广西玉林市第一中学2025-2026学年下学期高二自主测试数学试卷（4.30）

高二数学自主训练一 （4月30日） 一、单选题 1．已知等比数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．系统中共有3个元件，各个元件正常工作的概率为，各个元件正常工作的事件相互独立．记系统中正常工作的元件数为X，则X的方差为（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 4．已知，则（   ） A． B．1 C．32 D．243 5．已知随机事件，，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．凹数是数学中数字排列的相关概念，是指从左到右先严格单调下降，再严格单调上升的数．若五位数，满足且，则称该五位数是“严格凹数”．则由0，1，2，3，4组成的五位“严格凹数”有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 7．假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级，则等级的分数线约为（若，则，）（   ） A．76 B．88 C．94 D．103 8．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．的展开式中，下列结论正确的是（   ）. A．展开式共7项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 10．某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量（万次） 5 4.5 4 3.5 2.5 A．与负相关 B． C．预测第6个月的下载量是2.1万次 D．残差绝对值的最大值为0.2 11．已知函数，则（    ） A．的极小值为 B．有两个零点 C．存在使得关于的方程有三个不同的实根 D．的解集为 三、填空题 12．的展开式中二项式系数的最大值是______．（用数字作答） 13．52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________ 14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{}，则{}的前n项和为________． 四、解答题 15．甲乙丙丁戊五个同学 (1)排成一排，共有多少种不同的排列方法？ (2)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ (3)排成一排，甲乙相邻，共有多少种不同排列方法？ (4)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (5)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？ 16．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.   (1)求的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； (3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 18．设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 19．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高二数学自主训练一（4月30日）》参考答案 1．D【详解】由等比数列性质，得，所以. 2．A【详解】依题意，元件数，所以所求方差. 3．D【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点，的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误；C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，C选项错误；D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 4．C【详解】由，令，得，所以. 5．D【详解】因为,,所以，又，所以. 6．C【详解】根据凹数的定义，中间数一定为0，确定前两位数字有种选法，后两位只有1种选法，故共有6个这样的严格凹数. 7．C【详解】已知成绩服从正态分布，则均值，标准差.A等级为成绩由高到低的前， 由，得.计算，即A等级的分数线约为94. 8．D【详解】，若在上单调递增，则在恒成立，即，令，其对称轴为，所以的最大值为，故只需．即． 9．CD【详解】对于：由二项式的展开式共有8项；所以选项错误.对于：由二项式，可得展开式的通项为：，.令，可得，则项的系数为，所以选项错误.对于：令，可得，所以无常数项，所以选项正确.对于：二项式系数和为，所以选项正确. 10．ACD【详解】对于A：因为，所以变量与负相关，故正确；对于B：， ，，则，解得，故错误； 对于C：当时，，故可以预测第6个月的下载量约为2.1万次，故正确； 对于D：当时，，，当时，，， 当时，，，当时，，， 当时，，，故残差绝对值的最大值为0.2，故正确. 11．AC【详解】函数的定义域为，， 由得或；由得，有极大值，极小值，A正确；由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确； 当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确；当时，，此时，D不正确． 12．70【详解】由二项式系数及组合数的性质知，的展开式中二项式系数的最大值为. 13．【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,则. 14．【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为， 15．【详解】（1）甲乙丙丁戊五个同学排成一排，共有种不同的排列方法； （2）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有种方法，再将甲乙插空隙中，有种方法， 所以共有不同排法数为（种）（3）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙相邻，先将甲乙排在一起，有种排法，再与其他同学全排列有种排法，共有种排法； （4）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有3种选择，所以不同游览方法有（种）.（5）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，则先把5人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为，再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，所以不同分配方法种数是. 16．【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，根据表中数据可得，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 17．【详解】（1）根据频率之和等于1可得，，解得. （2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组，电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组，恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. （3）由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于由题可知，随机变量服从二项分布，所以,所以所有可能的取值有0,1,2，所以, 所以的分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望为. 18．【详解】（1）由题，，当时，， ，又，所以，所以是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1），，则.设数列，且，其前n项和为，则， ，两式相减可得， ，则；再设数列，且，其前n项和为，则，从而. 19．【详解】（1）若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； （2）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； （3）由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $