专题04勾股定理的逆定理及其应用专项训练(8大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题04勾股定理的逆定理及其应用专项训练 题型01.由三边长判断直角三角形 题型02.找两点构成直角三角形的点 题型03.网格中判断直角三角形 题型04.逆定理证算直角三角形 题型05.逆定理的实际生活应用 题型06.逆定理的拓展探究题 题型07.勾股定理与逆定理综合计算 题型08.分类讨论直角三角形存在性 解答题5题 题型01.由三边长判断直角三角形 1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1， D．1，，2 【答案】A 【分析】本题利用勾股定理逆定理，验证各组数中两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形，选出符合要求的选项． 【详解】解：A、，，故，不能构成直角三角形，符合题意； B、，故能构成直角三角形，不符合题意； C、，故能构成直角三角形，不符合题意； D、，故能构成直角三角形，不符合题意． 2．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是____________． 【答案】勾股定理的逆定理 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理的逆定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形， ∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理的逆定理． 3．若的三边长分别为a，b，c，且满足，则的面积为___． 【答案】84 【分析】根据非负数的性质求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后计算直角三角形的面积即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，直角边为和， ∴的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中线段AB两端点的坐标分别为，点为轴上一点，若为直角三角形，则这样的P点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设，分三种情况讨论：；，，根据勾股定理构造关于p的方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，，， 当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴； 综上，为直角三角形，则这样的P点有或或，共3个． 题型02.找两点构成直角三角形的点 5．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 6．如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 7．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可； （3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可． 【详解】（1）∵， ∴即为所求； （2）∵EF=FG=GD=DE=， ∴正方形的面积为13； （3）HI=； （4）∵KL=，JL=，JK=， 且 ∴是直角三角形，且周长为． 【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型03.网格中判断直角三角形 8．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求四个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，即可解题． 【详解】解：A、三角形各边长为、、，，故该三角形为钝角三角形，符合题意； B、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； C、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； D、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 9．在如图的网格中，每个小正方形的边长为a，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据网格中的边长，利用勾股定理求出，，，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，最后根据三角形的面积公式建立等式求解的长． 【详解】解：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 得：， ． 故答案为：． 10．如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 【答案】/度 【分析】取格点F，连接，利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，得， ，求解即可； 【详解】解：取格点F，连接， 根据勾股定理，得，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ． 11．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理推出，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，且， 是等腰直角三角形，且， 故选：B． 题型04.逆定理证算直角三角形 12．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角． 【详解】解：∵， ∴为斜边，且对边是， ∴． 故选A． 13．如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为______． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 14．在中，已知，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，掌握利用勾股定理逆定理判断直角三角形，再结合内角和求角度是解题的关键． 由条件可得，根据勾股定理的逆定理，可知，再结合三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，作交于点，根据角平分线性质定理得到，再由等面积法求出，作点关于的对称点，则在点在上，则，过点作交于点H，那么，故当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值，再由等面积法即可求解． 【详解】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 题型04.逆定理证算直角三角形 16．如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴学校要投入资金为：（元）， 故选：C． 17．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 【答案】24 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．青山区加大绿化力度，和平公园有一块如图所示的四边形空地，现计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元．则这块地种植草皮需要投入______元． 【答案】 7200 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得；在中，利用勾股定理逆定理判定是直角三角形；然后利用直角三角形的面积公式求得两个直角三角形的面积，求其和；最后由面积单价总额计算这块地种植草皮需要投入的资金． 【详解】解：连接， 在中，，，， 则， 在中，，，， ， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴， 即． ∴（元）． 则这块地种植草皮需要投入7200元． 19．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是，甲客轮用到达处，乙客轮用到达处．若，两处的直线距离为，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据速度和时间计算甲、乙行驶路程，利用勾股定理逆定理判断两路线垂直，再根据甲的方向推导乙的可能方向. 【详解】∵甲行驶路程：， 乙行驶路程：， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵甲航行方向为北偏东， ∴乙航行方向与甲垂直，可能为北偏西或南偏东， 选项中南偏东对应C， ∴乙客轮航行方向可能为南偏东. 故答案为：C． 题型06.逆定理的拓展探究题 20．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 21．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为 ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形， 故不符合题意； B、∵三边之比为， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵三边长分别为，2，， ∴， ∴三角形为直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 22．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 23．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 题型07.勾股定理与逆定理综合计算 24．如图，三个正方形的面积分别为，，，则分别以它们的一边为边围成三角形中，_____度． . 【答案】 【分析】根据面积得出，根据勾股定理的逆定理得出围成的三角形为直角三角形，根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：如图， ，，， ，即， ， ． 25．如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 【答案】C 【分析】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再求面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为. 26．如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，在上截取，连接，可证明，得到，则当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，可证明，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 27．如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出的度数即可； （2）两个直角三角形的面积之和即为四边形的面积． 【详解】（1）解∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积 ． 题型08.分类讨论直角三角形存在性 28．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 29．已知等腰中，，，底角为，动点P从点B向点C运动，当是直角三角形时，长为 _____． 【答案】3或4 【分析】分和两种情况讨论，根据三线合一的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等求解即可． 【详解】解：当时，如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 解得： （负值舍去）， ∴， 当，如图2， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ∴； ∴或4，． 30．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？ (3)若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)、9、 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，根据三角形的面积公式计算； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质，求解即可； （3）作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：中，，，， ， ， ， 解得，； （2）解：， 当时， 在中，， 如图1，，为边上的高， ， 则， 当时，， 当时， 如图2，作于， 则，， 由勾股定理得，， 则， 故当、9、时，为等腰三角形； （3）解：作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，即，连接，如下图： 可知 ∵ ∴ ∴ 的最小值为 解答题 31．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 32．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个斜边为的直角三角形； (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，； (3)判断（2）中所画三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)所画三角形为直角三角形．理由见解析 【分析】本题考查的是作图——应用与设计作图，勾股定理及其逆定理． （1）根据勾股定理画出图形即可； （2）根据勾股定理画出图形即可； （3）先判断出三角形的形状，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，即为所求； （2）解：如图2，即为所求； （3）解：所画三角形为直角三角形．理由： ，，， ， ， ∴所画三角形为直角三角形． 33．在钝角三角形中，已知为钝角，边，的垂直平分线分别交于点D，E，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理的运用，连接，根据线段垂直平分线得到，结合题意，由勾股定理逆定理得到是直角三角形，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵边，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 34．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且．请连接，试判断的形状 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】根据全等的判定和性质，可得，得到，根据勾股定理的逆定理，即可． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 35．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04勾股定理的逆定理及其应用专项训练 题型01.由三边长判断直角三角形 题型02.找两点构成直角三角形的点 题型03.网格中判断直角三角形 题型04.逆定理证算直角三角形 题型05.逆定理的实际生活应用 题型06.逆定理的拓展探究题 题型07.勾股定理与逆定理综合计算 题型08.分类讨论直角三角形存在性 解答题5题 题型01.由三边长判断直角三角形 1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．1，1， D．1，，2 2．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是____________． 3．若的三边长分别为a，b，c，且满足，则的面积为___． 4．如图，在平面直角坐标系中线段AB两端点的坐标分别为，点为轴上一点，若为直角三角形，则这样的P点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02.找两点构成直角三角形的点 5．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 7．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 题型03.网格中判断直角三角形 8．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 9．在如图的网格中，每个小正方形的边长为a，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为______． 10．如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 11．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型04.逆定理证算直角三角形 12．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 13．如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为______． 14．在中，已知，，则的度数为____________． 15．如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 题型04.逆定理证算直角三角形 16．如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 17．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 18．青山区加大绿化力度，和平公园有一块如图所示的四边形空地，现计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元．则这块地种植草皮需要投入______元． 19．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是，甲客轮用到达处，乙客轮用到达处．若，两处的直线距离为，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 题型06.逆定理的拓展探究题 20．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 21．三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 22．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 23．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 题型07.勾股定理与逆定理综合计算 24．如图，三个正方形的面积分别为，，，则分别以它们的一边为边围成三角形中，_____度． . 25．如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 26．如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 27．如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 题型08.分类讨论直角三角形存在性 28．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 29．已知等腰中，，，底角为，动点P从点B向点C运动，当是直角三角形时，长为 _____． 30．已知在中，，，，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？ (3)若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 解答题 31．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 32．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个斜边为的直角三角形； (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，； (3)判断（2）中所画三角形的形状，并说明理由． 33．在钝角三角形中，已知为钝角，边，的垂直平分线分别交于点D，E，若，求的度数． 34．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且．请连接，试判断的形状 35．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $