3.5 一次函数与二元一次方程的关系 学案 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第3章 一次函数 3.5 一次函数与二元一次方程的关系 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.理解二元一次方程与一次函数的对应关系，能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 3.掌握一次函数图象与x轴交点坐标的求法，提升代数与几何的转化能力。 4.感受方程与函数的内在联系，发展逻辑思维。 学习重点： 二元一次方程与一次函数的相互转化，以及两者的对应关系。 学习难点： 理解“方程的解”与“函数图象上的点”的一一对应关系。 ► 学习过程 一、复习回顾 回顾：1.什么是二元一次方程？ 2.什么是二元一次方程的解？ 3.一个二元一次方程有多少个解？ 二、新知探究 探究：一次函数与二元一次方程 教材第108页 【议一议】(1) (4，1)与(1，7)是二元一次方程的解吗？方程还有其他解吗？如有，再说出几个. (2) 给定一个二元一次方程，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗？ 【思考】(1)一次函数的图象上任一点的坐标都是二元一次方程的解吗？ (2)以二元一次方程的解为坐标的点组成的图形是一次函数的图象吗？ 【抽象】在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数y=x的图象. 三、例题精讲 例1在平面直角坐标系中，画出二元一次方程表示的直线. 例2如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P(0，2)，Q(4，5)两点，哪个二元一次方程表示这条直线？ 【议一议】关于x，y的二元一次方程kxy+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标是什么？你的结果与其他同学相同吗？ 归纳：二元一次方程kxy+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标是_____________. 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.一次函数和一次函数的图象的交点坐标是，据此可知方程组的解为(　　) A． B． C． D． 2.如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3.如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 选做题 4.如图，一次函数与图象的交点为，则方程组的解为　 　． 5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于、的二元一次方程组的解为　 　 ． 6.如图，点A的坐标可以看成是方程组　 　的解． 【综合拓展类作业】 7.利用一次函数的图象求二元一次方程组的解。 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么? 六、作业布置 1.若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数（　　） A． B．1 C． D．2 2.已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.正比例函数（为整数）的图象与直线的交点恰好是整点（横、纵坐标都是整数的点称为整点），那么满足条件的正比例函数有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 4.已知直线与的交点坐标为(1，)，试确定方程组的解和的值. 答案解析 课堂练习： 1.【答案】A 【解析】解：由题意可知：的解为： 故选A. 2.【答案】A 【解析】解：∵直线y=-2x+5与y=kx+b交点的横坐标为1 ∴将x=1代入直线y=-2x+5，可得y=3 ∴直线y=-2x+5与y=kx+b交点坐标为(1，3) ∴关于x，y的二元一次方程组的解是 故答案为：A 3.【答案】A 【解析】解：由图可知：直线过，，因此直线的函数解析式为：； 直线过，，因此直线的函数解析式为：； 因此所求的二元一次方程组为：即 故答案为：A 4.【答案】. 【解析】解：如图， ∵一次函数与图象的交点为， ∴方程组的解为． 故答案为：. 5.【答案】 【解析】解：∵ 一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为3， ∴当x=3时，y=3+1=4， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 6.【答案】 【解析】解：设过点（0，5）和点（2，3）的解析式为y=kx+b，则，解得，所以该一次函数解析式为y=﹣x+5； 设过点（0，﹣1）和点（2，3）的解析式为y=mx+n，则，解得，所以该一次函数解析式为y=2x-1， 所以点A的坐标可以看成是方程组解． 故答案为． 7.【答案】解：对于方程=1，移项可得1， 对于方程=1，移项可得， 进一步变形为， 在同一平面直角坐标系中分别画出1和的图象如下图： 通过观察图象，我们发现它们的交点坐标是(2，1)， 所以二元一次方程组的解为. 作业布置： 1.【答案】D 【解析】解：因为以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上， 把可以变形为， 与对照即可得到， ， 解得：， 故选：D． 2.【答案】B 【解析】解：将代入可得： ， 方程组的解是， 直线与的交点坐标为，在第二象限． 故选：B． 3.【答案】C 【解析】解：联立得 解得 因为x为整数， 所以k-1=±8，±4，±2，±1， 所以k=9，-7，5，-3，3，-1，2，0. 又因为k≠0， 所以满足条件的k值有7个，即满足条件的正比例函数有7个. 故答案为：C. 4．【答案】解：将(1，)的坐标代入，得=2. ∴直线与的交点坐标为(1，2). ∴方程组的解是 将(1，2)的坐标代入，得2=， 解得=3. 学科网（北京）股份有限公司 $