16.专题复习卷(二) 勾股定理-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

真题圈数学 专题复习卷 八年级下RJ5E 16.专题复习卷（二） 湘粑 勾股定理 嫩 尽 命题点一 勾股定理的证明 州 岩期 1.数学文化（期末·东城区）如图①是我国古代著名的“赵爽弦 图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC =6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别 向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的 外围周长是( A.72 B.52 C.80 D.76 第1题图 第2题图 2.(期中·北京十四中)如图，△ABE,△BCF,△CDG,△DAH 是四个全等的直角三角形，其中，AE=5,AB=13,则EG的 长是( ) A.7√2 B.6W2 C.7 D.73 批 3.（期末·西城区)矩形纸片两邻边的长分别为a,b(a<b),连 接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方 式拼成正方形ABCD,其边长为a+b,图中正方形ABCD,正 方形EFGH和正方形MNPQ的面积之和为( ) A.2a2+2b2 B.2a2+3b2 C.3a2+3b2 D.4a2+4b2 Ha A D E M 加 阳 第3题图 第4题图 胞 4.（期中·北师大附中)在如图所示的图形中，所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑（阴影部分） 的四个正方形的面积的和是10cm,则图中正方形A的面积 为 cm2. 5.（期末·海淀区)如图，大正方形是由四个全等的直角三角形 和面积分别为S,S,的两个正方形所拼成的，若直角三角形 的斜边长为2，则S,+S,的值为 B S M A 第5题图 第6题图 6.（期中·人大附中)小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝 试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图的图形， 长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M,N,P, Q分别在长方形的边AB,BC,CD和AD上，若AB=23,BC =32,则小正方形的边长为 命题点二借助勾股定理解三角形 7.（期中·人大附中)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6, 则AC边上的高BD的长为() A.4 B.4.4 C.4.8 D.5 D 第7题图 第9题图 8.(期中·北京三帆中学)已知一个等边三角形的边长为2，则 这个三角形的高为 9.如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，∠A= ∠F=30°.若BD=√3，则CE的长度为 10.（期中·北京一零一中学)在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=4,AB=5.点P在直线AC上，且BP=6,则线段AP 的长为 11.（期末·朝阳区)如图，在四边形ABCD中，BC=CD, ∠ADB=∠C=90°，∠A=60°，AB=2V6.求CD的长 D 第11题图 -51 12.（期中·北京八中)如图，在△ABC中，∠A=105°，∠C= 30°，AC=4,求BC的长 第12题图 命题点三勾股定理的逆定理 13.（期末·朝阳区)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a, b,c,下列条件中可以判断∠A=90的是() A.a=3,b=4,c=5 B.a=6,b=5,c=4 C.a=2,b=√2，c=√2 D.a=1,b=2,c=V3 14.（期中·北京铁路二中)下列结论中，错误的有() ①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长 为5； ②△ABC的三边长分别为a,b,c,若a2+b2=c2,则∠A= 90°； ③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:5:6,则△ABC是直角 三角形； ④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三 角形 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 15.已知实数a,b,c满足(a-1)2+b-2W2+√c-3=0,则以a, b,c为边长的三角形的形状是 16.(期中·北京东直门中学)如图，有一块空地，∠ADC=90°， CD=6m,AD=8m,AB=26m,BC=24m,试求这块 空地的面积 第16题图 17.（期末·西城区)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB =10,BC=6,AC=AD=8. (1)求∠ACB的度数. (2)求CD的长. A 第17题图 精品图书 18.开放性试题（期中·北京二中分校）如图，在6×6的正方形 网格中，每个小方格的顶点叫作格点，每个小方格的边长为 1,按下列要求在网格内画出图形 (1)在图①中，以格点为顶点，画一个面积为8的正方形 (2)在图②中，以格点为顶点，画一个三角形，使三角形三边 长分别为√5，V13,4,请你判断这个三角形 直角三 角形.（填“是”或者“不是”） (3)在图③中，以格点为顶点，画一个以AB为边且面积为 10的等腰三角形 ① ② ③ 第18题图 19.如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D,点E在线段 BD上，且EA=EB.已知BD=16,AD=12,AC=15. (1)求线段DE的长. (2)求证：∠BAC=90°. ED 第19题图 命题点四实际应用 20.（期末·北京十一学校)将一根24cm长的筷子置于底面直 径为15cm,高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外 面的长度为hcm,则h的取值范围是() A.0<h≤17 B.h≥8 C.15≤h≤16 D.7≤h≤16 21.(期中·北大附中)如图，在实践活动课上，小华 打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳 子垂到地面后还多出1m,当她把绳子斜拉直，且 使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距 离旗杆底部5m,由此可计算出学校旗杆的高度 第21题图 是() A.8m B.10m C.12m D.15m 22.（期末·海淀区)如图，有一架秋千，当它静止 0 时，踏板离地0.5m,将它往前推3m时，踏 板离地1.5m,此时秋千的绳索是拉直的，则 3 -R 绳索OA的长度是( h05 1.5 D E A.3m B.4m 第22题图 C.5m D.6m —52— 23.（期中·北师大附属实验中学)如图，在地面1上有一口井， 井口位于点A的位置，井身与地面垂直.一1 A 个孩子在玩耍时不慎掉入井中卡在距离地 面15米的点B位置.救援人员接到通知后 迅速赶到商讨救援方案，由于井身太窄，救 援人员无法直接进入，在井身附近挖掘又 第23题图 怕引起塌方伤到孩子.最终决定从距离井口10米的点C处 开始斜向径直挖掘到与点B同一水平高度的点D处，再横 向挖掘到点B.若计划挖掘隧道的总长度为19米，则点D与 点B的水平距离为 米 24.如图，一架25m长的梯子AB斜靠在墙上，刚好梯顶A与地 面的距离AO为24m.如果梯子底部水平滑动的距离BB'为 8m,求梯顶下滑的距离AA'为多少米 B'B 777777777777T70 第24题图 25.情境题我国东部大部分地区属于亚热带季风气候，夏季炎 热多雨.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向 320km的B处，以每小时40km的速度沿北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的 区域 (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若A城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响 有多长时间？ 北 E B A ·东 第25题图答案与解析 16.专题复习卷（二）勾股定理 1.D【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边 长为x,则x2=122+52=169,所以x=13,所以“数学风车”的 周长是(13+6)×4=76.故选D. 2.A【解析】由勾股定理，得BE=√AB2-AE2=V132-52=12, :△ABE,△BCF,△CDG,△DAH是四个全等的直角三角形， .∴.∠AEB=∠BFC=∠CGD=90°，BF=CG=DH=AE=5, AH=BE=CF=DG=I2,.∠FEH=∠EFC=∠FGD= 90°，EF=FG=12-5=7,∴.四边形EFGH为正方形，∴.EG =√72+72=7√2.故选A 3.C【解析】正方形ABCD的面积为(a+b)2,正方形EFGH的面 积为EF2=a2+b2,正方形MNPQ的面积为(b-a)2,所以正方 形ABCD,正方形EFGH和正方形NPQ的面积之和为(a+b)2 +a2+b2+(b-a)2=3a2+3b2.故选C 4.10 5.4【解析】如图所示，根据题意得， △AEF≌△FKA≌△FHC≌△CGF,四 边形ABCD,BHFK,DEFG都是正方形， .AF=CF=2,AE KF=BH=BK -HF,AK EF-DG-ED-FG= HC.在Rt△AEF中，AF2=EF+AE, H S=AE2,S2 EF2, 第5题答图 .S+S,=AE2+EF2=AF2=22=4. 故答案为4. 6.√3【解析将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直 角三角形和一个正方形，设每个直角 三角形的较长的直角边长为x,较短的 B 直角边长为y, .AB=23,BC=32, :3x+y=23,解得=7， M A 4x+2y=32, y=2, Q ∴小正方形的边长为√72+22=√53 第6题答图 故答案为√53. 7.C【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E, :AB=AC,∴.△ABC是等腰三角形. :AE⊥BC,EB=EC=号CB=3 在Rt△ABE中，AE=√AB2-BE2=V52-32=4, :△ABC的面积=号BC·AE=)AC·BD, 号×6×4=号×5×BD,解得BD=48故选C B 刀 第7题答图 第8题答图 8.√5【解析如图，等边三角形的高线即中线，：AB=BC=2, .BD=CD=1.在Rt△ABD中，AB=2,BD=1, 由勾股定理得AD=V3.故答案为V3. 9.1【解析】：∠BDF=90°，BD=V3,∠F=30,∴.BF= 2BD=25.△ABC≌△FBD,.BC=BD=V3,.CF= BF-BC=V5.'∠FCE=90°，∴.EF=2CE,:CE2+CF2= EF2,.CE2+3=(2CE)2,解得CE=1.故答案为1. 10.3V3-4或3V3+4【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC =4,AB=5,.BC=√AB2-AC2=3.如图， ①当点P在CA的延长线上时，：BP=6,BC =3,.CP=√BP2-BC2=V62-32=3V5, .AP CP-AC=33-4; ②当点P在AC的延长线上时，BP'=6,BC =3,∴.CP=35,∴.AP'=AC+CP=3V5+4. 综上所述，线段AP的长为3V3-4或3V3+4. 故答案为3V3-4或3√5+4. 第10题答图 11.【解】∠ADB=90°，∠A=60°，∴∠ABD=30°，∴AD= 4B.4B=26 4D=6 BD=AB-AD= V(26)2-(√6)2=3V2.∠C=90°，.CD2+BC=BD. BC=CD,∴.2CD2=(3V2)2, 解得CD=3或CD=-3(不符合题意，舍去)， .CD的长为3. 12.【解】如图，过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ACD中，∠C=30°， B 所以∠D4C=60,AD=方4C D =2,所以∠BAD=∠BAC-∠DAC =45°， A CD=√AC2-AD2=2V5, 第12题答图 所以△ABD是等腰直角三角形，BD=AD=2. 所以BC=BD+DC=2+2√5. 13.C【解析】a=3,b=4,c=5,.c2=a2+b,.△ABC 是直角三角形，且∠C=90°； .a=6,b=5,c=4,.2≠b2+c2,.∠A≠90°； a=2,b=√2，c=√2，.2=bP+c2,.△ABC是直角三 角形，且∠A=90°，故C选项符合题意； :a=1,b=2,c=3,.b=a2+c2,△ABC是直角三角 形，且∠B=90°.故选C. 14.C【解析】①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第 三边的长为5或√7，错误； ②△ABC的三边长分别为a,b,c,若a2+b=c2,则∠C=90°， 错误； ③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:5:6,则△ABC是直角三角形， 正确； ④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角 形，正确.综上，错误的有①②，共2个.故选C. 15.直角三角形【解析】由题意可知，a-1=0,b-2√2=0，c-3 =0,解得a=1,b=2√2，c=3.因为c2=32=9,a㎡+b2= 12+(2W2)2=1+8=9,所以c2=a2+b,所以以a,b,c为边 长的三角形是直角三角形.故答案为直角三角形 16.【解】如图，连接AC,在Rt△ACD中， .CD =6 m,AD =8 m,BC= 24m,AB=26m,∠ADC=90°， .AC=AD2+CD2=82+62= 100,.AC=10m(负值舍去). 第16题答图 在△ABC中，，AC+BC= 102+242=676,AB2=262=676,.AC2+BC=AB2, ∴.△ACB为直角三角形，∠ACB=90° :S整地=3AC×BC-7AD×CD=3×10×24-方×8x6 =96(m2). 答：这块空地的面积是96m2 17.【解(1)在△ABC中，AB=10,BC=6,AC=8, .AC2+BC2 AB2 ∴.△ABC是直角三角形，∠ACB=90°. (2):AD∥BC, ∴.∠CAD=∠ACB=90°， ∴.在Rt△ACD中，CD=√AC2+AD2=V82+82=8V2 18.【解】(1)如图①所示.（答案不唯一）分析：：正方形的面积 为8，.正方形的边长为√8=2√2. (2)如图②所示.（答案不唯一）不是 分析：，(V5)2+(V13)2=18≠42，.这个三角形不是直角 三角形 ① ② A ③ 第18题答图 (3)如图③所示 分析：：AC=5,BC=V32+42=5, :AC=BC,Sac=7×5x4=10 19.(1)【解】设BE=AE=x,因为BD=16,所以ED=BD-BE =16-x 因为AD⊥BC,所以∠ADE=∠ADC=90 在Rt△ADE中，A=AD+D,所以x2=122+(16-x)2, 解得x=12.5,所以DE=16-x=3.5. (2)【证明】在Rt△ABD中，AD=12,BD=16, 所以AB2=BD2+AD2=162+122=400,则AB=20 在Rt△ADC中，AC=15,AD=12, 所以CD2=AC2-AD2=152-122=81,则CD=9, 所以BC=BD+CD=25. 因为AB+AC=202+152=625,BC=252=625, 所以AB2+AC2=BC, 所以△ABC是直角三角形，∠BAC=90° 20.D【解析】如图，当筷子竖直放置（筷子的底端在点D处）时， 筷子露在杯子外面的长度最长，.h=24-8=16(cm): 当筷子斜置（筷子的底端在点A处）时，筷 E 子露在杯子外面的长度最短， 在Rt△ABD中，AD=15cm, BD =8 cm, .AB=AD2+BD2=17(cm), 此时h=24-17=7(cm). 第20题答图 真题圈数学八年级下RJ5E .h的取值范围是7≤h≤16. 故选D. 21.C【解析】设旗杆的高度为xm,则绳子的长度为(x+1)m, 根据勾股定理可得x2+52=(x+1)2,解得x=12, 即学校旗杆的高度为12m.故选C. 22.C【解析】设OA=OB=xm,'BC=DE=3m,DC= 1.5m,.CA=DC-AD=1.5-0.5=1(m),.OC=OA-AC =(x-1)m.在Rt△OCB中，OC=(x-1)m,OB=xm,BC=3m, 根据勾股定理得x2=(x-1)2+32,解得x=5,则绳索的长度是 5m.故选C 23.2【解析】如图，过D作DH⊥AC于点 L-AH H,∴.∠HAB=∠ABD=∠AHD=90°， .四边形ABDH是矩形， .AH=BD,AB DH. 设AH=BD=x米，·HD+CH2= CD2,.152+(10-x)2=(19-x)2, 解得x=2,即点D与点B的水平距离 第23题答图 为2米.故答案为2. 24.【解】在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB2=AB-AO= 252-242=49,则0B=7m 根据题意，得OB=OB+BB=7+8=15(m), 又因为梯子的长度不变，所以在Rt△A'OB中，根据勾股定理， 得0A'2=A'B2-0B2=252-152=400, 则0A'=20m,则A'=A0-0A'=24-20=4(m). 答：梯顶下滑的距离AA'为4米. 25.【解(1)A城受到这次台风的影响.北 理由如下：如图，由点A向BF作垂线，E叶 C 垂足为C,在Rt△ABC中，∠ABC= D 30°，AB=320km,则AC=160km. B ·东 ,160<200, .A城受到这次台风的影响 第25题答图 (2)取BF上点D,G,使AD=AG=200km,如图， ∴.△ADG是等腰三角形. :AC⊥BF,∴.AC是DG的垂直平分线， .CD=GC.在Rt△ADC中，AD=200km,AC=160km, 由勾股定理，得CD=√AD2-AC2=√2002-1602=120(km), 则DG=2DC=240(km), .遭受台风影响的时间是240÷40=6(h), 17.专题复习卷（三）四边形 1.D【解析】设这个多边形的边数是n, 根据题意，得(n-2)×180°=1800°，解得n=12. ∴.这个多边形的边数是12.故选D. 2.C【解析】根据题意，得x+x+9+126+120+2x-120+135= (6-2)×180,解得x=112.5.故选C. 3.D【解析】如图，根据三角形的外角性 质，得∠1=∠C+∠E,∠2=∠B+∠D. ∠1+∠2+∠A+∠F=360°， B ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 360°.故选D. 4.电动推拉门（答案不唯一） 5.48【解析】：△ABC为正三角形， 第3题答图 :.∠B=60°.