6.第二十一章 四边形学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

答案与解析 x0+-[x4( :-x+(≥2x+≤-2 (2):y=2+3x+16=x+16+3,x>0, 少=+16+3≥2x16+3=11g 当且仅当x=16,即x=4时取等号，故y=+3x+16的最 小值为11. (3)设SA0c=x,已知SAM0s=4,SAcOD=9, 则由等高三角形性质可知SAROC:SACOD=S△HoBS△MOn, 9=4:8oSop=36 x 5mBm=494x+39≥13+26=25，当且仅当x= 36,即x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25. 28.【解】(1)BD=CE分析：，∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,∴.∠BAD=∠CAE. .AB=AC,AD AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),.BD=CE (2)①补全图形如图①. E R 0 ② 第28题答图 ②BD2+CD2=2AD2 证明：，∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,.∠BAD=∠CAE. AB=AC,AD=AE,∴.△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE,BD=CE. 在Rt△ABC中，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB=45°， ,∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC=45°+45°= 90°，.∠DCE=∠BCE=90°. 根据勾股定理，得AE+AD=DE,CE+CD2=D, .∴.AE2+AD2=CE2+CD2 .AE AD,BD CE. .'2AD2 BD2+CD2,BD2+CD2 2AD2. (3)如图②，过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接DE,CE, .△ADE是等腰直角三角形，.∠ADE=45° 同(2)理得，△ABD≌△ACE,∴.BD=CE. .BD=13,∴.CE=13. 在Rt△ADE中，∠EAD=90°，AD=6V2, .AEP+AD2 DE2,.DE =2 AD 12. ED2+CD2=122+52=169,CE2=132=169, .ED+CD=CE,.△ECD是直角三角形，∠CDE=90°. ,∠ADE=45°，∴.∠ADC=45°. 6.第二十一章学情调研 题号12345678 答案CCDCCB AB 1.C 2.C【解析】：四边形ABCD是平行四边形，.∠A=∠C,∠B =∠D.故选C 3.D【解析】A.对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故选 项A说法不正确； B.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项B说法不正确 C.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故选项C说法不正确； D.对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形，说法正 确.故选D. 4.C【解析】内角和是(8-2)×180°=1080°.故选C. 5.C【解析】连接OP,如图. 由题意得NO⊥OM 在Rt△AOB中，P是AB的中点， ·OP=3AB, .在此滑动过程中，点P到点O的距 离不变.故选C. B M 6.B【解析】设AC与BD的交点为O, 第5题答图 四边形ABCD是菱形，.AO=OC=3,B0=D0=4, AC⊥BD,∴AB=VAO2+B02=V9+16=5. :m=ABDE=名4C·BDDE=袋器-号放选B 7.A【解析】，四边形ABCD为正方形， .∠ABD=45°，∠BAD=90°. :BE=AB,∠BAE=∠BEA=方×(180-45)=67.5°， ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-67.5°=22.5°.故选A. 8.B【解析】如图，取AC的中点H,AE的中点M,连接OH,MF 并延长且交于点N, .OH∥BC,OH=)BC=2,AH= A ME F AC,MF /AC,MF-AD =1.AM D 0K- =34E=1 AE∥BC, ∴.∠E=∠DBC,∠EAD=∠C=90°. 第8题答图 又AD=AE=2,.∠AED=∠ADE=45, ∴.∠CBD=∠CDB=45°，∴.BC=CD=4, ∴.AH=号AC=号(AD+CD)=3,DH=1. .·OH∥BC,AE∥BC,AH∥MN: .四边形AHNM为平行四边形， ∠EAD=90°，.四边形AHNM为矩形， ∴.∠ONF=90°，HN=AM=1,MN=AH=3 .ON OH+HN =3,FN MN-MF =2, ∴.OF=√ON2+FW2=√3.故选B. 9.2cm或8cm【解析】当点M在直线a,b同侧时，距离为5-3 =2(cm);当点M在直线a,b之间时，距离为5+3=8(cm). 故答案为2cm或8cm. 10.①③【解析】因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角 线互相垂直的平行四边形是菱形，所以能使口ABCD是菱形的 有①③.故答案为①③. 11.240°【解析】：多边形的外角和为360°，.∠1+∠2+∠3+ ∠4+∠5=360°，∠1+∠5=120°，.∠2+∠3+∠4=360°- （∠1+∠5)=240°.故答案为240°. 12.50【解析】：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， .∠B=50°.D为线段AB的中点，.CD=BD, ∴.∠BCD=∠B=50°.故答案为50. 13.2【解析.四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD=8,AD BC=5,AB /CD, .∠DEA=∠BAE,∠CFB=∠ABR ,'AE平分∠BAD,BF平分∠ABC, .∠DAE=∠BAE,∠CBF=∠ABF, .∠DAE=∠DEA,∠CFB=∠CBF ∴.AD=DE=5,BC=CF=5, ∴EF=DE+CF-CD=2.故答案为2. 14.20【解析】：在矩形ABCD中，AB=5,AD=12, BC=AD=12,CD=AB=5,∠ABC=90°，OA=OC, AC=AB2+BC2=13,0B=0A=0C=3AC=65. :M是AD的中点，OM=号CD=25,AM=)AD=6, ∴、四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM=5+6.5+2.5+6 =20.故答案为20. 15专【爆析]如图，过点F分别作MLBC,PW1B,垂是为 M,N,则∠FMC=90°， :四边形ABCD为正方形， A下 ∴.∠ABC=90°，.四边形NBMF为矩 形，∴.FN=BM CF⊥BE,垂足为F,,∠BFC= N 90°.：AB=1=BC,∠EBC=30°， ∠BCP=60,CF=BC M 2 第15题答图 ∴.∠CFM=90°-∠BCF=30°， 1 CM=CF=-BC FN BM=BC-CM- 3 2 4 4 S弓B:N=1×县是放答案为号 1 16.√3【解析】在等边三角形ABC中，AD为边BC的中线，AB =28D=BC=)4B=1,根据勾股定理，得4D= 2 √5.①如图①，在平行四边形ACBD中，对角线长度的最大值 为AB=2; ① ③ 第16题答图 ②如图②，在平行四边形ADCB中，对角线长度的最大值为 AC的长.过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,则四边 形DECB是矩形，∴.CE=BD=I,DE=BC=AD=V3, 在Rt△AEC中，AC=VAE2+CE2=V13; ③如图③，在平行四边形ACDB中，对角线长度的最大值为 BC的长.过点C作CM⊥BD,交BD的延长线于点M,则四 边形ACMD是矩形，∴.AC=MD=1,CM=AD=5,在 Rt△BCM中，BC=VCM2+BM2=V7. 综上，在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是 √13.故答案为V13. 17.【证明】：口ABCD的对角线AC与BD交于点O, .OA=OC=2,∴.AC=4. AB=CD=3,AD=5,CD2+AC2=32+42=25,AD2=25, ∴.CD2+AC2=AD2,∴.∠ACD=90°，即AC⊥CD 18.【解】△BMN是等腰直角三角形. 证明：：AC平分∠BAD,∠BAD=60°， ∴.∠DAC=∠BAC=30°. 真题圈数学八年级下RJ5E 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，M为AC的中点， 则BM=)AC=MA,·∠MBA=∠MAB=30, ,∴.∠BMC=∠MBA+∠MAB=60° M,N分别为AC,CD的中点， ÷Mw∥AD,N=号AD,∠CMN=∠CMD=30e, .∠BN=30°+60°=90° ,AD=AC,.MN=MB,,△BMN是等腰直角三角形 19.【解】(1)如图，直线m即所求作 P ~C m A B 第19题答图 (2)AB PC BC菱形四条边相等的四边形是菱形菱形 的对边平行 20.【解】过点A作AM⊥BC于点M,如图 .AB=AC=5,BC=4,..MC=2, .AM=√5-4=1. ,四边形ACDE为正方形， .AC=CD,∠ACD=90°， ∴.∠ACM+∠DCF=90°. 'DF⊥BC,∠DFC=90°= B M ∠AMC, 第20题答图 ∴.∠DCF+∠CDF=90°， .∠ACM=∠CDF, .△ACM≌△CDF(AAS), .CF AM=1,.'MF MC+CF =3. 在Rt△AFM中，AF=√AMP+FM2=VP+3?=V0】 21.【解】四边形ABCD中，∠A+∠B=210°， .∠ADC+∠DCB=360°-210°=150°. :∠ADC与∠DCB的平分线相交于点O, ∠0Dc=ADC,∠0cD=BcD, 2 ∠0ncr∠0cD=方∠ADc+方∠8cD=uDc ∠BCD)=75°， ∴.∠C0D=180°-（∠0DC+∠0CD)=105°. 22.(1)【证明】：在矩形ABCD中，AD∥BC,∴.∠AEB=∠DAF 又DF⊥AE,∠B=90°，∴.∠DFA=∠B=90°. [∠DFA=∠B, 在△ADF和△EAB中，{∠DAF=∠AEB, AD=EA, .△ADF≌△EAB(AAS),∴.DF=AB. (2)【解】：∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°， .∠DAF=∠FDC=30°，∴AD=2DE :DF=AB,∴.AD=2AB=8. 23.【解(1)如图①，矩形ABCD即所求.（答案不唯一） A D D 10 10 B B ① ② 第23题答图 (2)如图②，平行四边形ABCD即所求.（答案不唯一） 答案与解析 (3)如图③，正方形ABCD即所求 A D B 第23题答图③ 24.(1)【证明】点D,E分别是边BC,AC的中点， ∴BD=CD,DE∥AB,则DF∥AB. 又AF∥BC,四边形ABDF是平行四边形， ∴AF=BD=CD,∴四边形ADCF是平行四边形， AB=AC,BD=CD,.AD⊥BC,即∠ADC=90°， .四边形ADCF是矩形 (2)【解如图，取CD的中点H,连接EH, 四边形ADCF是矩形，AC=DF,.ED=EC,.DH= CH=)CD,∠EHB=90°. 由(1)得∠ADC=∠ADB=90°， AB=6,BC=8,BD CD= C4..D-CD-2. D H AD=√AB2-BD2=V62-42=2√5 第24题答图 AE EC..EH=AD=5. .∴.BH=BD+DH=4+2=6, ∴.在Rt△BEH中，根据勾股定理得BE=√BH+EH= V62+(W5)2=√41. 25.(1)【证明】：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,∴.∠ABD=∠BDC BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠DBC,∴.∠BDC=∠DBC, .BC=CD,.四边形ABCD是菱形. (2)【解】由(1)可知，四边形ABCD是菱形 ∴BO=DO,∠ACD=∠BCA=∠BCD,AC⊥BD,AB∥CD, ∴.∠BCD=180°-∠ABC=180°-70°=110°，∠DCE= ∠ABC=70°，.∠ACD=∠BCD=55°. ,∠ECM=15°， .∴.∠DCM=∠DCE-∠ECM=70°-15°=55°， ∴.∠DCA=∠DCM DF⊥CM,BD⊥AC,DO=DF=V5, BD=2D0=25. 26.(1)【证明】：四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形， ∴.∠D=∠A=90°，HG=HE.又AH=DG=3, ∴.Rt△AHE≌Rt△DGH(HL),∴.∠DHG=∠HEA :∠AHE+∠HEA=90°，.∠AHE+∠DHG=90°， .∠EHG=90°，.四边形EFGH为正方形 (2)【解】如图，过F作FMLDC,交DC延长线于点M, 连接GE 矩形ABCD中，AB∥CD, D G ∴.∠AEG=∠MGE. 菱形EFGH中，HE∥GF, .∴.∠HEG=∠FGE, .∴.∠AEH=∠MGF ∠A=∠M=90°，HE=FG, 第26题答图 ∴.△AHE2△MFG(AAS), ∴.FM=HA=3,即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线 CD的距离始终为3， ·SAro=)FM·GC=3x3×(10-4)=9. (3)【解】2√2115-3√21 分析：设DG=x,则由第(2)小题得，SA=方×3×(10- x),在△AHE中，AE≤AB=10, .HE2≤109，∴.x2+25≤109，∴.x≤2W21, .当DG=2√21时，△FCG的面积最小，最小值是15-3√21， 27.(1)①解】补全图形如图①. ②[证明】：AB=BD,.∠BAD=∠BDA. ,四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD,∴.∠BAD+∠ADC=180°. .∠BDA+∠ADE=I80°，.∠ADE=∠ADC .DE =BD,.DE DC. DE=DC. 在△ADE和△ADC中，{∠ADE=∠ADC, AD=AD, ∴.△ADE≌△ADC(SAS), ∴.AE=AC ⑦ 第27题答图 (2)【解】AE+BE=2AB. 证明：如图②，延长BD至点F,使DF=BD,连接AF, 由(1)②可得△ADF≌△ADC, .∠F=∠ACD. ∠AEB=2∠ACD,.∠AEB=2∠F :∠AEB=∠EAF+∠F, ∠EAF=∠F,EF=AE, :'AE+BE EF+BE BF =2BD 2AB, 即AE+BE=2AB. 28.【解1(1)PQ1∥P2Q2T (2)5如图①中，点T(或T")即所求 分析：如图①，当T与CD的中点重合或与AD的中点重合 时，T的值最小，最小值d=P+=5 ① ② 第28题答图 (3)如图②中，弧EF即所求（以D为圆心，为半径画弧）. 7.重难题型卷（三）特殊四边形 1.B【解析设∠ADF=3x,∠FDC=x,:四边形ABCD是矩形， ∠ADC=90°，真题圈数学 同步 调研卷 入年级下RJ5E 6.第二十一章学情调研 8 蜕 (时间：120分钟满分：100分) 细 名期 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.下列图形具有不稳定性的是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.正方形 D.钝角三角形 2.（期末·东城区)在平行四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是( ) A.1:2:3:4 B.1:2:2:1 C.1:2:1:2 D.1:1:2:2 3.(期末·西城区)下列命题正确的是( A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等且互相平分的四边形是菱形 C.对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 D.对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 4.地方特色如图①所示的是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始 建于北周年间，是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一.燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖 木结构密檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，如图②所示的正八边形是其中一层的平面示意 图，其内角和为( ) A.135° B.360° C.1080° D.190° 金星教有 ② ① ② B M 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 5.情境题（期中·陈经纶中学）如图，一根木棍AB斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木 棍中点为P若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，则在此滑动过程中，点P,O间的距 警加 离( H A.变小 B.变大 C.不变 D.无法判断 胞点 6.(期中·北京二中分校)如图，在菱形ABCD中，BD=8,AC=6,过点D作DE⊥BA,交BA的 延长线于点E,则DE的长为( 国 A号 B号 c n.号 7.(月考·首师大附中)如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=AB,连接 CE,AE,则∠DAE的度数为( A.22.5 B.25 C.30° D.32.5 8.（期中·人大附中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O为AB的中点，点 D在线段AC上，过点A作BC的平行线交直线BD于点E,点F是DE的中点， 连接OF,若AD=AE=2,BC=4,则OF的长为() A.2W5 B.V13 C.25 D.3.5 第8题图 二、填空题（共16分，每题2分） 9.(期中·昌平区)已知直线a∥b,点M到直线a的距离是5cm,到直线b的距离是3cm,那么直 线a和直线b之间的距离为 10.（期中·北京二中朝阳学校)如图，下列条件中能使口ABCD是菱形的有 .(填序号) ①AC⊥BD;②∠BAD=90°；③AB=BC;④AC=BD. A人1 C C D 第10题图 第11题图 11.完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形.如图，五边形ABCDE是人类发 现的第15种完美五边形的示意图，其中∠1+∠5=120°，则∠2+∠3+∠4等于 12.（期末·海淀区)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，D为线段AB的中点，则∠BCD= 0 拒绝盗印 第12题图 第13题图 13.(期中·北京十一学校)如图，在口ABCD中，AB=8,BC=5,AE平分∠BAD交CD于点E,BF 平分∠ABC交CD于点F,且AE,BF交于口ABCD内部一点G,则EF= 14.（期中·北京一六一中学)如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB= 5,AD=12,则四边形ABOM的周长为 D M B 第14题图 第15题图 15.（中考·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE,垂足为F若AB=1, ∠EBC=30°，则△ABF的面积为 16.操作与实践（期中·北京十二中）在等边三角形ABC中，AD为边BC的中线，将此三角形沿AD 剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形.如果AB=2,那么在所有能拼 成的平行四边形中，对角线长度的最大值是 第16题图 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分， 第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.教材例题改编（期中·北京理工大附中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O, 若AB=3,AD=5,OC=2.求证：AC⊥CD D 第17题图 精品图书 金星教育 18.（期中·北京二中分校)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD,M,N分别为AC, CD的中点，连接BM,MN,BN,∠BAD=60°，AC平分∠BAD,判断△BMN的形状并证明. 第18题图 19.（期末·西城区)尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线 已知：如图，直线1及直线1外一点P 求作：直线m,使得m∥1，且直线m经过点P 作法：①在直线1上取一点A,连接AP,以点A为圆心，AP的长为半径画弧，交直线1于点B; ②分别以点P,点B为圆心，AP的长为半径画弧，两弧交于点C(不与点A重合)； ③经过P,C两点作直线m.直线m就是所求作的直线 (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明， 证明：连接BC. 第19题图 .AP= ∴.四边形PABC是 (填“矩形”“菱形”或“正方形”) )(填推理的依据)： .m∥1( )(填推理的依据)， 20.(期中·丰台二中)如图，在△ABC中，AB=AC=V5,BC=4,以AC为边作正方形ACDE,过 点D作DF⊥BC交BC延长线于点F,连接AF,求AF的长. C 第20题图 爱学子 拒绝盗印 21.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，且∠ADC与∠DCB的平分线相交于点O,求∠COD 的度数 第21题图 8 22.（期中·北京一七一中学)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD,DF⊥AE,垂足为F (1)求证：DF=AB 湘 (2)若∠FDC=30°，且AB=4,求AD的长. 】 必》 低州 名期 第22题图 23.(期中·北大附中)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点 O.按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点： (1)在图①中画一个两边长分别为6和4的矩形 (2)在图②中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等 製 (3)在图③中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等 ① ② ③ 敬 第23题图 24.（期中·北京四中)如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是边BC,AC的中点，过点A作 AF∥BC交DE的延长线于点F,连接AD,CF (1)求证：四边形ADCF是矩形 (2)连接BE,若AB=6,BC=8,求BE的长 崇 D 巡咖 H 第24题图 25.（(模考·东城区)如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)连接AC交BD于点O,延长BC到点E,在∠DCE的内部作射线CM,使得∠ECM=15°，过 点D作DF⊥CM于点F若∠ABC=70°，DF=√5，求∠ACD的度数及BD的长. A M 第25题图 26.如图，在矩形ABCD中，AD=8,DC=10,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD 的边AB,CD,DA上，AH=3,连接CF (1)若DG=3,求证：四边形EFGH为正方形 (2)若DG=4,求△FCG的面积， (3)当DG= 时，△FCG的面积最小，最小值是 绝盗印 E 第26题图 27.（期末·海淀区)如图①，AC和BD是□ABCD的对角线，AB=BD,点E为射线BD上的一点， 连接AE. (1)当点E在线段BD的延长线上，且DE=BD时， ①依题意补全图①； ②求证：AE=AC (2)如图②，当点E在线段BD上，且∠AEB=2∠ACD时，用等式表示线段AE,BE和AB的数 量关系，并证明 R YE D ① ③ 第27题图 直题 精品图书 金星教育 2 28.新定义试题（期中·北京一六一中学）平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标 分别为4(2》，B(》,c2,》,D2》,P,Q是这个正方形外两点，且PQ=1给 出如下定义：记线段PQ的中点为T,平移线段PQ得到线段PQ'(其中P',Q'分别是点P,Q的 对应点)，记线段PQ的中点为T',若点P和Q'分别落在正方形ABCD的一组邻边上，或线段PQ 与正方形ABCD的一边重合，则称线段TT长度的最小值为线段PQ到正方形ABCD的“回归距 离”，称此时的点T为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”. (1)如图①，平移线段PQ,得到正方形ABCD内两条长度为1的线段PQ,和P,Q,这两条线段 的位置关系为 ;若T,T分别为PQ,和PQ2的中点，则点 (填“工” 或“T,”)为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”. (2)若线段PQ的中点T的坐标为(1,1)，记线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”为d,请直 接写出d,的最小值： ,并在图②中画出此时线段PQ到正方形ABCD的“回 归点”T'(画出一种情况即可) (3)请在图③中画出所有符合题意的线段PQ到正方形ABCD的“回归点”组成的图形 D -1 B Q2 -1 爱学 ① ② ③ 第28题图 拒绝盗印