22.1 函数的概念 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十二章 函数 22.1　函数的概念 初中数学人教版（2024）八年级下册 学习目标 1.了解常量与变量的概念，掌握常量与变量之间的联系与区别.(重点) 2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.(难点) 情境引入 “万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄的变化而变化…在现实世界中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在. 为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一节里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律. 典型例题 例 2 汽车油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量 y (单位：L) 随行驶路程 x (单位：km) 的增加而减少. 已知该汽车平均每千米耗油 0.1 L. (1) 写出表示 y 与 x 的函数关系的式子； 解：(1) 行驶路程 x 是自变量，油箱中剩余的油量 y 是 x 的函数，它们的关系为 y＝50 0.1x. 0.1x 表示的实际意义是什么？ 0.1x 表示这辆汽车行驶 x km 时的耗油量为 0.1x L. 像 y＝500.1x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 典型例题 例 2 汽车油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量 y (单位：L) 随行驶路程 x (单位：km) 的增加而减少. 已知该汽车平均每千米耗油 0.1 L. (2) 指出自变量 x 的取值范围； 解：(2) 仅从式子 y＝50 0.1x 看，x 可以取任意实数. 但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路程，因此 x 不能取负数. 行驶中的耗油量为 0.1x L，它不能超过油箱中现有汽油量 50 L，即 0.1x ≤ 50. 因此，自变量 x 的取值范围是 0≤x ≤500. 使函数有意义的自变量取值的全体叫作自变量的取值范围. 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义. 典型例题 例 2 汽车油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量 y (单位：L) 随行驶路程 x (单位：km) 的增加而减少. 已知该汽车平均每千米耗油 0.1 L. (3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少汽油？ 解：(3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中剩余的汽油量是函数 y＝500.1x 在 x＝200 时的函数值. 将 x＝200 代入 y＝500.1x，得 y＝500.1×200＝30. 因此，汽车行驶 200 km 时，油箱中还有 30 L 汽油. 探索新知 两个变量是 h 和 S，h 随 S 的变化而变化. 每当 S 取定一个值时，h 就有唯一确定的值与其对应. (4) 长方体的体积为 1 000 cm³，当长方体的底面积 S 分别为 50 cm²，100 cm²，125 cm² 时，高 h 分别为多少？h 的值随 S 的值的变化而变化吗？ 思考 它们之间的关系可以用 h＝ 表示. S/cm2 50 100 125 h/cm 20 10 8 探索新知 【归纳总结】 上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应. 思考：对于用其他方式表示的变化过程，是否也存在“对应”关系？大家能列举出对应的例子吗？ 思考5 在一个弹簧秤的下端挂上重物，记录不同重物下弹簧的长度，探索弹簧长度的变化规律. 已知弹簧原长为15cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm.分别悬挂重量 x 为2kg，3kg，5kg，7kg的重物，弹簧的总长度 l 为多少cm？ l 的值随 x 的值的变化而变化吗？   技巧点拨：看对于任意确定的一个 x 值，y 是否都有唯一确定的一个值与其对应，若不是则不具有函数关系. 反思感悟 判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 跟踪训练1　下列关于变量x，y的关系式：①y=2x+3；②y=x2+3； ③y=2|x|；④y=±；⑤y2-3x=10，其中表示y是x的函数关系的是　　　　 .  ①②③ 2.指出下列问题中的变量，并写出变量之间的关系. （1）正方形的面积 S 与边长 a 之间的变化关系； （2）圆的周长 C 与半径 r 之间的变化关系. （3）高铁的速度为 250 km/h，则路程 S km与时间 t h之间的变化关系.   解：变量：C，r；C= 2𝜋r. 解：变量：S，t；S=250 t. 二、 确定实际问题中函数的解析式以及自变量 知识梳理 用关于自变量的数学式子表示　　与　　　之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的　　　. 函数 解析式 自变量 1.李老师带着学生去科技馆参观，李老师的票价为 40 元，每个学生的票价为 30 元，试写出李老师应带门票的总费用 y（元）和学生人数 x 之间的函数解析式.   解：因为每个学生的票价为 30 元，所以 x 个学生的门票总费用是 30x.李老师应带的门票的总费用=李老师的门票费用 + 所有学生的门票总费用，即 y = 40+30x. 拓展提升 B 当堂检测 1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量， 是变量， 是 的函数. 60 s=60t t和s s t 2.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 ，自变量t的取值范围是 . 解析式 函数值 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式. 对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，b即为函数值. 函数解析式和函数值 课堂小结 THANKS 解析：∵四边形 是平行四边形，∴ ， ∵点E从点B出发运动到点A停止，点F从点D出发运动到点C停止， ∴E到 的距离不变， ∴ 的面积与F的位置有关，与E点无关 ∴ 的面积S是以x为自变量的函数， 则自变量x可以为 或 的长，故选：D. 练习4 研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 土豆产量/（吨/公顷） 15.1 21.3 25.7 32.2 34.0 39.4 43.1 43.4 40.8 下列说法正确的是( ) A.土豆产量是自变量 B.氮肥施用量是自变量 C.氮肥施用量是101千克/公顷时，土豆产量为34吨/公顷 D.氮肥施用量越大，土豆产量越高 $