第3章 一次函数（知识清单）数学新教材湘教版八年级下册

第三章 一次函数 知识点1 一次函数的概念 一般地，形如的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数． 特别地，当时，，y叫做x的正比例函数． 知识点2 用描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点． 知识点3 一次函数的图象 （1）一次函数的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，画一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了．为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和． （2）正比例函数的图象是经过原点(0,0)的一条直线．画正比例函数的图象时，只需取一点(1,k)，再过原点和这一点画直线即可． 知识点4 一次函数的性质 一次函数的性质： （1）当时，一次函数的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大而增大． （2）当时，一次函数的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大而减小．反之亦成立． k，b的符号与一次函数图象的关系： 图象经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 知识点5 确定一次函数表达式 确定一次函数表达式关键在于确定k和b的值，通常用待定系数法．通过将已知条件代入中，得到方程或方程组，再求出k，b的值，从而确定一次函数表达式． 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设出含有待定系数的函数表达式； （2）把已知条件代入表达式，得到关于k，b的方程(组）； （3）解方程(组)求出待定系数k，b的值； （4）将求得的系数k，b的值代回所设函数表达式． 知识点6 正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的图象的关系 一般地，一次函数的图象可以由正比例函数的图象沿y轴向上()或向下()平移个单位长度得到． 一次函数图象平移的规律：将直线向上或向下或向左或向右平移n()个单位长度，则所得直线的表达式如下： 一．一次函数图象的画法（两点法） 对于 y=kx+b： 1.令 x=0，得 y=b，得点 (0,b)（与 y 轴交点）。 2.令 y=0，得 x=−​，得点 (−​,0)（与 x 轴交点）。 3.过这两点画直线，就是 y=kx+b 的图象。 【典例1】在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）列表，描点，然后连线即可画出图象； （2）首先得到，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 0 图象如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴． 【典例2】在同一平面直角坐标系中，分别作出下列一次函数的图象，并指出它们的图象之间有什么关系． （1）；（2）；（3）． 【答案】图见解析，直线、直线和直线互相平行 【详解】解：作图如下， ∴直线、直线和直线互相平行． 二．k、b 对图象的决定作用（重中之重） 1. 斜率 k 决定增减性、倾斜方向 k>0：直线从左向右上升，y 随 x 增大而增大； k<0：直线从左向右下降，y 随 x 增大而减小。 2. 截距 b 决定与 y 轴交点位置 b>0：直线与 y 轴交于正半轴； b=0：直线过原点（正比例函数）； b<0：直线与 y 轴交于负半轴。 【典例1】如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 三．一次函数图象经过的象限（必背） k>0,b>0：经过一、二、三象限 k>0,b<0：经过一、三、四象限 k<0,b>0：经过一、二、四象限 k<0,b<0：经过二、三、四象限 口诀：k 正一三走，k 负二四游；b 正交上，b 负交下。 【典例1】一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否符合，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于B、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于C、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 对于D、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意． 【典例2】一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．观察每个选项的函数图象，得出的取值范围，再进行分析，即可作答． 【详解】解：A、观察函数图象，得出经过第一、二、三象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，故，则异号，与相矛盾，故不符合题意； B、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； C、观察函数图象，得出经过第一、三、四象限，则，观察函数图象，得出经过第二、四象限，则异号，故符合题意； D、观察函数图象，得出经过第一、二、四象限，则，观察函数图象，得出经过第一、三象限，故，则同号，与相矛盾，故不符合题意； 故选：C 四．正比例函数 y=kx 的特殊性质 图象是过原点的直线； k>0，过一、三象限，y 随 x 增大而增大； k<0，过二、四象限，y 随 x 增大而减小。 【典例1】已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象经过第一、三象限，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （2）根据正比例函数中随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （3）根据点在该函数的图象上，把代入解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：函数图象经过第一、三象限， ， 解得：； （2）解：正比例函数中随的增大而减小， ， 解得：； （3）解：点在该函数的图象上， ， 解得：． 【典例2】已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较与的大小． 【答案】(1) (2)点A在图象上 (3)时， 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，正比例函数的性质与系数的关系，熟练掌握正比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）将点A的横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A是否在这个函数图象上； （3）根据正比例函数的增减性，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴这个函数解析式为． （2）解：当时，， ∴点在这个函数图象上． （3）解：∵， ∴y随着x增大而减小， ∵图象上的两点，，且， ∴． 五．两条直线的位置关系 设直线 l1:y=k1x+b1​，l2:y=k2x+b2​ k1=k2且 b1b2 ⟹ 平行 k1=k2且 b1=b2⟹ 同一条直线 k1k2 ⟹ 相交 【典例1】将一次函数的图象向上平移6个单位长度，则平移之后直线的解析式为______． 【答案】/ 【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移6个单位长度，则平移之后图象的解析式为：，即． 【典例2】已知函数． (1)若函数的图象平行于直线，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限，请直接写出一个符合条件的m的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知两条直线平行的条件以及一次函数图象所过象限与其系数的关系是解答此题的关键． （1）函数的图象平行于直线，说明，由此求得m的数值即可； （2）根据一次函数的增减性、图象所过象限与其系数的关系，列出关于m的不等式组，确定m的取值范围后任取一值即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象平行于直线， ∴， ∴； （2）解：函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限， ∴且， ∴， ∴m的值可以是1． 重难点01 求自变量的值或函数值 1．函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式型函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）列不等式求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故选：C． 2．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为0），确定自变量需满足的条件，解不等式取公共范围即可． 【详解】解：∵要使函数有意义，需同时满足二次根式和分式的要求， ∴ ∴且． 3．函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且． 4．下面表格表示在个月之间，这个婴儿的体重y与月龄x之间的关系． 月龄x/月 1 2 3 4 5 体重 4200 4900 5600 6300 7000 (1)如表反映的变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)利用表中数据直接写出该婴儿体重y（g）和月龄x（月）之间的关系式为______； (3)假设该变化规律不变，请计算这个婴儿第8个月时体重是多少？ 【答案】(1)月龄x，体重y (2) (3) 【分析】本题考查了变量的概念以及探究变量之间的关系，确定变量之间的关系是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义，结合题意，进行判断即可； （2）结合表格，根据每个月婴儿体重增加量不变，求得两个变量之间的关系； （3）根据第二问的结果，将代入函数关系式中，求得y的值即可． 【详解】（1）解：由表可知，体重y随着月龄x的变化而变化， 所以月龄x是自变量，体重y是因变量． 故答案为：月龄x，体重y； （2）解：． 故答案为：； （3）解：当时，， 答：这个婴儿第8个月时体重是． 5．今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 【答案】(1)销量x (2) (3)150 【分析】本题重点把握函数的表示的方法---解析法： （1）（2）根据表格即可求解；（3）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：上表这个关系中，自变量是销量x； （2）解：由表格可得； （3）解：当刺梨的销量为50千克时，销售额是（元）． 6．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度也不同，实验数据如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？关系式为？ (3)如果弹簧最大挂重为，你能预测当挂重为时，弹簧的长度是多少？ 【答案】(1)反映了所挂物体的质量与弹簧的长度两个变量之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)弹簧不挂物体时的长度是，随着x增大，y逐渐增大，y与x的关系式为 (3) 【分析】（1）根据表格即可确定两个变量之间的关系； （2）根据表格可知，x每增加，弹簧长度增加，即可求出y与x的关系式； （3）将代入函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据可得，上表反映了所挂物体的质量与弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：∵当所挂物体质量时，弹簧长度， ∴弹簧不挂物体时的长度是． 观察表格可知，x每增加，y增加， ∴随着x增大y逐渐增大. 结合弹簧原长可得y与x的关系式为； （3）解：∵，符合挂重要求， 把代入得，， 答：当挂重为时，弹簧的长度是． 7．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体（所挂物体质量不能超过），下面是测得的弹簧的长度与所挂物体质量的一组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 … 弹簧长度 18 20 22 24 26 … (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与之间的关系式； (3)当物体的质量为8.5kg时，根据（2）的关系式，求弹簧的长度． 【答案】(1)反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系，所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量 (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合“自变量”和“因变量”的定义进行分析解答即可； （2）根据表格中所给数据进行分析表示出与之间的关系式； （3）把代入（2）中的关系式计算即可． 【详解】（1）解：由题意和表中数据可知：上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系； 其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量； （2）解：由表中的数据可知：当所挂物体质量每增加1千克时，弹簧长度增加2厘米，当不挂重物时，弹簧长18厘米， ∴与之间的关系式为：； （3）解：当时，， ∴当所挂物体质量为时，弹簧长度为． 重难点02 函数的三种表示方法 1．关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A．当时，，即图象与y轴的交点坐标为，故选项A说法正确，不符合题意； B．因为，所以，即图象与x轴没有交点，故选项B说法错误，符合题意； C．因为，所以图象不经过第三、四象限，故选项C说法正确，不符合题意； D．函数图象关于y轴对称，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 3．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 4．表示变量之间关系的方法有列表法、______、______． 【答案】 解析式法 图象法 【详解】解：表示变量之间关系的常用方法有列表法、解析式法、图象法. 5．在关系式中，下列说法：是自变量，是因变量；可以选择任意实数；③是变量，它的值与无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是___________．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查函数，根据函数的基本概念，自变量和因变量的定义，函数的表示方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：在关系式 中，是自变量，是因变量，说法①正确； 的数值可以取任意实数，说法②正确； 是变量，但它的值随的变化而变化，与有关，说法③错误； 用关系式表示的函数可以用图象表示，说法④错误； 与的关系可以用列表法和图象法表示，说法⑤正确． 故答案为：①②⑤． 6．如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【答案】(1)； (2)当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【分析】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围； （2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义． 【详解】（1）解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为． 当时，，代入得； 当时，，代入得，解得． ∴函数关系式为． 漏刻容积为，底面积为，则最大水位． 令，则， 解得：． 自变量的取值范围为． （2）解：当时，，解得． 实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 7．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 重难点03 正比例函数的图象与性质 1．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象，掌握当时，正比例函数的图象经过第二、四象限是解决问题的关键． 根据正比例函数的图象与性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ 正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：B． 2．关于正比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象经过第一、第三象限 C．函数值随的增大而增大 D．图象经过原点 【答案】D 【分析】根据正比例函数的性质，结合中的情况，逐一判断每个选项的结论是否正确． 正比例函数的图象必经过原点；当时，图象经过第二、四象限，且随的增大而减小． 【详解】解：A、当 时，，故A错误，不符合题意； B、∵正比例函数中， ∴图象经过第二、四象限，故B错误，不符合题意； C、∵， ∴随的增大而减小，故C错误，不符合题意； D、正比例函数图象必经过原点，故D正确，符合题意． 故选：D． 3．正比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数中，当时函数的图象在一、三象限是解答此题的关键． 根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】解：由图象知，正比例函数的图象经过一、三象限， ∴， 故选：C． 4．已知点在正比例函数的图象上，那么这个函数的解析式为_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求正比例函数的解析式．设正比例函数解析式为，把点代入计算出的值，即可求解函数的解析式． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上，设正比例函数解析式为， ∴，则， ∴这个函数的解析式， 故答案为：． 5．如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 【答案】/ 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象与性质． 先由正比例函数的图象与性质得到，，然后通过取点作垂线求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三象限， ∴； ∵直线经过第二、四象限， ∴， 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； ∴， 故答案为：． 6．水龙头关不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏在一段时间内收集到的一组数据． 漏水时间 0 5 10 15 20 25 30 … 漏水量 0 4 8 12 16 20 24 … (1)求漏水量随漏水时间而变化的函数表达式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）漏水时间每增加，漏水量增加，即可求解． （2）利用描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解：观察表格发现，漏水时间每增加，漏水量增加， 所以． （2）解：利用描点法画出函数图象，如图： 7．如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形、求正比例函数的解析式． （1）根据点的横坐标为3，的面积为3，求出，由点在第四象限，得出点坐标为，把代入求解，即可得出正比例函数的解析式； （2）设，根据的面积为，建立方程，解方程得出，即可得出点的坐标即可． 【详解】（1）解： 点A在第四象限，点A的横坐标为3，且的面积为3， 点A的纵坐标为， 点A的坐标为． 正比例函数的图象经过点A， ，解得， 正比例函数的解析式为． （2）解：存在． 设， ，， ，解得． 点P的坐标为或． 8．已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 【答案】(1)见详解 (2)随着的增大，直线与y轴的夹角减小 (3) 【分析】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． （1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 【详解】（1）解：依题意，令时，则，，，． 如图： （2）解：观察这些函数的图象可以发现，随着的增大直线与轴的夹角越小． （3）解：由（2）规律可知，， 由图可知， ∴ 故答案为：． 9．已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1)，图像见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与正比例函数的性质应用，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）先根据正比例函数表达式的定义，列出关于的方程，且，确定函数表达式为，然后画出图像； （2）依据正比例函数的增减性“系数为负时，随的增大而减小”，在的条件下，找到的最大值为，代入函数求出的最小值为． 【详解】（1）解：，且是关于的正比例函数， ，， ， ， 函数的图像如下图： ． （2）中，随的增大而减小，且， 当时，函数有最小值，最小值为． 答：函数的最小值． 重难点04 已知函数经过的象限求参数范围 1．若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则、的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】当时，若，则图象经过一、二、三象限；若，则图象经过一、三、四象限；当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，． 2．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，并能根据函数图象准确判断、的正负是解题的关键． 根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵一次函数的图象过二、三、四象限， ∴，，且， ∴A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 3．如图，已知一次函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 【详解】解：由图象可知，，， ∴． 4．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，且一次函数的图像经过一、二、四象限，则符合条件的所有整数m的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，解一元一次不等式组，正确理解不等式整数解的含义是关键．先根据一次函数经过的象限得到m的取值范围，再解不等式组，根据整数解个数得到另一范围，取交集后即可解答． 【详解】解：一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 解得， 解不等式组， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 不等式组的解集为， 不等式组有且只有4个整数解， 4个整数解为1，2，3，4， 可得， 解得， 结合， 得m的取值范围是， 符合条件的整数m为，，，共3个． 故选：C． 5．一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象经过原点 C． D．的值随值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图象及解析式逐项判断选项即可，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，直线经过第一、三、四象限，随的增大而增大，，故错误，正确； ∵， ∴当时，，直线不经过原点， 故错误； 故选：． 6．若一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大，且其图象不经过第二象限，则的值可以是______（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用一次函数的性质确定的取值范围，即可写出符合条件的值． 【详解】解：一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大， ， 一次函数图象不经过第二象限， ，解得， ， 的值可以是（答案不唯一）． 7．如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据函数图象与轴、轴负半轴相交判断出函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数过第二、三、四象限的性质且列不等式求解的取值范围； （2）根据一次函数“上加下减”的平移规律写出向上平移1个单位后的解析式，再利用原点坐标满足平移后的函数解析式，代入后列一元一次方程求解的值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，解得； （2）解：将向上平移1个单位长度后， 解析式为． ∵平移后的图象经过原点， ∴，解得． 8．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值 (3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限，请直接写出一个符合条件的m的值． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入解析式可得，计算即可得出结果； （2）根据函数的图象平行于直线得出，计算即可得出结果； （3）由题意可得，，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵函数，且函数图象经过原点， ∴将代入解析式可得， ∴； （2）解：∵函数，且函数的图象平行于直线， ∴， ∴； （3）解：∵这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限， ∴，， ∴， ∴符合条件的m的值为（答案不唯一）． 重难点05 一次函数图象平移与对称问题 1．在平面直角坐标系中，将一次函数向下平移3个单位，则平移后的图象与轴的交点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题．利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得到，进一步计算即可求解． 【详解】解：将函数的图象向下平移3个单位，得到， 当时，， 解得：， ∴平移后的图象与轴的交点坐标为， 故选：B． 2．若方程与图象重合，设n为满足上述条件的的组数，则n等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．有限多个但多于2 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质． 将方程与化为：，，根据两图象重合，对应项相等得到且，进而得到，开平方得到或，即可得到的组数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵方程与图象重合， ∴且， 即且， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，即； 当时，，即； 综上所述，满足上述条件的的组数有两组，即． 故选：C． 3．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 4．在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移了2个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了________． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积的计算，理解平移规律，正确计算是解题的关键．计算原直线与坐标轴围成的三角形面积和平移后直线与坐标轴围成的三角形面积，再求面积之差． 【详解】解：原直线与轴交于点，与轴交于点， 该直线与坐标轴围成的三角形的面积为； 平移后直线与轴交于点，与轴交于点， 该直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 故面积增加． 故答案为：4． 5．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 6．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键．根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 7．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若当时，，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数与坐标轴的交点问题． （1）函数图象经过原点的条件是时，，代入函数表达式可建立关于m的方程，解此方程即可得m的值； （2）两直线平行的关键特征是一次项系数相等，因此令给定函数的一次项系数等于已知直线的，建立方程求解m； （3）求函数图象与坐标轴的交点，需令和代入函数表达式求出m的值，得到函数解析式，再令即可求得与x轴的交点． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， ∴． （2）解：∵函数的图象平行于直线， ∴， ∴． （3）解：∵当时，， ∴， ∴，则函数关系式为， 当时，，解得：， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为． 8．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①或5；②存在，最小值为 (4)①③ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）①描点，连线，画出函数图象即可；②观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可 （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． （4）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）如图即为所求， （3）①根据图象可知当时，的值是或； 故答案为：或 ②观察函数图象，由图象可知，函数存在最小值，为；： （4）解：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线； ②当时，随的增大而增大； ③∵当时随的增大而减小．∴当时随的增大而减小． 故答案为：①③ 重难点06 一次函数的增减性应用1．直线满足（   ） 1．直线满足（   ） A．随增大而增大 B．一定不过第一象限 C．无论取何值，必过定点 D．与轴交于点 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵的符号不确定，当时，随增大而减小， ∴A错误，该选项不符合题意； B、当时，直线解析式为，经过第一象限， ∴B错误，该选项不符合题意； C、， ∵当，即时，无论取何值，恒成立， ∴直线必过定点， ∴C正确，该选项符合题意； D、令，代入解析式得， ∴直线与轴交于点，只有当即时，才交于点，由于的值不确定，因此直线不一定与轴交于点， ∴D错误，该选项不符合题意． 2．已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据一次函数的k值判断y随x的变化趋势，再比较两点横坐标的大小，即可得出与的大小关系． 【详解】解：∵直线中， ∴y随x的增大而减小， ∵，且点，都在直线上， ∴． 3．已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象性质判断出的取值范围，继而根据一次函数的性质进行判断即可. 【详解】解：∵一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数（）的图象经过二、三、四象限． 4．已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质和轴交点位置求出的取值范围，进而求出整数的值，得到一次函数解析式，再根据的取值范围求解的范围即可． 【详解】解：∵一次函数随的增大而减小， ∴， 解得， ∵函数图象与轴负半轴相交， ∴当时，， 解得， ∴， ∵为整数， ∴， ∴一次函数， 当时，则， 解得． 5．关于直线 ，下列说法正确的有______． ①点在l上；②l经过定点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④l经过第一、二、三象限． 【答案】①②③ 【分析】本题根据一次函数的图象与性质，对四个说法逐一判断，即可得到正确结论． 【详解】解：① 将代入直线解析式，得， 因此点在l上，故①正确； ② 将代入直线解析式，得， 因此l经过定点，故②正确； ③ 当时，由一次函数的性质可知，y的值随x值的增大而增大，故③正确； ④ 当时，直线经过第二、三、四象限，只有当时，直线才经过第一、二、三象限，因此l不一定经过第一、二、三象限，故④错误． 综上，正确的说法是①②③． 6．一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质得出关于的不等式，再解不等式即可． 【详解】解：∵一次函数的值随值的增大而增大， ∴， 解得：， ∴常数的取值范围为． 7．若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 【答案】> 【分析】先根据平方的非负性判断一次项系数的符号，得到一次函数的增减性，再根据两点纵坐标的大小关系，比较横坐标的大小，进而判断与的大小关系． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 根据一次函数的性质，当一次项系数小于时，随的增大而减小． 因为点，在该直线上，且， 所以， 所以． 8．已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】（1）根据一次函数的性质得到当y随x的增大而增大时，，求解即可； （2）根据一次函数的性质得到函数图象与y轴的交点在x轴的下方时，且，求解即可； （3）把原点代入解析式，求解即可． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而增大， ∴， ∴． （2）解：∵一次函数图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴，， ∴且． （3）解：∵一次函数图象经过原点， ∴， 解得． 9．已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据增减性和图象与轴的交点，得到且，再根据为整数即可求解； （2）结合（1）的结果，得到函数解析式，即可得到的范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小， ∴且，解得：， ∵为整数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴． 重难点07 一次函数与二元一次方程的关系 1．一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的解为直线与x轴交点横坐标，结合函数图象，得出答案即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴当，， ∴方程的解为． 2．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______． 【答案】/ 【分析】延长交x轴于点D，证明，求得点D坐标，运用待定系数法求直线的解析式，从而求得点C坐标． 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点D， ∵这束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点， ∴设，由反射定律可知， ， ∴， ∵于， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则将点，点代入得 ， ∴， ∴直线为， 当时，， ∴点C坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 4．如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先将不等式整理为，再根据直线在直线上方部分确定自变量取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴． 观察图像可知当时，， ∴当时， ， 所以不等式的解集是， 即不等式的解集是． 5．一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标是；的值是． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （）由题意可以求得的值，然后将代入即可求得点的坐标； 根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标是， 当时，， ∴点的坐标是； ∵， ∴，解得， 即的值是． 6．一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)当____________时，； (3)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1), (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）联立两个一次函数解析式求解交点坐标，再令求解点坐标； （2）通过交点坐标确定不等式的解集； （3）设点的坐标为，根据三角形的面积，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴点的坐标为； 当时，， 解得， ∴； （2）解：∵， 由图形可知，当时，； （3）解：设点的坐标为． ，且， ， 即， ， ∴点的坐标为或． 7．（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，考查了函数图象的画法：列表、描点、连线． （1）根据函数图象的画法：描点、连线分别画出两个一次函数的图象． （2）观察图象，两直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：（1）函数，当时，；当时，； 则函数图象经过点，； 函数，当时，； 则图象经过点，． 作图如下： （2）根据图象可得：两直线交点为， 则方程组的解为． 重难点08 一次函数的应用 1．2020年新型冠状病毒肺炎疫情肆虐，全民自觉防疫抗疫．某小区物业为了给小区消毒，特采购一批84消毒液和医用酒精．已知2瓶84消毒液和1瓶医用酒精共需31元，2瓶84消毒液和3瓶医用酒精共需54元． (1)求84消毒液和医用酒精每瓶的单价； (2)已知该小区需要采购两种防疫物资共60瓶，且医用酒精的数量不少于84消毒液数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)84消毒液和医用酒精每瓶的单价分别为元和元 (2)最省钱的购买方案为：购买84消毒液20瓶，医用酒精40瓶，理由见解析 【分析】（1）设84消毒液和医用酒精每瓶的单价分别为x元和y元，根据“2瓶84消毒液和1瓶医用酒精共需31元，2瓶84消毒液和3瓶医用酒精共需54元”列方程组求解； （2）设采购84消毒液m瓶，则采购医用酒精瓶，根据题意列出不等式求出，设购买的总费用为w元，表示出，然后利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设84消毒液和医用酒精每瓶的单价分别为x元和y元， 根据题意得， 解得， ∴84消毒液和医用酒精每瓶的单价分别为元和元； （2）解：设采购84消毒液m瓶，则采购医用酒精瓶， 根据题意得， 解得， 设购买的总费用为w元， 根据题意得， ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，w有最小值，最小值为元． ∴（瓶） ∴最省钱的购买方案为：购买84消毒液20瓶，医用酒精40瓶． 2．某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍．设学校购买篮球m个． ①求m的取值范围； ②m为何值时，学校花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)答案不唯一，见解析，每个篮球60元，每个足球50元 (2)①且m为整数；②当购买篮球4个的时候，所花费用最少，且最少费用为540元 【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）①设篮球有m个，则足球有个，，根据题意，列出不等式求出m的范围，即可；②设购买的总费用是w元，根据题意，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得： 或或， 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）解：①设篮球有m个，则足球有个，根据题意得： ， 解得：且m为整数． ②设购买的总费用是w元， ， ， ∴w随着m的减小而减小； 且m为整数， ∴当m最小值为4时，w最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少，且最少费用为540元． 3．周末，小钱从家里出发，乘车去书店买书，小钱离家的路程（千米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)求书店离小钱家多少千米． (2)请求出小钱从书店回到家这一段时间内，关于之间的函数关系式，并计算第18分钟时，小钱离家还有多少千米． 【答案】(1)书店离小钱家2千米 (2)第18分钟时，小钱离家还有千米 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）求出当时关于之间的函数关系式，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，书店离小钱家2千米； （2）解：当时，设函数表达式是， 将点代入得： ， 解得， 所以， 当时，． 答：第18分钟时，小钱离家还有千米． 4．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 5．如图，表示某电动车厂一天的销售收入与销售量x之间的关系；表示该电动车厂一天的销售成本与销售量x之间的关系． (1)求出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)求出销售成本与销售量之间的函数关系式； (3)当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利（利润收入成本）？ 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （3）由题意可知，当时工厂获利，然后解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设， ∵过点， ∴， 解得， ∴． ∴销售收入与销售量之间的函数关系式为． （2）解：设， ∵过点和 ∴， 解得， ∴销售成本与销售量之间的函数关系式． （3）解：由题意可知，当时工厂获利， 即， 解得， ∴当一天的销售量超过4辆时，工厂才能获利． 6．当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②P的坐标为或或 【分析】（1）由点M为“完美点”，且横坐标为2，可得，求得n值即可求解； （2）设“完美点”，由，m，n是非零实数，可得，则故P在直线上； （3）①先求得，由（2）知“完美点”E在直线上，解方程组求得，进而可求解； ②，，分两种情况：当时和当时，利用全等三角形的对应边相等列方程求得a值即可解答． 【详解】（1）解：∵点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴ 解得， 则， 点M的纵坐标为 3； （2）解：设“完美点”， ∵，m，n是非零实数， ∴， ∴， ∴P在直线上； （3）解：①在中，令得，令得， ∴，， ∵ ∴， 由（2）知“完美点”E在直线上，又点E在直线上的“完美点”， 解方程组得， ∴， ∴的面积为； ②由，，得, ，， 设，， 当时，如图： ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图： ∴， ∴, 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次函数 知识点1 一次函数的概念 一般地，形如的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数． 特别地，当时，，y叫做x的 ． 知识点2 用描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1） ：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2） ：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3） ：顺次连接描出的各点． 知识点3 一次函数的图象 （1）一次函数的图象是 ．由于两点确定一条直线，画一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了．为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和． （2）正比例函数的图象是经过 的一条直线．画正比例函数的图象时，只需取一点(1,k)，再过原点和这一点画直线即可． 知识点4 一次函数的性质 一次函数的性质： （1）当时，一次函数的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大而 ． （2）当时，一次函数的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大而 ．反之亦成立． k，b的符号与一次函数图象的关系： 图象经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 知识点5 确定一次函数表达式 确定一次函数表达式关键在于确定k和b的值，通常用待定系数法．通过将已知条件代入中，得到方程或方程组，再求出k，b的值，从而确定一次函数表达式． 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设出含有待定系数的函数表达式； （2）把已知条件代入表达式，得到关于k，b的方程(组）； （3）解方程(组)求出待定系数k，b的值； （4）将求得的系数k，b的值代回所设函数表达式． 知识点6 正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的图象的关系 一般地，一次函数的图象可以由正比例函数的图象沿y轴向上()或向下()平移 个单位长度得到． 一次函数图象平移的规律：将直线向上或向下或向左或向右平移n()个单位长度，则所得直线的表达式如下： 一．一次函数图象的画法（两点法） 对于 y=kx+b： 1.令 x=0，得 y=b，得点 (0,b)（与 y 轴交点）。 2.令 y=0，得 x=−​，得点 (−​,0)（与 x 轴交点）。 3.过这两点画直线，就是 y=kx+b 的图象。 【典例1】在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 【典例2】在同一平面直角坐标系中，分别作出下列一次函数的图象，并指出它们的图象之间有什么关系． （1）；（2）；（3）． 二．k、b 对图象的决定作用（重中之重） 1. 斜率 k 决定增减性、倾斜方向 k>0：直线从左向右上升，y 随 x 增大而增大； k<0：直线从左向右下降，y 随 x 增大而减小。 2. 截距 b 决定与 y 轴交点位置 b>0：直线与 y 轴交于正半轴； b=0：直线过原点（正比例函数）； b<0：直线与 y 轴交于负半轴。 【典例1】如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 三．一次函数图象经过的象限（必背） k>0,b>0：经过一、二、三象限 k>0,b<0：经过一、三、四象限 k<0,b>0：经过一、二、四象限 k<0,b<0：经过二、三、四象限 口诀：k 正一三走，k 负二四游；b 正交上，b 负交下。 【典例1】一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．B． C． D． 【典例2】一次函数与（），在同一平面直角坐标系的图像是（   ） A．B．C． D． 四．正比例函数 y=kx 的特殊性质 图象是过原点的直线； k>0，过一、三象限，y 随 x 增大而增大； k<0，过二、四象限，y 随 x 增大而减小。 【典例1】已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 【典例2】已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较与的大小． 五．两条直线的位置关系 设直线 l1:y=k1x+b1​，l2:y=k2x+b2​ k1=k2且 b1b2 ⟹ 平行 k1=k2且 b1=b2⟹ 同一条直线 k1k2 ⟹ 相交 【典例1】将一次函数的图象向上平移6个单位长度，则平移之后直线的解析式为______． 【典例2】已知函数． (1)若函数的图象平行于直线，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限，请直接写出一个符合条件的m的值． 重难点01 求自变量的值或函数值 1．函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 3．函数中自变量x的取值范围是______． 4．下面表格表示在个月之间，这个婴儿的体重y与月龄x之间的关系． 月龄x/月 1 2 3 4 5 体重 4200 4900 5600 6300 7000 (1)如表反映的变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)利用表中数据直接写出该婴儿体重y（g）和月龄x（月）之间的关系式为______； (3)假设该变化规律不变，请计算这个婴儿第8个月时体重是多少？ 5．今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 6．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度也不同，实验数据如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？关系式为？ (3)如果弹簧最大挂重为，你能预测当挂重为时，弹簧的长度是多少？ 7．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体（所挂物体质量不能超过），下面是测得的弹簧的长度与所挂物体质量的一组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 … 弹簧长度 18 20 22 24 26 … (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与之间的关系式； (3)当物体的质量为8.5kg时，根据（2）的关系式，求弹簧的长度． 重难点02 函数的三种表示方法 1．关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 2．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 3．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 4．表示变量之间关系的方法有列表法、______、______． 5．在关系式中，下列说法：是自变量，是因变量；可以选择任意实数；③是变量，它的值与无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是___________．（填序号） 6．如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 7．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 重难点03 正比例函数的图象与性质 1．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．关于正比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象经过第一、第三象限 C．函数值随的增大而增大 D．图象经过原点 3．正比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．无法判断 4．已知点在正比例函数的图象上，那么这个函数的解析式为_______ ． 5．如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 6．水龙头关不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏在一段时间内收集到的一组数据． 漏水时间 0 5 10 15 20 25 30 … 漏水量 0 4 8 12 16 20 24 … (1)求漏水量随漏水时间而变化的函数表达式； (2)画出这个函数的图象． 7．如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 9．已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； (2)若，求函数的最小值． 重难点04 已知函数经过的象限求参数范围 1．若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则、的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知一次函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，且一次函数的图像经过一、二、四象限，则符合条件的所有整数m的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象经过原点 C． D．的值随值的增大而增大 6．若一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大，且其图象不经过第二象限，则的值可以是______（写出一个即可） 7．如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 8．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值 (3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限，请直接写出一个符合条件的m的值． 重难点05 一次函数图象平移与对称问题 1．在平面直角坐标系中，将一次函数向下平移3个单位，则平移后的图象与轴的交点为（   ） A． B． C． D． 2．若方程与图象重合，设n为满足上述条件的的组数，则n等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．有限多个但多于2 3．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移了2个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了________． 5．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 6．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 7．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若当时，，求该函数图象与x轴的交点坐标． 8．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 0 ．．． 则___________，___________； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据图象可知当时，的值是___________； ②观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值： (4)下列关于该函数性质的描述正确的是___________（填序号）． ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，随的增大而增大； ③当时随的增大而减小． 重难点06 一次函数的增减性应用1．直线满足（   ） 1．直线满足（   ） A．随增大而增大 B．一定不过第一象限 C．无论取何值，必过定点 D．与轴交于点 2．已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 3．已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．关于直线 ，下列说法正确的有______． ①点在l上；②l经过定点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④l经过第一、二、三象限． 6．一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为______． 7．若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 8．已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点． 9．已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 重难点07 一次函数与二元一次方程的关系 1．一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 4．如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 5．一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 6．一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)当____________时，； (3)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 7．（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 重难点08 一次函数的应用 1．2020年新型冠状病毒肺炎疫情肆虐，全民自觉防疫抗疫．某小区物业为了给小区消毒，特采购一批84消毒液和医用酒精．已知2瓶84消毒液和1瓶医用酒精共需31元，2瓶84消毒液和3瓶医用酒精共需54元． (1)求84消毒液和医用酒精每瓶的单价； (2)已知该小区需要采购两种防疫物资共60瓶，且医用酒精的数量不少于84消毒液数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)84消毒液和医用酒精每瓶的单价分别为元和元 (2)最省钱的购买方案为：购买84消毒液20瓶，医用酒精40瓶，理由见解析 【分析】（1）设84消毒液和医用酒精每瓶的单价分别为x元和y元，根据“2瓶84消毒液和1瓶医用酒精共需31元，2瓶84消毒液和3瓶医用酒精共需54元”列方程组求解； （2）设采购84消毒液m瓶，则采购医用酒精瓶，根据题意列出不等式求出，设购买的总费用为w元，表示出，然后利用一次函数的性质求解． 2．某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍．设学校购买篮球m个． ①求m的取值范围； ②m为何值时，学校花费最少，最少费用是多少？ 3．周末，小钱从家里出发，乘车去书店买书，小钱离家的路程（千米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)求书店离小钱家多少千米． (2)请求出小钱从书店回到家这一段时间内，关于之间的函数关系式，并计算第18分钟时，小钱离家还有多少千米． 4．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 5．如图，表示某电动车厂一天的销售收入与销售量x之间的关系；表示该电动车厂一天的销售成本与销售量x之间的关系． (1)求出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)求出销售成本与销售量之间的函数关系式； (3)当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利（利润收入成本）？ 6．当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $