精品解析：黑龙江绥化市第八中学校2025--2026学年下学期九年级数学期中测试卷

初三数学期中测试卷 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A中未说明，当时方程不是二次方程，故A不符合要求； 选项B中分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求； 选项C整理方程：左边展开得，原方程变为，移项整理得，是一元一次方程，故C不符合要求； 选项D中，是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，故D符合要求． 2. 已知一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为2和3，则b,c的值分别为（     ） A. 5，6 B. -5，-6 C. 5，-6  D. -5，6 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到2+3=-b，2×3=c，然后可分别计算出b、c的值． 【详解】根据题意得2+3=-b，2×3=c， 解得b=-5，c=6． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=． 3. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故选：A． 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，有最大值为7 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次函数，， ∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△≥0，解得即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当∆≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 6. 已知实数m，n满足，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 5或3 D. 或5 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，解一元二次方程，再利用偶次方的非负性舍去不符合题意的解，得到最终结果即可． 【详解】解：设， ∵任意实数的平方为非负数， ∴， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去 因此． 7. 流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传播问题），先设每轮传染中平均一人传染了x人，再根据“经过两轮传染后共有100人患病”，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病， ∴， 故选：A． 8. 已知点、、在抛物线，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质比较函数值大小，先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下时，点到对称轴的距离越大，函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵，，，且， ∴． 9. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 10. 已知二次函数的最小值为，若一元二次方程没有实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数最值得到系数关系，再结合一元二次方程无实根的判别式性质求解的范围． 【详解】解：根据题意，得， 整理得， ∵一元二次方程没有实根， ∴判别式， 整理得， 将代入不等式得， 解得． 11. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降2米后，水面的宽度为（ ）米 A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当坐标系，设出函数解析式，把代入解析式求出a，然后把代入解析式即可． 【详解】解：以水面所在直线为x轴，以过拱顶垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 根据题意设二次函数解析式为：， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴水面的宽度为（米）． 12. 已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象判断出，由对称轴判断出，即可判断①②；由图象得当时，有，即可判断③；再利用二次函数与一元二次方程的关系即可判断④⑤． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点的横坐标，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有②③⑤． 二、填空：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 13. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【解析】 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 14. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线有最低点说明抛物线开口向上，则二次项系数大于0，由此可以确定的取值范围． 【详解】解：抛物线有最低点， ， 解得． 15. 将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果. 【详解】解： ， 即. 16. 已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】 ， 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 17. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．则全班有_____名学生． 【答案】 30 【解析】 【分析】设全班有名学生，可得每名同学需要给名同学写留言，根据总留言数为列出一元二次方程，求解后舍去不合实际意义的解即可得到答案． 【详解】解：设全班有名学生， 根据题意，列方程得， 整理得， 解得，（舍去）， 则全班有名学生． 18. 已知和是关于的方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程的解满足方程以及根与系数的关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ． 19. 如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，掌握二次函数图象与不等式之间的关系是解题关键． 根据图象判断函数值的大小关系即可． 【详解】解：由图象可知，在点A的左侧和点B的右侧，抛物线在直线的上方， 故当或时，， 故答案为： 或． 20. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，结合题意，得出，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：记关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数， ∴， 即，， ∴， 故答案为：． 21. 随着经济的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人选择乘飞机出行．某种型号的飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间（单位：s）的函数关系式为，那么飞机着陆后滑行_____s停下． 【答案】20 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，可以将其化为顶点式，取最大值时对应的时间即为所求； 【详解】解：∵， ∴当时，s取得最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，注意取最大值时对应的时间即为所求． 22. 已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案． 【详解】解：∵关于x的方程， ∴，，， ∴，， ∵是等腰三角形，、的长是关于x的方程的两根， ∴①当为底时，则、均为等腰三角形的腰，有且， ∴，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则； ②当为腰时，则、中一个为腰一个为底，有，即，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则． ∴综上所述，的值为或． 三、解答题：（共54分） 23. 解方程： （1）（因式分解法） （2）（配方法） （3）（公式法） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ，即 或 ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴； 【小问3详解】 解： ∴． 24. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 【答案】（1）且； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，且 ∴且； 【小问2详解】 由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 25. 已知二次函数 （1）求函数图象的顶点坐标及图象与轴的交点坐标． （2）画出图象，并根据图象直接回答： ①当时，的取值范围_____； ②当时，的取值范围_____． （3）当时，的取值范围是_____． 【答案】（1）顶点坐标为；图象与轴的交点坐标为 （2）函数图象见解析；①或；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式可求出顶点坐标，再求出函数值为0时x的值即可求出与x轴的交点坐标； （2）先画出函数图象，再利用函数图象解决①②即可； （3）根据解析式可得离对称轴越远，函数值越大，且函数的最小值为顶点的纵坐标，据此确定函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为； 在中，当时，， 解得， ∴图象与轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，的取值范围为或； ②由函数图象可知，当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∵， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大，且函数的最小值为顶点的纵坐标， ∵， ∴当时，函数在时确定最大值， ∴当时，． 26. 成都文殊院糕点以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从年开始销售文殊院糕点，当年销售额为万元，到年的销售额达到万元． （1）求该电商这两年销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某规格糕点的售价为元/件时，每天能售出件，售价每降价元，每天可多售出件．为了推广宣传，该电商决定对这个规格的糕点降价促销．同时尽量减少库存，已知该糕点的平均成本价为元/件，若要每天获利元，则每件售价应为多少元？ 【答案】（1）该电商这两年销售额的平均年增长率为 （2）每件售价应为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该电商这两年销售额的平均年增长率，根据题意列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件售价应降低元，则每件售价为元，每天可售出件，根据要每天获利元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该电商这两年销售额的平均年增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该电商这两年销售额的平均年增长率为； 【小问2详解】 解：设每件售价应降低元，则每件售价为元，每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得，， 要尽量减少库存， ， （元）． 答：每件售价应为元． 27. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）求与的函数解析式并写出的取值范围． （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． （3）求当的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）根据栅栏的总长度为可得关系式，再根据墙的长度和栅栏的长度建立不等式组求出x的取值范围即可； （2）根据矩形的面积公式建立方程求解即可； （3）根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 其中， ∴； 【小问2详解】 解：当时，则， 整理得， 解得或（舍去）， ∴当时，矩形实验田的面积S能达到； 【小问3详解】 解：由题意得， ∵， ∴当时，S随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：当时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是． 28. 如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，判断的形状； （3）若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值，并求出取得最大值时E点坐标． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3）面积的最大值，此时点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）把解析式设为顶点式，求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点B的坐标，可证明，据此可得结论； （3）过点E作轴交于点F，求出直线的表达式为；设，则，则，可求出，据此根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得或， ∴； ∵，， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：如图所示，过点E作轴交于点F， 设直线的表达式为，则， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 则，即此时点E的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学期中测试卷 一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为2和3，则b,c的值分别为（     ） A. 5，6 B. -5，-6 C. 5，-6  D. -5，6 3. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，有最大值为7 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而增大 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 已知实数m，n满足，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 5或3 D. 或5 7. 流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 已知点、、在抛物线，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的最小值为，若一元二次方程没有实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降2米后，水面的宽度为（ ）米 A. B. C. 6 D. 12. 已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 二、填空：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 13. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 14. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____． 15. 将二次函数化为的形式，结果为_____． 16. 已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 17. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．则全班有_____名学生． 18. 已知和是关于的方程的两个根，则的值为_____． 19. 如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______． 20. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，则实数m的取值范围是__________． 21. 随着经济的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人选择乘飞机出行．某种型号的飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间（单位：s）的函数关系式为，那么飞机着陆后滑行_____s停下． 22. 已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 三、解答题：（共54分） 23. 解方程： （1）（因式分解法） （2）（配方法） （3）（公式法） 24. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 25. 已知二次函数 （1）求函数图象的顶点坐标及图象与轴的交点坐标． （2）画出图象，并根据图象直接回答： ①当时，的取值范围_____； ②当时，的取值范围_____． （3）当时，的取值范围是_____． 26. 成都文殊院糕点以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从年开始销售文殊院糕点，当年销售额为万元，到年的销售额达到万元． （1）求该电商这两年销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某规格糕点的售价为元/件时，每天能售出件，售价每降价元，每天可多售出件．为了推广宣传，该电商决定对这个规格的糕点降价促销．同时尽量减少库存，已知该糕点的平均成本价为元/件，若要每天获利元，则每件售价应为多少元？ 27. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）求与的函数解析式并写出的取值范围． （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． （3）求当的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 28. 如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，判断的形状； （3）若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值，并求出取得最大值时E点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $