广西玉林市第一中学2025-2026学年下学期高二自主测试数学试卷（5.1）

玉林一中高二数学自主练习（二）2026年5月1日 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 3．一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的单调递减区间为，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 5．已知正项数列的前项和为，且，若，则下列结论不正确的是（   ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C．数列的前项和为 D． 6．的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 二、多选题 7．下列说法中正确的是（   ） A．名工人各自在天中选择一天休息，不同方法种数是 B．甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环比赛，冠、亚军的可能性一共有种 C．的展开式的常数项为 D． 8．记为数列的前项和，已知则（    ） A．2025是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 9．函数，则（   ） A．的图象过定点 B．当时，在上单调递增 C．当时，恒成立 D．存在，使得与轴相切 三、填空题 10．已知、为随机事件，且，，若，则___________. 11．已知二项式中各项系数之和为，则________. 12．已知在数列中，，数列的前项和为，则__________. 4、 解答题 13．科研人员为研究白鼠在注射某种抗生素24小时后体内抗生素残留率与注射剂量之间的关系，测得一组实验数据如表： 剂量 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 残留率 0.07 0.12 0.18 0.25 0.28 0.30 0.35 0.45 (1)根据以上数据计算得样本相关系数，表明抗生素残留率与注射抗生素剂量的线性相关程度较高，请建立关于的经验回归方程； (2)当数据对应的残差的绝对值时，称该数据为“正常数据”．现从这8个实验数据中随机抽取4个，用X表示抽到“正常数据”的个数，求的分布列及均值． 参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，；参考数据：，. 14．某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各50人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组．调查发现：甲组成员共46人，其中男生16人． (1)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； (2)现从调查的女生中，按分层抽样选出5人，再从这5人中随机抽取3人赠送书签，记赠送书签的3人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 15．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若存在、，满足，证明：； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《玉林一中高二数学自主练习（二）2026年5月1日》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D B D D B BC ACD ACD 1．A【详解】离散型随机变量服从两点分布，则，又，所以.故选：A. 2．D【详解】对于A，因为，，所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归方程为过点，所以，解得，B错误；对于C，将代入经验回归方程得，C错误；对于D，当时，实际值，预测值，所以残差为，D正确． 3．B【详解】依题意得，，故. 4．D【详解】由，所以，单调递减区间是，的解集为，即的解集为，，，经检验符合题意.故选：D. 5．D【详解】因为，即，所以数列为等差数列，又，所以数列也为等差数列，故A正确；因为，即，所以， 因为，所以，所以数列为等比数列，故B正确；因为0，所以，故数列的公差为1，所以数列的前项和为，故C正确；因为，所以数列的公比为3，则，所以，故D错误． 6．B 【详解】因为，其中展开式的通项为，所以的展开式中含有的项为，所以展开式中的系数为60. 7．BC【详解】对于A选项，名工人各自在天中选择一天休息，每个人都有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同方法种数是，A错；对于B选项，甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环比赛，冠、亚军的可能性一共有种，B对；对于C选项，的展开式通项为，由，解得，故展开式中的常数项为，C对；对于D选项，，D错. 8．ACD【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确；对于B，由题知，，故数列是公比为4的等比数列，故B错误；对于C，由题知，，所以，故C正确；对于D，，，设数列的前项和为，则，故D正确；故选：ACD． 9．ACD【详解】对A：不管取何值，，所以函数的图象过定点，故A正确；对B：当时，，（），，设，则，所以在上单调递增.因为，所以，所以在上单调递增，这一说法不正确，即B错；对C：由B选项可知，，所以存在，使得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的最小值为，且，因为，故不能取“”.故C正确； 对D：当时，（），所以（），设（），则（）.所以在上单调递增.因为当时，；当时，.所以存在，使得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的最小值为，且.由.设，（），则，所以在上单调递减.且，，所以必定有解.即D正确. 10．/【详解】因为，，则，又因为，则，且，所以. 11．或【详解】因为各项系数之和为，所以，解得或，的展开式中含的项为，所以，所以，当时，，当时，.故答案为：或 12．【详解】由，得，即，又，所以，则是以为首项，以为公差的等差数列，得，故，得，所以，所以，故答案为：. 13．（1）由表知，，，所以，， 所以关于的经验回归方程为. （2）由已知，，， ，，，， ，， 即有4组数据为“正常数据”，所以X的可能取值为，则，，，，， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 故数学期望. 14．【详解】（1）根据题中数据可得列联表如下： 甲组 乙组 合计 男生 16 34 50 女生 30 20 50 合计 46 54 100 零假设：学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关，. 根据小概率值，对应的临界值，故我们推断不成立，即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关. （2）由题意知，这5人中，甲组的人数为人，乙组的人数为人，则随机变量的可能取值有1、2、3，，，，所以随机变量的分布列为 1 2 3 所以数学期望. 15．(1)答案见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）解：的定义域为，．当时，，在上单调递增；当时，令，得或（舍去），当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，，由，得，即由于，事实上，令，，时，；时，；所以，所以，即．所以，当且仅当时，等号成立，所以，得证． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $