3.6 一次函数的应用（2） 学案 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第3章 一次函数 3.3 一次函数的应用（2） ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.能根据实际数据建立一次函数模型，了解模型的适用范围与预测局限性。 2.理解分段一次函数的意义，能写出阶梯类问题的函数表达式。 3.会利用分段函数解决实际计费问题，提升数据分析与建模能力。 4.体会数学模型与现实生活的联系，培养严谨的数据分析意识。 学习重点： 建立一次函数模型解决实际问题，掌握分段一次函数的表达式书写与应用。 学习难点： 理解一次函数模型的局限性，准确划分分段函数的自变量取值范围。 ► 学习过程 一、复习回顾 建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤： 1.分析已知数据的变化规律，确定合理的函数模型； 2.设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数据求出函数表达式； 3.进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式； 4.应用这个函数模型解决实际问题. 二、探究新知 探究：建立一次函数模型进行预测 教材第114页 【做一做】在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑杆跳高的纪录如下表所示： 观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑杆跳高纪录与奥运年份的关系建立一个函数模型. 【议一议】(1)你能利用公式y=0.05t+3.3估计1912年的奥运会男子撑杆跳高纪录吗？ (2)你能利用公式y=0.05t+3.3估计1988年的奥运会男子撑杆跳高纪录吗？ (3)查阅相关记录，与(1)(2)中结果比较，你能发现什么？ 【归纳】预测只能在邻近数据区域，所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的. 三、例题探究 探究二：分段函数的应用 例2某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度，规定：每户居民每月用电量不超过200kW·h时，按0.6元/(kW·h)收费；若超过200kW·h，则超出部分每1kW·h加收0.3元. (1)写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式； (2)画出这个函数的图象； (3)小玲家3月份、4月份分别用电150 kW·h和220 kW·h，各应缴纳电费多少元？ 【归纳】在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意：1.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示同一个函数 . 2.分段函数在不同的自变量取值范围内对应的表达式不同. 3.表示分段函数时，每一段函数表达式后面必须加上自变量的取值范围 . 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.甲、乙两人沿同一跑道从A处跑到B处。乙比甲先出发2分钟，甲的速度为每分钟150米。若两人之间的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）的关系如图所示，则A、B两地的路程为（　　） A．1800米 B．2000米 C．2400米 D．2500米 2.“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图象，她们出发2.3小时后，离目的地还有（　　）千米． A．48 B．32 C．28 D．22 3.甲、乙两地之间是一条直路，小红跑步从甲地到乙地，小刚步行从乙地到甲地，两人之间的距离y（单位：米）与小刚步行时间x（单位：分），下列说法错误的是（　　） A．小红跑步的速度为米/分 B．小刚步行的速度为米/分 C． D．小红到达乙地时，小刚离甲地还有米 选做题 4.某市出租车计价方式如下：行驶距离在以内（含）付起步价元，超过后，每多行驶加元，乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为 ． 5.我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费(元)与用水量(吨)之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水吨，则应交水费 元． 6.在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图．则小明打了6分钟需付费　 　元． 【综合拓展类作业】 7.转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往外的老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： （1）求图中段y与x之间的函数关系式． （2）求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？ 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么? 六、作业布置 1.快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地.慢车先出发1小时，快车再出发.设慢车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与的函数关系如图所示.下列结论：①快车出发4.4小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米／小时；③线段AB所在直线的函数表达式为，正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 2.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，其中有的价格仍为7元，超出部分的价格为5元．有下列结论： ①若小王在甲、乙两个批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为； ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为，则他在甲、乙两个批发店中的乙批发店购买花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的甲批发店购买数量多． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是　 　． 4.智能手机的出现，让生活变得更加便捷，同时也使大家对手机流量有了新的需求。某移动公司现推出两种流量套餐，流量费均为30元每月，其中A套餐的优惠方案是：先缴纳54元的办卡费，而后每月的流量收费享七折优惠；B套餐的优惠方案是：不需要缴纳办卡费，流量套餐使用超过10个月后，从第十一个月开始每月流量收费享五折优惠.设套餐使用x（月)，A套餐的总流量费为（元)，B套餐的总流量费为（元). （1）B套餐一年的总流量费为　 　元； （2）求与x的关系式； （3）如何根据使用时间长短确定选择哪种套餐更实惠? 答案解析 课堂练习： 1.【答案】C 【解析】解：由图象可得，乙的速度为： (米/分钟) ， 解得 设甲到达终点用的时间为b， 解得 ∴A、B两地的路程为： (米)， 故答案为：C. 2.【答案】D 【解析】解：当时，设， 将和代入解析式得， 解得：， 当时，， 当时，（千米）， 距离目的地还有：（千米）， 故选：D． 3.【答案】C 【解析】解：∵（米/分）， ∴小刚步行的速度为米/分；故B选项正确； ∵（米/分）， ∴（米/分）， ∴小红跑步的速度为米/分，故A选项正确； ∵（分）， ∴，故C选项错误； 小红到达乙地时，小刚离甲地还有（米）；故D选项正确， 故选：C． 4.【答案】 【解析】解：根据题意可列函数表达式为：y=5+1.4（x-2.5）=1.4x+1.5， ∴费用（元）与距离之间的函数表达式为． 故答案为：． 5.【答案】 【解析】解：当x＞10时，设y关于x的函数关系式为y=kx+b（x＞10），将点（10，18）与点（15，31）代入y=kx+b（x＞10）得， 解得 ∴y=2.6x-8（x＞10）， 将x=20代入y=2.6x-8得y=2.6×20-8=44， 即当用水20吨时，应交水费44元.故答案为：44． 6.【答案】 【解析】解：由图形可得： 当时，元． 当时，设y与x的解析式为． 将与代入， 得：． 解得：． ∴． ∵， ∴小明打了6分钟应付费为元． 故答案为：1.8． 7.【答案】（1）解：设BC段y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）， 据图可知，点B（2，100），点C（4，240）， 把点B、点C的坐标代入函数关系式为y=kx+b，得： ， 解得：， ∴（2≤x≤4）， 答：BC段y与x之间的函数关系式为（2≤x≤4）. （2）解：据图可知，当小王与丈夫离家170千米时正在BC段上， 将y=170代入得：， 解得：x=3， 答：小王与丈夫离开家3小时后，离家的距离为170千米． 作业布置： 1.【答案】D 【解析】解：由题意可知，甲、乙两地之间的距离是960千米，慢车行驶12小时， ∴慢车的速度为（千米/小时），②错误； 由图象可知，慢车出发5.4小时后两车相遇，而快车比慢车晚出发1小时 ∴5.4-1=4.4（小时）， ①快车出发4.4小时后两车相遇 ，正确； 慢车9小时行驶了80×9=720（千米） ∴B（9，720） 设AB所在直线解析式为y=kx+b（k≠0） 解得： AB所在直线解析式为， ③线段AB所在直线的函数表达式为，正确； 故答案为：D. 2.【答案】C 【解析】解：设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为，在甲批发店花费元，在乙批发店花费元， 根据题意得， ①当时，，则：时，有：，解得（舍）. ②当时，，则： 时，也有：，解得：. ∴他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克，故①错误. 当时，元，元， ∵， ∴乙批发店花费少，故②正确. ③当时，则：或；解得或， ∵， ∴甲批发店购买数量多，故③正确. 故答案为：C． 3.【答案】 【解析】解：由题意得，南海至北海的距离为d， ∴，， 联立函数解析式得： 解得：， ∴交点M的横坐标是； 故答案为：． 4．【答案】（1）330 （2）解：当时，； 当时，； （3）解：根据题意，， 当，，解得：， 当时，，解得：， 如图， 当或时，，选择套餐更划算； 当时，，选择套餐更划算； 当或16时，，两种套餐都可以． 学科网（北京）股份有限公司 $