（舍）， 答：共有支队伍参加比赛． 【跟踪专练3】在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】(1)2， (2)秒 (3)米 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动21米用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， （2）解：设小球滚动21米用了秒，此时小球的末速度为 米/秒， 根据题意，得 整理得 解得 ， 当 时， ，不符合实际，舍去 因此 答：小球从开始到滚动21米用了3秒． （3）解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元二次方程应用及韦达定理复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解一元二次方程根与系数的关系，熟记核心规律，明确适用前提。 2.掌握利用根与系数关系，求解两根和、两根积及代数式求值等基础知识点。 3.认识一元二次方程实际应用常见题型，理清增长率、面积、利润等问题的数量关系。 4.掌握列一元二次方程解应用题的完整步骤，牢记检验根的实际意义。 1.能灵活运用根与系数的关系，快速变形计算，解决综合求值问题。 2.学会从实际情境中提取关键条件，准确建立一元二次方程数学模型。 3.提升分析问题、逻辑推理与运算求解能力，学会分类讨论、合理取舍答案。 1.熟练掌握本章高频考题，扎实拿下基础题型，减少简单失分。 2.规避公式误用、列式错误、忽略实际取值范围等常见易错点。 3.规范解题格式与答题步骤，熟练应对期中选择、填空、解答各类题型，提升综合得分能力。 题型01.一元二次方程根与系数关系 题型02.换元法解一元二次方程 题型03.传播问题(常考+重点) 题型04.增长率问题(常考+重点) 题型05.与图形有关的问题(常考+重点) 题型06.数字问题(常) 题型07.营销问题(难点+重点) 题型08.动态几何问题(难点) 题型09.工程问题(难点) 题型10.行程问题(难点) 题型11.图表信息题(难点) 题型12.握手.循环赛问题(常考点) 题型13.其他实际问题 知识点01:根与系数的关系：方程背后的 “隐藏密码” 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），若两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 记忆小技巧：和是负的一次比二次，积是常数比二次 2. 适用前提 必须是一元二次方程（a0） 方程必须有实数根（判别式 Δ=b2−4ac≥0） 3. 高频变形应用 已知方程，求 x12+x22​、等代数式的值 已知两根，反求一元二次方程：x2−(x1+x2)x+x1x2=0 已知一根，求另一根及方程中的参数 知识点02:一元二次方程的应用：从 “纸上公式” 到 “解决问题” 1. 解题黄金五步 审：读懂题意，找出已知量与未知量. 设：设未知数（直接设 / 间接设） 列：根据等量关系列一元二次方程 解：解方程，求出未知数的值 验：检验根是否符合数学意义和实际意义（如长度、人数不能为负） 注意事项 (1) 要注意各类应用题中常用的等量关系，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系。 (2) 注意语言与代数式的互化，题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务，还要注意从语言叙述中找出等量关系。 (3) 注意单位问题：一是在设未知数时必须写清单位，用对单位；二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致。 2. 经典题型模型速览 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 1/2 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 3. 避坑指南 ❌ 忘记检验根的实际意义（如人数不能是小数、边长不能为负） ❌ 列方程时混淆 “增长后” 和 “增长了” ❌ 数字问题中把 10a+b 写成 ab ❌ 动态几何中漏看图形运动的边界条件 知识点03:知识串联：从 “根” 到 “用” 的完整闭环 1.根与系数是方程的 “内在规律”，帮你在不解方程的情况下快速分析根的性质 2.实际应用是方程的 “外在价值”，让你用数学工具解决生活中的真实问题 3.两者结合：在应用题中，常需要先根据题意列方程，再用根与系数的关系快速求解或验证结果 知识点04:记忆小贴士 韦达定理：和负积正，二次分母 应用题：先建模再解方程，最后一定要验根 数字问题：位值要乘 10 的幂次 增长率：两次变化用平方，一次变化用一次方 题型01.一元二次方程根与系数关系 【典例】已知一元二次方程的两个根为，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】设，是方程的两个根，则________． 【跟踪专练2】思维拓展：已知实数s，t分别满足，则____________ 【跟踪专练3】已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 题型02.换元法解一元二次方程 【典例】已知实数满足，那么的值为（    ）． A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．1 【跟踪专练1】关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【跟踪专练2】若关于的方程的解是，（，，为常数，），则关于的方程的解为________． 【跟踪专练3】已知方程，则该方程所有的实数根之和为（        ） A． B． C． D． 题型03.传播问题(常考+重点) 【典例】.春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（    ） A． B．1 C．1 D． 【跟踪专练1】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【跟踪专练2】某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【跟踪专练3】有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 题型04.增长率问题(常考+重点) 【典例】某地区2023年使用工具的人数约为236万人，2025年达到270万人，若2023年至2025年间，每年的增长率都为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入288万元，将增长率记作x，则方程可以列为________________________ 【跟踪专练2】2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【跟踪专练3】近年来随着安吉白茶种植规模不断扩大，采茶工的需求量和工资也在不断上涨，已知某白茶基地在2024年的采茶工资为每斤25元，2026年的采茶工资为每斤36元，经市场调研发现，当青叶售价为220元时，每天能卖出100斤，每降价5元，则多卖10斤，销售中除了采摘工资的成本，还有其它运输、肥料等养护成本每斤64元． (1)求2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的平均年增长率； (2)若该基地希望2026年度日销售利润达到14400元，求每斤青叶的售价． 题型05.与图形有关的问题(常考+重点) 【典例】为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．要使种植花草的面积为，设小道的宽为，则可列方程为___________． 【跟踪专练2】实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【跟踪专练3】庐阳区城管部门推进“口袋公园”建设，提升居民生活幸福感．某口袋公园外围规划为长方形，长30米，宽18米，内部设计等宽步行道，剩余区域为绿化种植区．工作人员发现，步行道宽度直接影响绿化面积，若绿化种植区总占地面积为220平方米，求步行道的宽． 题型06.数字问题 【典例】我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【跟踪专练2】一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【跟踪专练3】2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 题型07.营销问题(难点+重点) 【典例】由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一款衬衫每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，那么平均每天可多售出件．每件衬衫降价_______元时，平均每天盈利元． 【跟踪专练2】锦州地处北纬，属北温带半干旱季风气候，日照充足、昼夜温差大，且土壤富含矿物质，是优质苹果的“黄金种植区”．某商贩购进一批锦州苹果销售，进价为每千克8元，若按每千克15元销售，平均每天可售出80千克．经市场调查发现，销售单价每降低1元，平均每天的销售量可增加30千克．若该商贩想要平均每天获利680元，并尽快减少库存，销售单价应定为多少元？ 【跟踪专练3】某文体“网红”商店购进一批文创笔记本，该笔记本每本进价8元，物价部门规定每本笔记本的利润率不得超过，在销售过程中发现，每天销售量y（本）与每本售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每本售价为12元时，每天销售量为100本；当每本售价为14元时，每天销售量为90本． (1)求与x之间的函数关系式； (2)若该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润，则每本笔记本的售价为多少元？ (3)若该商店每天的固定成本为240元，那么每天销售这种笔记本能否获得500元的纯利润？若可以，请求出此时每本笔记本的售价为多少元，若不能，则说明理由． 题型08.动态几何问题(难点) 【典例】如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 题型09.工程问题(难点) 【典例】某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【跟踪专练1】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【跟踪专练2】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 题型10.行程问题(难点) 【典例】新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【跟踪专练1】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【跟踪专练3】如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 题型11.图表信息题(难点) 【典例】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【跟踪专练1】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【跟踪专练2】某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 题型12.握手.循环赛问题(常考点) 【典例】某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【跟踪专练1】某区组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排56场比赛，应有______个球队参加比赛． 【跟踪专练2】九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【跟踪专练3】以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 题型13.其他实际问题 【典例】如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A． B． C． D．1 【跟踪专练1】某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，若主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长小分支的个数为，依题意可列方程为______．（化为一般式） 【跟踪专练2】旱地冰壶是冬季奥运会项目冰壶的普及版，在各中小学推广以来，深受同学们的喜爱．某县在举行中小学旱地冰壶比赛时，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两个队伍只比赛一场），单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有多少支参赛队伍？ 【跟踪专练3】在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $