专题5.1 轴对称及其性质 讲义-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

轴对称及其性质 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 轴对称图形与对称轴 考点梳理 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于这条直线对称． 典例引领 考向01 轴对称图形的识别 【例1】下列图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形，就是轴对称图形， 对四个选项逐一判断． 【详解】解：A跑步图标：找不到能使图形对折后完全重合的直线，不是轴对称图形； B射箭图标：动作左右不对称，对折后无法完全重合，不是轴对称图形； C击剑图标：不存在满足条件的对称轴，对折后无法重合，不是轴对称图形； D举重图标：沿图形中间的竖直线对折，直线两侧的部分可以完全重合，是轴对称图形． 对点提升 【对点1】下列图形不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形， 仅有选项D不满足轴对称图形的定义． 考点02 两个图形成轴对称 考点梳理 1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 2. 两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 至少有一条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称 3. 轴对称的性质 （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 典例引领 考向01 成轴对称的两个图形的识别 【例1】观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不成轴对称，故不符合题意； B、不成轴对称，故不符合题意； C、成轴对称，故符合题意； D、不成轴对称，故不符合题意． 考向02 根据成轴对称图形的特征进行判断 【例2】如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 【详解】解：由题意可得，，，故A、B、C正确，不符合题意． 考向03 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例3】如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D， ∴，，， ∴， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有A选项符合题意． 对点提升 【对点1】下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【答案】①②④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 【对点2】已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的基本性质，根据对称点的连线被对称轴垂直平分即可判断求解． 【详解】解：∵ 点与点是关于直线的对称点， ∴ 线段被直线垂直平分． 【对点3】如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 【答案】F 【分析】根据轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短，即可得出答案． 【详解】解：由题意，B，关于直线L对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， ∴此时点F满足条件． 考点03 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 考点梳理 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下： 步骤 理论依据 ①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点 对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线 ②连接这对对应点 ③作对应点所连线段的垂直平分线 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 典例引领 考向01 求对称轴条数 【例1】等腰梯形有_____条对称轴． 【答案】1/一 【分析】根据轴对称图形对称轴的定义，结合等腰梯形的性质即可确定其对称轴的数量． 【详解】解：等腰梯形沿上下两底中点所在的直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，不存在其他满足条件的直线，因此等腰梯形只有条对称轴． 考向02 画对称轴 【例2】如图，A，D，B，E四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)仅用无刻度直尺画出该图形的对称轴．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和确定轴对称图形的对称轴； （1）根据推出，即可根据求证； （2）法一：延长相交于点G，连接，直线即为所求；法二：连接相交于点G，连接，直线即为所求． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴即， 又∵，， ∴ ． （2）解：如图所示， 法一： 法二： 考向03 画轴对称图形 【例3】如图，在中，请用尺规作图法，在下方作一点，连接、，使得和关于所在直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】以为圆心，的长为半径画弧，以为圆心，的长为半径画弧，两弧的交点即为点. 【详解】解：如图，即为所求； 对点提升 【对点1】如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． 【对点2】判断下列图形是否是轴对称图形，如果是，请画出其中的一条对称轴． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)不是轴对称图形 (2)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） (3)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） (4)是轴对称图形，对称轴见解析（答案不唯一） 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就是对称轴． 【详解】（1）解：该图形不是轴对称图形； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 【对点3】如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形．（保留作图痕迹，写出结论） 【答案】作图见解析 【分析】分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，由“”易证，可知四边形为轴对称四边形，故即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 考点04 轴对称变换 考点梳理 1. 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换，轴对称变换的实质就是图形的翻折，由翻折得到的图形是全等形． 2. 一个图形与其关于直线l对称的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 典例引领 考向01 折叠问题 【例1】如图，四边形为一张长方形纸片，点E，F分别为边上一点，将这张纸片沿折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，进而得到，再由两直线平行，同旁内角互补进行求解． 【详解】解：由折叠可知， 又， ， 在长方形中，， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 考向02 设计轴对称图案 【例2】2025年12月10日，春晚官方发布了2026马年总台春晚的主题：寓意“奇迹”的四匹骏马，具有齐头并进、拾级而上视觉意象的“骐骥驰骋纹”．实际上这些美丽的图案可以看作是由基本图形经过图形变换而得．下面哪个图案可以由如图经过轴对称变换得到的轴对称图形（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果． 【详解】解：观察四个选项，只有选项C中的图形是由题目图形经过轴对称变换得到． 