专题5.2 简单的轴对称图形 讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

简单的轴对称图形 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 等腰三角形的性质 考点梳理 1.等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴（底边的垂直平分线）. 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴（1 组“三线合一”）. 3.等腰三角形的两个底角相等. 考点02 等边三角形的性质 考点梳理 1.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴（每条边上的高/中线所在的直线）. 2.等边三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等边三角形的对称轴（3 组“三线合一”）. 3.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。 典例引领 考向01 等边对等角 【例1】已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 【答案】 80 【分析】根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和为即可求解. 【详解】解： 等腰三角形的底角等于，等腰三角形的两个底角相等， 顶角的度数为. 考向02 三线合一 【例2】如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 对点提升 【对点1】如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 【对点2】如图，已知，，与相交于点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形“三线合一”的性质，进行证明即可． 【详解】证明：，，， ， ，又， ． 考点03 线段的轴对称性 考点梳理 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 考点04 线段垂直平分线的定义及其性质 考点梳理 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 典例引领 考向01 线段垂直平分线的性质 【例1】如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 考向02 作已知线段的垂直平分线 【例2】在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．只有① 【答案】B 【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得，  可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 对点提升 【对点1】如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 又的周长， ， 即， 的周长． 【对点2】如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线； （2）利用无刻度的直尺，通过连接对应点，依据对应点连线被对称轴垂直平分来确定对称轴．连接、交于点，延长、交于点，连接，所在直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 考点05 角的平分线的性质及其作法 考点梳理 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3. 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 典例引领 考向01 角平分线的性质定理 【例1】如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 【答案】C 【分析】由等边对等角可得，由作图可得，平分，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得，平分， ∴． 考向02 作角平分线（尺规作图） 【例2】如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】作的角平分线交于点D，连接即可． 【详解】解：作的角平分线交于点D，连接， ∵, ∴， 则点D即为所求． 对点提升 【对点1】如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质可得，再根据及求出的长即可求解． 【详解】解：过点D作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， 即点D到的距离为． 【对点2】角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是对称轴，用圆规和无刻度直尺可以作出一个角的平分线．下列图形展示的是尺规作平分线的过程，请根据图形写出每一步的作图方法． 作法： (1) ； (2) ； (3) ．即： 为所求． 【答案】(1)以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点 (2)再分别以为圆心，大于一半的长为半径画弧，在角的内部交于点C (3)连接，射线 【详解】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点； （2）解：再分别以为圆心，大于一半的长为半径画弧，在角的内部交于点； （3）连接，即：射线为所求． 考点06 轴对称综合题典例引领 考向01 最短路径问题 【例1】如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 【答案】C 【分析】本题考查了作轴对称最短路线问题，运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路线的求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴, ∴, ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为:, 这正好对应方案的作法． 考向02 线段问题 【例2】如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】利用轴对称求最短路线的方法得出点关于直线的对称点，对于直线上任一点，有，则，当、、共线时取最小值，则连接交CD于点即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接交于点，点即为所求． 考向03 面积问题 【例3】如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 考向04 角度问题 【例4】如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可． 【详解】解：设直线与直线相交于点O， 根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，， 如图，点P每经过6次对称又回到点P， 若与P重合， 则n的最小值为6． 故答案为：6． 考向05 其他问题 【例5】如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，，点M在以A为圆心，5为半径的圆上，进而得出当点M在上时，长度最小，即可得到答案． 【详解】解：是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点， ， 点M在以A为圆心，5为半径的圆上， 当点M在上时，长度最小，此时， 故答案为：．    对点提升 【对点1】如图，在平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)在平面内找一点E，使点E到A，B，C，D四点距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据直线的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形； （3）连接，交于点E，点E即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，点E即为所求． 【对点2】如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图、线段中点的性质及轴对称求最短路径（两点之间线段最短），解题关键是利用网格的对称性和格点特征构造辅助线． 小问1：选择格点C、D，通过证明，再利用全等三角形的性质即可得到的中点． 小问2：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）如图2，点即为所求． 【对点3】如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 【对点4】矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【答案】/12度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【对点5】已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（    ）．（形状相同的图形算作同一种） A．5种 B．6种 C．7种 D．7种以上 【答案】B 【分析】本题考查对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．从轴对称图形等边三角形，正方形，菱形，等腰梯形分类探索解决． 【详解】解：如图，加上题干中1种，共6种 第一个图：， 第二个图：， 第三个图：， 第四个图： 第五个图：， 故选：B． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，中，，．甲、乙两人想在外部取一点，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． 乙：①过作平行的直线． ②过作平行的直线，交于点，则即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（   ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，逐一进行判断即可． 【详解】解：甲：如解图①， ∵， ∴， ∴，由甲的作法可知，， 故和不可能全等， 故甲的作法错误； 乙：如解图②， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴乙的作法是正确的． 2．如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线，可得，由，可得即可． 【详解】解：∵直线， ∴， 又∵， ∴． 3．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径画弧，交边的延长线于点D．分别以点、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作法得，平分，再证明得到，接着利用平角的定义得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由尺规作图的痕迹可得平分，，然后根据全等三角形的性质和角平分线的性质逐项证明判断即可． 【详解】解：根据基本作图，得平分，， ∴， ∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故B选项正确，不符合题意； 无法证明， 故C选项错误，符合题意； 根据题意，得，故D选项正确，不符合题意． 5．如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点C'，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点E、F、G，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，以及角的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可知，，计算出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先求出的度数，结合，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．如图是一个底面为正方形的长方体容器，顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向点B处．现将顶点A，B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．根据长方体的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可． 【详解】解：蚂蚁爬行的最短路线如图所示： 故选：B． 8．如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，运用相关知识逐项判断即可． 【详解】解：连接，过点作于点，于点， 由作图得，， 又， ∴， ∴， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； 无法判断， 故选项C符合题意； ∵，，， ∴， 又， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 9．如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，以及角的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可知，，计算出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：C． 10．如图，在中，，点到三边的距离相等．设，．记，则下列结论中正确的是（   ）    A．最小 B．最小 C．最小 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，正确画出辅助线是解题的关键． 在上截取，证明，即可得到，同理可得，即可解答． 【详解】解：点到三边的距离相等， 点为三条角平分线的交点， ， 如图，在上截取， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 在上截取， 同理可得， ， 在中，， 即， ， ， 故最小， 故选：C．    2、 填空题 11．如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 【答案】7.5 【分析】根据翻折的性质得到平分，根据，求出的长，角平分线的性质，结合等积法进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离均为， ∵，， ∴， ∴， ∴；即点D到的距离是7.5． 12．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 13．一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 【答案】 【分析】设围成的小三角形为，分别用表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解． 【详解】解：如图， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 14．如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【答案】8 【分析】连接，过点O作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，，从而得出，然后根据三角形的面积公式得．可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H， ，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 15．小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 【答案】2000 【分析】本题考查作图-应用与设计，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接，因此小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离为的长度，通过可证明，由此可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接． 根据轴对称可知， ， ∵两点之间线段最短， ∴的值最小，即的值最小， ∴小刚从处到河里处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小． 根据作图并结合题意可知，，， 在和中， ， ，， 为的中点． ∵点到河岸的中点的距离为， ， ， ． 故小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是． 故答案为：． 3、 解答题 16．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 17．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 18．【实验与验证】 如图1，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． (1)请说明平分的理由． 【迁移与作图】 (2)请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明可得，从而可得平分;; （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，作射线，则平分． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴, ∴, 即平分； （2）解：如图，是的平分线． 19．如图，点，是 内部两点．利用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)作 的角平分线； (2)在角平分线上找一点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，关键是熟练运用作图方法解题， （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，与边、分别相交于两点，再以这两点为圆心，以大于两点间距离为半径画弧，在内部相交于点，作射线即为的平分线； （2）找到点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示：点即为所求： 20．如图1，在平面上取一点称为极点，从点引一条射线称为极轴．将绕点逆时针旋转得到，叫作射线的极角． (1)如图2，射线、的极角分别记为、，且，，．是（小于平角）的角平分线，射线的极角记为， ①若，，则________； ②若，，则________； ③请运用特殊到一般的数学思想和归纳法猜想、、的等量关系，并说明理由； (2)如图3，射线、、的极角分别为、、（、为常数），请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出极角为的射线和的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②；③当时，；当时，；理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了极角的定义，角的和与差计算，尺规作图． （1）利用极角的定义结合角的和与差计算即可求解； （2）作，则射线的极角为；再利用作角的尺规作图法即可作出的角平分线． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ③当时，， ∵平分， ∴， ∴； 当时，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵射线、的极角分别为、， ∴， ∴作，则射线的极角为； 如图，射线、即为所求． ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 简单的轴对称图形 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 等腰三角形的性质 考点梳理 1.等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴（底边的垂直平分线）. 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴（1 组“三线合一”）. 3.等腰三角形的两个底角相等. 考点02 等边三角形的性质 考点梳理 1.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴（每条边上的高/中线所在的直线）. 2.等边三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等边三角形的对称轴（3 组“三线合一”）. 3.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。 典例引领 考向01 等边对等角 【例1】已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 考向02 三线合一 【例2】如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 对点提升 【对点1】如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【对点2】如图，已知，，与相交于点． 求证：． 考点03 线段的轴对称性 考点梳理 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 考点04 线段垂直平分线的定义及其性质 考点梳理 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）作为直线 ，为所求直线． 典例引领 考向01 线段垂直平分线的性质 【例1】如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 考向02 作已知线段的垂直平分线 【例2】在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．只有① 对点提升 【对点1】如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【对点2】如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 考点05 角的平分线的性质及其作法 考点梳理 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3. 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 典例引领 考向01 角平分线的性质定理 【例1】如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 考向02 作角平分线（尺规作图） 【例2】如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 对点提升 【对点1】如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【对点2】角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是对称轴，用圆规和无刻度直尺可以作出一个角的平分线．下列图形展示的是尺规作平分线的过程，请根据图形写出每一步的作图方法． 作法： (1) ； (2) ； (3) ．即： 为所求． 考点06 轴对称综合题典例引领 考向01 最短路径问题 【例1】如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 ∴, ∴, ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为:, 这正好对应方案的作法． 考向02 线段问题 【例2】如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 考向03 面积问题 【例3】如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 考向04 角度问题 【例4】如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 考向05 其他问题 【例5】如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    对点提升 【对点1】如图，在平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)在平面内找一点E，使点E到A，B，C，D四点距离之和最短． 【对点2】如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【对点3】如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【对点4】矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【对点5】已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（    ）．（形状相同的图形算作同一种） A．5种 B．6种 C．7种 D．7种以上 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，中，，．甲、乙两人想在外部取一点，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． 乙：①过作平行的直线． ②过作平行的直线，交于点，则即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（   ） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 2．如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径画弧，交边的延长线于点D．分别以点、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点C'，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点E、F、G，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图是一个底面为正方形的长方体容器，顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向点B处．现将顶点A，B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点到三边的距离相等．设，．记，则下列结论中正确的是（   ）    A．最小 B．最小 C．最小 D． 2、 填空题 11．如图，在中，，D是边上一点，连接．将沿直线翻折后，点B恰好在边上点，使得，则点D到的距离是______ 12．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 13．一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 14．如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 15．小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 3、 解答题 16．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 17．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 18．【实验与验证】 如图1，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． (1)请说明平分的理由． 【迁移与作图】 (2)请借鉴角平分仪的操作，利用直尺（无刻度）和圆规，在图2中作出的平分线． 19．如图，点，是 内部两点．利用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)作 的角平分线； (2)在角平分线上找一点，使最小． 20．如图1，在平面上取一点称为极点，从点引一条射线称为极轴．将绕点逆时针旋转得到，叫作射线的极角． (1)如图2，射线、的极角分别记为、，且，，．是（小于平角）的角平分线，射线的极角记为， ①若，，则________； ②若，，则________； ③请运用特殊到一般的数学思想和归纳法猜想、、的等量关系，并说明理由； (2)如图3，射线、、的极角分别为、、（、为常数），请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出极角为的射线和的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $