4.重难题型卷(二) 勾股定理及应用-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

答案与解析 在Rt△ODE中，∠ODE=90°， 由勾股定理得DE2+OD2=OE2, .52+(x-1)2=x2,解得x=13,.0D=13-1=12(尺). 答：水池的深度OD为12尺 (2)【证明】设芦苇的长度OC=c,则n=c-b. 由勾股定理可得a2=c2-b, 、.d2-=c2-b(c-b=2bc-2h=2bc-) 2n 2n 2n =2(c-b) 由题态，3然≠66b≠0，--阁=8， 2n ∴刘徽的解法是正确的. 27.【解(1)在长方形ABCD中，AB=8,BC=10, ∴.∠B=∠BCD=90°，CD=AB=8,AD=BC=10 由折叠的性质知，EF=DE,AF=AD=10. 在Rt△ABF中，根据勾股定理，得BF=√AF2-AB2=6, ∴.CF=BC-BF=4. 设CE=x,则EF=DE=CD-CE=8-x, 在Rt△ECF中，根据勾股定理，得CF2+CE=EF2, .16+x2=(8-x)2,.x=3,.CE=3. (2)存在.如图，延长EC至点E,使A、 -D CE=CE=3,连接AE交BC于点 P,此时，PA+PE的值最小，最小值为 AE的长. CD=8, .DE=CD+CE'=8+3=11. FP`、 在Rt△ADE中，根据勾股定理， E 得AE'=√AD2+DE2=√22I 第27题答图 即PA+PE的最小值为√221. 28.【解】(1)①3V22√2分析：△ABC是等腰直角三角形， AC=3,.AB=VAC2+BC2=V32+32=3√2. PA=√2，.PB=AB-PA=3N2-√2=2W2 ②PAP+PB2=PQ 分析：如图①，过点C作CD⊥AB于点D. :△ACB是等腰直角三角形，CD⊥AB, ∴.△ADC是等腰直角三角形，CD=AD=DB. PA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-2CD.PD+PD2. PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2+2CD.PD+PD2, .PA2+PB2 2CD2+2PD2 2(CD2+PD2) 在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC=CD+PD, ∴.PAP+PB2=2PC :△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90, .2PC2 PQ2...PA2+PB2=PO2 ① ② ③ 第28题答图 (2)证明过程如下：如图②，过点C作CD⊥AB于点D. :△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB, ∴CD=AD=DB. .PA2 =(AD+PD)2=(CD+PD)2=CD2+2CD.PD+PD2. PB2=(PD-BD)2=(PD-CD)2=CD2-2CD.PD+PD2, .PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2). 在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD+PD2, .'PA2+PB2 =2PC2. ,△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°， ..2PC2 PQ2,.PA2+PB2 PQ2. (3)如图③，当点P在线段AB上时，过点C作CD⊥AB于点D. :路=号A=}AB=3cD=3AD=PD 在Rt△CPD中，由勾股定理可得PC=VCD+PD2= CD2+传CD=9cn.在△4CD中，由勾股定理可得 AC=AD2+CD=CD2+CD2=2 CD, ..PC E瓷32CD=Y故PC:4C的为0 4 4.重难题型卷（二）勾股定理及应用 1.C【解析：AE⊥BE,∠AEB=90°，△ABE是直角三角形， ·AB=VAE2+BE2=5,·S翻影=SE方形ACD=AB2- 方BE·AE=-方×4×3=19故选C 2.B【解析】由题意得S,=AB2,S,=BC, S=CD2,S4=AD连接BD,如图，在 Rt△ABD和Rt△BCD中，BD2=AD+AB2 =CD2+BC,即S,+S4=S,+S2,因此S2= A S.B 135-49=86.故选B. 3.45【解析】：CM=3,CW=6,∠MCN 第2题答图 =90°， .∴.N2=CMP+CN2=32+62=45,.正方形MWPQ的面积 =MN2=45.故答案为45. 4.=【解析】在Rt△ABC中，AC+BC2=AB, 8=(9++8) =3(AC+BC2-AB)+SMAC=SMAC 又S,=SAcS=S,故答案为= 5.8+4V5【解析】如图，在Rt△ACD中，∠ADC=30°， 设AC=x,则BC=AD=2+x. :∠ADC=30°，∴.CD=2AC,由勾 股定理可得AD=V3AC, .2+x=V5x,.x=V5+1, ∴.AC=V3+1, .图中阴影部分的面积=4×1AC巴 21 =4×号×(V5+1)2=8+45. 第5题答图 故答案为8+4V3. 6.84或36【解析】因为AD是BC边上的高，所以∠ADB= ∠ADC=90°，所以BD2=AB2-AD2=172-82=225,故BD= 15,CD2=AC-AD2=102-82=36,故CD=6. 分两种情况： ①如图①所示，则BC=BD+CD=15+6=21, 所以SAMc=)BC·AD=7×21×8=84; 6 ② 第6题答图 ②如图②所示，则BC=BD-CD=15-6=9,所以S AABC= 号BC·AD=)×9×8=36.故答案为84或36. 7.(1)【解】如图，过点C作CF⊥AD,交AD的延长线于点F ∠DAC=45°，∠DCA=15°， .∠ACF=45°=∠CAF,∠DCF=30°. 在Rt△CFD中，CD=26,DF=号CD= √6，AR=CT=VCD2-DF2=V(2W6)2-(√6)2 =32, A .AD=AF-DF=3V2-√6， D 第7题答图 六SMDC=3AD·CF =7×(32-V6)×32=9-35 (2)【证明】在Rt△AFC中，：∠DAC=45°，4AF=CF=3V2, ∴.AC=VAF2+CF2=V(3V2)2+(3V2)2=6. 在△ABC中，·AC+BC=6+82=AB2,.△ABC是直角三角形. 8.C【解析】设AG=x,:在长方形ABCD中，∠A=90°，AB =4,AD=3,.由勾股定理得BD=5. 由折叠的性质可得A,D=AD=3,A,G=AG=x,∠DA,G =∠A=90°，∴.∠BA,G=90°，BG=AB-AG=4-x,A,B= BD-AD=5-3=2.:在Rt△A,BG中，AG2+AB2=BG, +2:=(4x),解得x=多AG=4G=2故选C 9.2W2cm【解析：AD是△ABC的中线，BC=4cm, .BD=CD=2cm.由翻折的性质得∠ADE=∠ADC=45°， DE=CD=2cm,∴∠CDE=90°，∴.∠BDE=90°， ∴.BE=VBD2+DE2=22cm.故答案为22cm 10.名【解析】在Rt△ABC中，∠C=90,4B=10,BC=8, 16 .AC=√AB2-BC2=V102-82=6. :点M是直角边AC的中点，MC=)AC=3. 根据折叠的性质，得ME=BE,设CE=x,则ME=BE=8-x, 在Rt△MCE中，432=(8-x2,解得x=瓷故答案为瓷 11.【解】，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE 交DC于点F,∴.∠BAC=∠FAC AB∥CD,∴∠BAC=∠FCA, ∴.∠FCA=∠FAC,∴.CF=AF=5cm, .DF CD-CF AB-CF=3 cm. 在Rt△ADF中，AD=√AF2-DF2=√52-32=4(cm), 则△ACF的面积是号CF·AD=号×5×4=10(cm2). 12.A【解析】如图为圆柱体的侧面展开图，因为圆柱体的底面周 长为24cm,所以4C=24×=12(cm). 又因为BC=5cm,所以AB=VAC2+BC2=13cm, 故蚂蚁爬行的最短距离为13cm故选A B B A A 第12题答图 第13题答图 13.C【解析】如图，蚂蚁运动的最短路程AB=2+2P+(号 =√17(cm).故选C. 14.25【解析】如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为 20dm,宽为(2+3)×3=15dm,∴.蚂蚁沿着台阶面从A点爬 真题圈数学八年级下RJ5E 到B点的最短路程是此长方形的对角线长.设蚂蚁沿着台阶 面从A点爬到B点的最短路程为xdm,由勾股定理得x2= 202+152=252,解得x=25.故答案为25 A 20 A M八P N A B D0..-B 第14题答图 第15题答图 15.【解】如图，作出点A关于MW的对称点A',连接A'B交MW于 点P,则从点A沿AP到点P,再沿PB到点B,此时AP+BP= A'B.在Rt△A'DB中，由勾股定理求得A'B=VDA2+DB2= V(7+4+4)2+82=17(km). 答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km 16.A【解析】如图，作点A关于x轴的对称点A(1,-1), 连接A'B交x轴于点P,则此时PA+PB=A'B的值最小，再过 点A作A'C⊥BC.:'(1,-1),B(3,3), .A'B=√C2+BC2=V(3-12+3+1)2=2V5, .PA+PB的最小值为25.故选A D B A 1 A -1@P234x A C A:- 第16题答图 第17题答图 17.10【解析】如图，连接AC交EF于点H,连接A'H,由折叠性 质知AG=A'G,.A'G+CG=AG+CG,∴.当点A,G,C三 点共线，即G与H重合时，A'G+CG取得最小值，此时A'G+CG =AC=√AB2+BC2=V⑧2+6=10.故答案为10. 18.55【解析】如图，过点A作直线11x轴，分别叶 过点C,B作CD⊥1于点D,BE⊥I于点E, :∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°- 90°=90°，.∠DCA=∠EAB. -E ,在等腰直角三角形ABC中，AB=AC, 第18题答图 .△CDA≌△AEB(AAS),.AD=BE A(5,0),AD=BE=OA=5. 作点A关于CD的对称点A',连接CA',则点A'在直线I上， DA'=DA =5,AC=A'C,..OC+AC=OC+A'C. .OC+A'C≥OA, .当O,C,A'三点共线时，OC+AC有最小值，即OA的长. 此时，0A=OA2+A42=V52+102=5√5， .0C+AC的最小值为5V5.故答案为5V5. 19.【解】(1)如图①，：A4L1,AC=1,PC=1, ∴.AC=CP,∠ACP=90°， B .∠CAP=∠CPA=45°， ∴.PA=√AC2+Cp2=V2 :点A关于直线1的对称点为， .P4'=P4=2, .∠CPA'=∠CPA=45° 第19题答图① BD⊥1，∠BPD=∠CPA'=45° .∠PBD=90°-45°=45°=∠BPD,.BD=PD=2, 答案与解析 .BP=VPD2+BD2=V22+22=2√2， ∴AP+BP=V2+22=3V2. (2)作A'E∥1，交BD的延长线于点E,如图②，易得四边形 A'EDC是长方形，则A'E=DC=PC+PD=3,DE=A'C =AC,BD=4-AC,∴.BD+DE=BD+AC=4,即BE=4. 在Rt△A'BE中，A'B=V3+4=5,∴.AP+BP=5. (3)如图②，设AC=2m-2,PC=1,则PA=V(2m-2)2+1, 设BD=8-2m,PD=2, 则PB=V(8-2m)2+4. .DE=AC=2m-2, ∴BE=BD+DE=6,A'E=CD= PC+PD=3, D ∴PA+PB=A'B=√AE2+BE2 V32+62=35, 第19题答图② ∴.V(2m-2)2+1+√8-2m)2+4的最 小值是3√5. 20.【解】(1)2t-4 (2)过点P作PM⊥AB于点M,如图①所示. ∠ACB=90°，∴PC⊥BC,AC=VAB2-BC2=V52-32=4. 点P在∠ABC的平分线上，PM⊥AB,PC=PM 又PB=PB,.Rt△PCB≌Rt△PMB(HL), ∴.CB=MB,∴AM=AB-MB=AB-BC=5-3=2. 设PM=PC=x,则AP=4-x 在Rt△APM中，AM2+PP=AP2, “24=(4-x,解得x=, ·P=4-2=31=32= 即若点P在∠ABC的平分线上，则1的值为？ （3):的值为瓷或或4 分析：①当AB为底边时，如图②所示，则PA=PB.设PA=a, 则PC=AC-AP=4-a.在Rt△PCB中，PB2=PC+CB2, 即心=(4o43,解得a=空，此时1-爱÷2-瓷 ②当AB为腰时，如图③所示， 1.4D,=AB=5,此时1=5÷2=； Ⅱ.AB=BP2=5, BC1AP2,∴AP2=2AC=8,此时1=8÷2=4. 综上，1的值为瓷或或4 P B ① ② P P B ③ 第20题答图 21.【解(1)：∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,.AC=4cm :动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，速度 为1cm/s, .出发2s后，CP=2cm,则AP=AC-CP=2(cm). :∠C=90°，∴.PB=V22+32=√13(cm), ∴.△ABP的周长为AP+PB+AB=2+√13+5=(7+√13)cm (2):AC=4cm,动点P从点C开始，按C→A→B→C的 路径运动，且速度为1cm/s, .当点P在AC上运动时，△BCP为直角三角形，.0<t≤4 当点P在AB上，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形. 当CP⊥AB时，号AB·CP=7AC·BC, 克x5xCP=×4x3,CP=号em, AP=AC-CP-16 (cm),AC+AP-36 (cm). 速度为1cms,1=36 5 综上，当0<1≤4或1=时，△BCP为直角三角形。 (3)当点P在AC上，点Q在AB上时，AP=(4-t)cm,AQ=(8- 2t)cm.,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， .4-t+8-2t=6,∴.t=2. 当点P在AB上，点Q在AC上时， AP =(t-4)cm,AQ =(2t-8)cm. “,:直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， .t-4+2t-8=6,.t=6 综上，当t=2或t=6时，直线PQ把△ABC的周长分成相等 的两部分. 5.阶段学情调研（一） 题号123 4 5 6 8 答案ACAD A CDB 1.A2.C 3.A【解析】A.:0.3+0.42=0.5,.能作为直角三角形的三边长； B.:(√3)24（√4）2≠（√5）2，∴.不能作为直角三角形的三边长； C.,(3+n)2+(4+n)2=2n2+14n+25,(5+n)2=n2+10n+25, ∴.(3+n)2+(4+n)2≠(5+n)2,.不能作为直角三角形的三边长； D.:1+2=3,.不能作为三角形的三边长.故选A 4.D【解析】：x=-9,.√2=√(-9)2=9.故选D. 5.A【解析】如图，过点C作CF⊥AB于点F, A 则∠AFC=90°，四边形CFDE为长方形， ∴.CF=DE=3m. 5m .AB =AC=5 m, CK-----F B .AF=VAC2-CF2=V52-32=4(m), i 3m. .BF=AB-AF=5-4=1(m), E D 即此时木马上升的高度为1m.故选A 第5题答图 《C【解折原式=3店×-陌×否- 35-3.25<27<36,.5<V27<6,.5<3V5<6, .2<35-3<3.故选C. 7.D【解析】由题图②可知，中间四边形是边长为(a-b)的小正 方形.：大正方形的面积为25，∴.AB2=25. 又，：大正方形的面积是四个全等的直角三角形加中间小正方 形的面积，空×4+(a-b)2=25,(a-b)242ab=25, ∴.(a-b)2+2×8=25,.a-b=3(负值已舍去)，即题图②中小 正方形的边长为3，.EF=V32+32=3√2.故选D. 8.B【解析设小长方形卡片的长为xcm,宽为ycm,根据题意得真题圈数学 同步调研卷 八年级下RJ5E 4.重难题型卷（二） 湘粑 勾股定理及应用 开 奥 州 题型一 面积问题 岩期 1.(期中·北京八一学校)如图，在正方形ABCD中，AE⊥BE, 且AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是( A.13 B.17 C.19 D.21 D 4 B 製 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四 边形的四条边为边向外作四个正方形，记它们的面积分别为 S1,S2,S3,S4,若S,+S4=135,S=49,则S2=() A.184 B.86 C.119 D.81 3.(期中·北大附中)如图所示的正方形网格中，每个小正方形 靴 的边长均为1，正方形ABCM,CDEN,MNPQ的顶点都在格 点上，则正方形MNPQ的面积为 4.(期末·海淀区)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以 边AC,BC,AB为直径画半圆，记两个月牙形图案ADCE和 CGBF面积之和（图中阴影部分）为S,△ABC的面积为S, 则S S,(填“>”“=”或“<”) 咖 阳 ① ② 第4题图 第5题图 回 5.（期中·北京一零一中学)如图①是我国古代著名的“赵爽弦 图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若直角 三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向 外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，设AB=2,则 图中阴影部分的面积为 6.在△ABC中，AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则 △ABC的面积是 7.(期中·人大附中改编)如图，在四边形ABCD中，AB=10, BC=8,CD=2W6,∠DAC=45°，∠DCA=15°. (1)求△ADC的面积 (2)证明：△ABC是直角三角形. B D A 45 第7题图 题型二折叠问题 8.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片使 AD边落在对角线BD上，折痕为DG,点A落在点A,处，则 A,G的长为( A.1 B c D.2 D E B G 第8题图 第9题图 9.（月考·首师大附中)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC= 45°，BC=4cm,把△ACD沿AD翻折，使点C落在点E的位置， 则BE的长为 10.(期中·人大附中)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB=10,BC=8,D,E分别 M 是边AB和BC上的点，把△ABC沿着直 --B 线DE折叠，若点B恰好落在AC的中点 第10题图 M上，则CE的长为 一11 11.（期中·大兴区)如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm, 把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC 于点F,若AF=5cm,求△ACF的面积. C 4 第11题图 题型三最短路径问题 12.(期中·北京一零一中学)如图，一只蚂蚁从点A出发沿着 圆柱体的侧面爬行到，点B,圆柱体的底面周长是24cm,高 是5cm,则蚂蚁爬行的最短距离为( A.13 cm B.17cm 5+2) C. cm D.5 cm 第12题图 第13题图 13.（期中·北京十四中)如图，正方体的棱长为2cm,点B为 一条棱的中点，一只蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点 B的最短路程是( A.10 cm B.4 cm C.17 cm D.5cm 14.情境题如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别 为20dm,3dm,2dm,A和B是这个台 20 阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想 到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶 面爬到B点的最短路程是 dm. 第14题图 15.（期中·朝阳区)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧 马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他 的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走 的最短路程是多少？ 小河 牧童A 北 十东 b……B小屋 第15题图 题型四最值问题 16.（期中·人大附中)如图，在平面直角坐标系中，A(1,1), B(3,3),点P为x轴上的动点，则PA+PB的最小值为() A.25 B.2V3 c.5 龙星 D.15 》 D 以 B 4 -191234立 G 第16题图 第17题图 第18题图 17.（期中·北京八一学校)如图，长和宽分别为8和6的长方 形纸片ABCD中，点E是AD的中点，F是AB上一动点，将 △AEF沿直线EF折叠，点A落在点A'处，在EF上任取 点G,连接'G,CG,则A'G+CG的最小值为 18.（期中·北京二中朝阳学校)如图，在平面直角坐标系xOy 中，O为坐标原点，A(5,0),点B在y轴上运动，以AB为边 作等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°（点A,B,C呈顺时 针排列)，当点B在y轴上运动时，点C也随之运动.在点C 的运动过程中，OC+AC的最小值为 19.思维探索（期中·陈经纶中学）请阅读下列材料.问题：如 图①，点A,B在直线1的同侧，在直线1上找一点P,使得 AP+BP的值最小.小明的思路：如图②，作点A关于直线1 的对称点A',连接A'B,则A'B与直线I的交点P即所求. 请你参考小明的思路，探究并解决下列问题 (1)如图③，在图②的基础上，设AA'与直线1的交点为C, 过点B作BD⊥I,垂足为D,若CP=1,PD=2,AC=1, 写出AP+BP的值， (2)将(1)中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”,其 他条件不变，写出此时AP+BP的值. (3)请结合图形，求出√(2m-2)2+1+√(8-2m)2+4的最 小值. B ① ② ③ 第19题图 题型五动点问题 20.（期中·北京四中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB= 5,BC=3,点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长 度的速度运动.设点P的运动时间为ts(t>0) (1)当点P在AC延长线上运动时，CP的长为 (用 含t的代数式表示) —12 (2)若点P在∠ABC的平分线上，求t的值 (3)在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值 第20题图 备用图 21.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,若动 点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度 为1cm/s,设出发的时间为ts（t>0) (1)出发2s后，求△ABP的周长 (2)问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？ (3)另有一点Q,从点C开始，按C→B→A→C的路径运 动，且速度为2cms,若P,Q两点同时出发，当P,Q中有 一点到达终点时，另一点也停止运动.当1为何值时，直线 PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 第21题图