对点提升 【对点1】如图，把长方形纸片（， ）沿折叠，点B落在P点处，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质以及平行线的性质，先根据折叠得出，结合平角定义得出的度数，再结合两直线平行，同旁内角互补，即可求解． 【详解】解：∵把长方形纸片沿折叠，点落在点处， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【对点2】在的正方形网格中，已经有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算． 【详解】解：如图①②③④⑤任意一处涂黑时，图案为轴对称图形， ∵共有7个空白处， ∴三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是． 考点05 作轴对称图形 考点梳理 1. 几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 2. 作轴对称图形的方法 （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连——按原图形依次连接各对称点． 典例引领 考向01 车牌号码的镜面对称 【例1】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 考向02 钟表的镜面对称 【例2】如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 【答案】630085 【分析】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意的关于竖直的一条直线的轴对称图形是． 所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：作轴对称图形得： 故答案为：． 考向03 电子钟示数的镜面对称 【例3】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 考向04 台球桌面上的轴对称问题 【例4】平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用台球反射的性质画图，逐一验证各选项，判断反弹不超过3次时能否到达原点． 【详解】解：A．如图，点反弹不超过3次的情况下无法到达原点； B．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； C．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； D．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； 考向05 轴对称中的光线反射问题 【例5】如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 对点提升 【对点1】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【对点2】小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 【对点3】电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．平面镜成像左右颠倒，数字本身也左右翻转；数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变；左右位置互换，因此平面镜中的像为． 【详解】解：电子钟显示“”，在平面镜中左右颠倒，数字翻转：数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变； 左右位置互换，实际右边分钟22翻转后为55移到左边，实际左边小时11翻转后为11移到右边，故平面镜中的像为“”． 故答案为． 【对点4】如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 【对点5】如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，推出，求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 2．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图1中，则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的对边平行可得，求出图1中，图2中根据折叠性质求出，图3中根据折叠性质及求出度数． 【详解】解：图1中，纸带是长方形， ， ，， 由折叠可知，图2的与图1的相等，且图2与图3的， 在图2中，， 再由折叠可知，图3的与图2的相等， 在图3中，． 3．如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及平角的定义.首先根据折叠性质和平角定义求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，最后结合折叠性质和平角定义求出的度数． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可得，， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可得，， 又∵， ， ． 4．如图，一张四边形纸片，，点，分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点，分别到了点，处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴ ∵把纸片沿折叠，折叠后点，分别到了点，处， ∴， ∴ ∴ 5．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质得出，根据折叠得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵长方形纸条中， ∴， 根据折叠可得：． 6．如图，将长方形纸条沿折叠，使点落在处，点落在处．已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质可得，由平角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 7．一个长，宽的长方形，沿对角线对折后，得到一个新的图形（如图），其中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各个顶点和交点标出，根据折叠，推出，，再根据阴影部分的周长代入即可求解． 【详解】解：如图所示，标出各个顶点与交点， 据题意可得：，， ∵长方形沿对角线对折， ∴，， ∴阴影部分的周长． 8．如图，已知长方形纸片，点和点分别是边和上的动点，点和点分别是边和上的点，现将点分别沿折叠至点，，若，且，则的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】当在上方时，延长，二线交于点Q，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可；当在下方时，延长，二线交于点T，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可． 【详解】解：如图1，当在上方时，延长，二线交于点Q， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵将点A，B，C，D分别折叠至点N，M，P，K， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，当在下方时，延长，二线交于点T， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵将点A，B，C，D分别沿折叠至点N，M，P，K， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，∠EFC的度数为或， 9．如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 10．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据长方形的性质可得，则，再根据折叠的性质可得，然后根据邻补角的定义和可得，最后根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：四边形是长方形， ， ，， ． 由折叠可知，，， ， ， 故选：C． 2、 填空题 11．点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿折叠，点落在处，点落在，使得，若，则_____． 【答案】 【分析】根据长方形对边平行得到内错角相等，利用平行线性质求出，再结合折叠性质确定，则可求． 【详解】解： 由折叠的性质得， ∵ ， ∴ ∴， ， ． 12．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，第一次沿着折叠，第二次沿着折叠，若，设的度数为，则的度数为______度（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】由平行线的性质可知，根据邻补角的定义可知，根据折叠的性质可知，所以可得，根据平行线的性质可知，根据折叠的性质可知． 【详解】解：， ， ， ， ， 由折叠可知， , ， ， 由折叠可知． 13．一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，点落在的内部．若，，则的度数是______． 【答案】 【分析】根据折叠得到平分，平分，从而得到，，结合平角求出即可得到答案 【详解】解：根据折叠得，平分，平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度的最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度的最小， 当时，， ∴，解得：， ∴，即线段长度的最小值是． 15．如图，把一张长方形纸片进行两次折叠，第一次沿折叠，第二次沿折叠，则 ______________． 【答案】 【分析】设，根据折叠的性质以及平行线的性质分别表示出，，即可求解． 【详解】解：设， ∴ ∵第一次沿折叠，第二次沿折叠， ∴，，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 3、 解答题 16．【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． (1)【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． (2)【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意可知，当点E在上时，，延长，在射线上取点，使得，点F即为点B关于的对称点，连接、； （2）根据折叠的性质证明，，从而推出，即可得出点E、D、F在一条直线上． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由折叠的性质可知，，，，， ， 在和中， ， ， ， ， 点 、D、F在一条直线上， 17．如图，已知，点C在边上，请用尺规作图在的内部求作一点P，使得点P到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】先用直尺和圆规作的平分线，则，再以点C为圆心，长为半径画弧，交于点P，则，所以，所以，即知，所以点P就是所求作的点． 【详解】解：如图，点P即为所求作的点． 18．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 19．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基本模型】在图1中，请直接写出，，之间的数量关系_____； (2)【类比探究】在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出，，三者之间的数量关系并说明理由； (3)【应用拓展】如图3，图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于点F，连接，若恰好平分，，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，则，根据两直线平行内错角相等，以及角的和差关系，即可证明结论； （2）过点G作，则，根据两直线平行内错角相等，以及角的和差关系，即可证得结论； （3）根据平行线的性质和折叠的性质，得出，，然后根据角平分线的定义和两直线平行内错角相等，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ，． ， ． （2）解：，理由如下： 如图，过点G作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． （3）解：四边形为长方形， ，即． ∵， ∴，． ∵将长方形纸条沿折叠， ∴，， ∴． ∵恰好平分， ∴． ∵， ∴． 20．综合与实践 【问题情境】 若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”．即若，则与是一组“巧角”（，）． (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“巧角”．并说明理由． 【拓展延伸】 (2)如图2，点为长方形的边上一点，点、点分别是射线，射线上一点，连接、，沿着、分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处，把记为，记为． ①如图3，当点、、三点共线时，与是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，与是一组“巧角”，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)与是一组“巧角”，理由见解析 (2)①或；②或或或 【分析】（1）利用折叠的角相等性质，计算出两个角的差，验证是否符合“巧角”定义； （2）①由三点共线和折叠性质得到，结合“巧角”的绝对值方程求解； ②分重叠和无重叠两种情况，利用角度关系建立方程，结合“巧角”定义求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 若，则，解得， ，故与是一组“巧角”． （2）①解：根据题意可知，，， ， 可得，即， 与是一组“巧角”，则， 若，即， 则有， 解得； 若，即， 则有， 解得， 综上，或． ②解：如图，当折叠后与无重叠部分， ，，， ， ， ， 与是一组“巧角”， ， 当，即， 可得， 解得， ； 当，即， 可得， 解得， ； 如图，当折叠后与有重叠部分， ，，， ， ，即， ， ， 解得， 与是一组“巧角”， ， 当，即， 可得， 解得， ； 当，， 可得， 解得， ． 综上，或或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 轴对称及其性质 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 轴对称图形与对称轴 考点梳理 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于这条直线对称． 典例引领 考向01 轴对称图形的识别 【例1】下列图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】下列图形不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 考点02 两个图形成轴对称 考点梳理 1. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 2. 两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 至少有一条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称 3. 轴对称的性质 （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 典例引领 考向01 成轴对称的两个图形的识别 【例1】观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 考向02 根据成轴对称图形的特征进行判断 【例2】如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 考向03 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例3】如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【对点2】已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 【对点3】如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 考点03 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 考点梳理 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下： 步骤 理论依据 ①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点 对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线 ②连接这对对应点 ③作对应点所连线段的垂直平分线 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 典例引领 考向01 求对称轴条数 【例1】等腰梯形有_____条对称轴． 考向02 画对称轴 【例2】如图，A，D，B，E四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)仅用无刻度直尺画出该图形的对称轴．（保留作图痕迹） 考向03 画轴对称图形 【例3】如图，在中，请用尺规作图法，在下方作一点，连接、，使得和关于所在直线对称．（保留作图痕迹，不写作法） 对点提升 【对点1】如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【对点2】判断下列图形是否是轴对称图形，如果是，请画出其中的一条对称轴． (1) (2) (3) (4) 【对点3】如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形．（保留作图痕迹，写出结论） 考点04 轴对称变换 考点梳理 1. 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换，轴对称变换的实质就是图形的翻折，由翻折得到的图形是全等形． 2. 一个图形与其关于直线l对称的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 典例引领 考向01 折叠问题 【例1】如图，四边形为一张长方形纸片，点E，F分别为边上一点，将这张纸片沿折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考向02 设计轴对称图案 【例2】2025年12月10日，春晚官方发布了2026马年总台春晚的主题：寓意“奇迹”的四匹骏马，具有齐头并进、拾级而上视觉意象的“骐骥驰骋纹”．实际上这些美丽的图案可以看作是由基本图形经过图形变换而得．下面哪个图案可以由如图经过轴对称变换得到的轴对称图形（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】如图，把长方形纸片（， ）沿折叠，点B落在P点处，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【对点2】在的正方形网格中，已经有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形构成轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 考点05 作轴对称图形 考点梳理 1. 几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 2. 作轴对称图形的方法 （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连——按原图形依次连接各对称点． 典例引领 考向01 车牌号码的镜面对称 【例1】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 考向02 钟表的镜面对称 【例2】如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 考向03 电子钟示数的镜面对称 【例3】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 考向04 台球桌面上的轴对称问题 【例4】平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 考向05 轴对称中的光线反射问题 【例5】如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 对点提升 【对点1】小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【对点2】小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【对点3】电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 【对点4】如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【对点5】如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （  ） A． B． C． D． 2．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图1中，则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一张四边形纸片，，点，分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点，分别到了点，处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将长方形纸条沿折叠，使点落在处，点落在处．已知，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．一个长，宽的长方形，沿对角线对折后，得到一个新的图形（如图），其中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知长方形纸片，点和点分别是边和上的动点，点和点分别是边和上的点，现将点分别沿折叠至点，，若，且，则的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 10．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿折叠，点落在处，点落在，使得，若，则_____． 12．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，第一次沿着折叠，第二次沿着折叠，若，设的度数为，则的度数为______度（用含的代数式表示）． 13．一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，点落在的内部．若，，则的度数是______． 14．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______． 15．如图，把一张长方形纸片进行两次折叠，第一次沿折叠，第二次沿折叠，则 ______________． 3、 解答题 16．【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． (1)【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． (2)【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 17．如图，已知，点C在边上，请用尺规作图在的内部求作一点P，使得点P到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 18．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 19．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基本模型】在图1中，请直接写出，，之间的数量关系_____； (2)【类比探究】在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出，，三者之间的数量关系并说明理由； (3)【应用拓展】如图3，图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于点F，连接，若恰好平分，，求的度数． 20．综合与实践 【问题情境】 若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”．即若，则与是一组“巧角”（，）． (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“巧角”．并说明理由． 【拓展延伸】 (2)如图2，点为长方形的边上一点，点、点分别是射线，射线上一点，连接、，沿着、分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处，把记为，记为． ①如图3，当点、、三点共线时，与是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，与是一组“巧角”，且，请直接写出的度数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $