1.第十九章 二次根式 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（人教版·新教材）北京专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级下RJ5E 1.第十九章学情调研 蝴 (时间：120分钟满分：100分) 州 名期 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个， 1.（期末·东城区)下列四个式子中，最简二次根式为( A.V-2 B.2 c层 D.√7 2.（期中·北京一零一中学)下列关于√8的叙述正确的是( A.在数轴上不存在表示V⑧的点 B.⑧=V2+√6 C.与√8最接近的整数是3 D.V8=±2W2 製 3.（期中·北京八中)若√a-1+b2-4b+4=0,则ab的值等于( A.-2 B.0 C.1 D.2 4.（期中·北京十二中)已知3.52=12.25,3.62=12.96,3.72=13.69,3.82=14.44，那么V13精确到 0.1的近似值是( ) 部 A.3.5 B.3.6 C.3.7 精品 D.3.8 5.(期中·北京八十中)下列计算正确的是（星） A.2+V3=2√3 B.5ab=5a +5b C.8-√6=2 D.5√x-4Vx=VX （朔中·北京十一学校)把(m-1) 化简得( ) 崇 A.√m-i B./1-m C.-√m-1 D.-/1-m 7设a=6=256=5+，则a,6e大小关系是( 些加 H A.b>c>a B.b>a>c C.c>a-b D.a>c>b ® 品 8.(期中·北京四中)如图，在长方形ABCD中无重叠地放入面积分别为8和16的两张正方形纸 国 片，则图中空白部分的面积为() A.8√2-8 B.83-12 C.4-2√2 D.8W2-2 第8题图 二、填空题（共16分，每题2分） 9.（期中·北大附中)计算（√2）2的结果为 10.开放性试题已知二次根式满足条件“只含有字母x,且当x≥3时有意义”，请写出一个这样的 二次根式： 11.（期末·海淀区)如图，数轴上点A,B,C,D所对应的数分别是-1,1,2,3，若点E对应的数是 2√2，则点E落在 之间.（填序号) ①A和B;②B和C;③C和D. A B C D 201234 第11题图 第14题图 12.（期中·北京五十七中)如果两个最简二次根式√3a-1与√2a+3能合并，那么a= x B.(期中·人大附中)若V8x+2)+2x=12,则x的值为 14.情境题如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一 次所用的时间1（单位：s)与细线长度1（单位：m)之间满足关系式1=2品。当细线的长度为 0.4m时，小重物来回摆动一次所用的时间约是 s(结果保留小数点后一位) 15.方程Vx+2·Vx-2=0的根是 16.(期中·北京十二中)已知号 1 1×√2+2W1 2W3+3W2 nvn+1+(n+1n <号，则正整 数n的最大值与最小值的和为 绝盗印 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分， 第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.（期中·北京八中)计算： (2)(3+2√2)(3-2√2)+√54+V6. 18.（期末·东城区)已知x=2+√3，求代数式(x-1)2-2x+5的值. 19.（期末·清华附中改编)已知最简二次根式2x-92x+y-5和Vx-3y+10能够进行加减运算，求 x2+y2的平方根. 精品图书 金星教育 20.(期中人大附中)先化筒，再求值：层-b0历+（石-6）(a+6.其中a=3,b=2 21.新定义试题规定：若两个二次根式a,b满足ab=c,且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è） 二次根式 问题解决： (1)若a与23是关于6的共轭二次根式，则a= (2)若4+√3与8-√3m是关于26的共轭二次根式，求m的值 22.（期末·海淀区)团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意.某社团组织学生制作团扇， 扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为300c,为了提升团扇的耐用性和美观度，需对 扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示. (1)圆形团扇的半径为 cm,正方形团扇的边长为 cm. (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短 拒绝盗印 第22题图 23.类比探究在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利 用这些信息解决问题，有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不 湘 太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样 0 的条件称为隐含条件.因此我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件 共 【阅读理解】 低州 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 名肌 化简：(V1-3x)2-|1-x 解：隐含条件1-3x≥0，解得x≤号，·1-x>0, .∴.原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+x=-2x 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简：Vx-32-（√2-x)2 【类比迁移】 (2)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简：√a2+√(a+b2-b-al. 0b+ 第23题图 精品图书 金星教育 24.情境题（期中·北京铁路二中）(1)用“=”“>” 或“<”填空： 4+3 24×3:1+君 6545 21 2W5×5 (2)由(1)中各式猜想m+n与2√mn(m≥0，n≥0)的大小，并说明理由， (3)请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃，如 图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200的花圃，所用的篱笆至少需 要 m 巡加 H 品 第24题图 25.数学归纳数式规律（期中·北大附中改编）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊 到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律 下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：+写-要-4×写=2： 特例2：2+好-要-9×好-3得： 特3：3+写=4V得 特例4： (2)观察、归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律： (3)证明你的猜想 (4)应用运算规律化简： 2025+2027×4054= 灰印必 关爱学子 拒绝盗印 26.（期末·海淀区)实数a与b满足b=√4-a. (1)写出a与b的取值范围. (2)已知3b是有理数， ①当a是正整数时，求b的值. ②当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和第11个位 置的数. 27.（期中·北京二中分校)阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用.其实，有一个类似的方法叫作“分子有 理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如： V7-V6=7-6)万+6) 1 √7+√6 V7+6 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例 如：比较√万-√和√6-√5的大小.可以先将它们分子有理化如下： -6=766-5=6+5 因为√万+√6>√6+5，所以万-√6<√6-√5. 再例如：求y=√x+2-√x-2的最大值.做法如下： 解：由2≥0，x-2≥0可知，x≥2，而y=k+2--2=7+2+=2' 4 当x=2时，分母√x+2+√x-2有最小值2，所以y的最大值是2. 解决下述问题： (1)32-4=3V2-4( ( (2)比较Va-√a-1和Va+1-√a的大小 (3)求y=√2x+4-√2x+1的最大值. 精品图书 金星教育 28.思维探索（期中·人大附中）在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法， 针对关于x的根式方程√5x-3=1,小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）. 材料一： 小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消元，将 二元方程转化为一元方程. 小康同学：对，就是要往解x=α的形式转化，现在关键就是要把根号化去 小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号 小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根 sgggg 材料二： V5x-3=1. 解：两边同时平方得5x-3=1, 解得x=号 检验：将x=号代入原方程，成立。 所以原方程的解为x=号· 通过以上材料，完成下列问题： (1)解关于x的方程√x-2=1. (2)解关于x的方程Vx2+4x-3=x-1. 爱学子 拒绝盗印答案与解析 同步调研卷 1.第十九章学情调研 题号12345678 答案DCDBDD B A 1.D 2.C【解析】A.数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理 数，所以在数轴上存在表示√⑧的点，故该选项错误； B.√⑧=2√2≠√2+√6，故该选项错误； C.与V⑧最接近的整数是3，故该选项正确； D.V8=2√2，故该选项错误.故选C 3.D【解析：√a-1+b2-4b+4=Va-1+(b-2)2=0,∴.a-1= 0,b-2=0,解得a=1,b=2,.ab=2.故选D. 4.B 5.D【解析】A.2与V5不能合并，故该选项不符合题意； B.当a<0,b<0时，5√ab=5√-a·√-b,当a≥0，b≥0时， 5√ab=5√a·√b,故该选项不符合题意； C.√⑧与√6不能合并，故该选项不符合题意； D.5√-4V=√，故该选项符合题意.故选D. 6D【解析->0m-10,m-1=-m-可， 原武=-m·=- -(m-1)2 =-√-(m-1)=-1-m.故选D. 7.B【解折1加=6得=6×9-25。 2g2-32+V2+5c=5+v2 b1 2+3 :2>√3>V2,∴.2+5>25>V3+√2，故b>a>c.故选B. 8.A【解析：在长方形ABCD中无重叠地放入面积分别为8和 16的两张正方形纸片，∴.两正方形的边长分别为2√2和4，则 AB=4+2W2,AD=4,故图中空白部分的面积为4(4+2√2)- 8-16=8V2-8.故选A 9.210.√x-3(答案不唯一) 11.③【解析】：√4<√⑧<5，即2<22<3，.点E落在C 和D之间.故答案为③. 12.4【解析】由题意得3a-1=2a+3,解得a=4.故答案为4. 1.2【年折1+25+2层=12，w2++2N2 、x =12,.6W2x=12,解得x=2.故答案为2. 14.13【解析把1=04代入关系式1=2元品，得1=2x哥 =2π×0.2=0.4π≈1.3.故答案为1.3. 15.2【解析】原方程可化为√x+2)x-2)=0,即Vx2-4=0,所 以x2-4=0,x2=4,解得x=±2.当x=-2时，Vx-2无意义， 故方程Vx+2·√x-2=0的根是2.故答案为2. 16.11【解析】1 1 1 1x2+2+2W3+3W2++ n√n+1+(n+l)Nn =2返5++=1要+号 4-2 18-12 (n+1)2n-n2(n+1) 99++哥-1舞 334 n+19 kwg22邓5*C而号 1 1 “1号可得耐分 n+1 解得3<n<8,即正整数n的最大值是7，最小值是4. .4+7=11.故答案为11. 1n.【解11)52-- =42-3V2-2 2 2 (2)(3+2√2)(3-2√2)+√54+√6 =9-8+3√6+√6 =1+4V6 18.【解】(x-1)2-2x+5=x2-2x+1-2x+5=x2-4x+6=(x-2)2+2, 当x=2+V5时，原式=(2+√3-2)2+2=(V3)2+2=3+2=5. 19.【解】由题意可知，2x+y-5=x-3y410,2x-10=2, 解得x=6,y=是2w=36+器-贸。 +y的平方根为±33. 4 2a,【解】原式=受-b·a65+a-b=0-+a-6= b b a-b,当a=3,b=2时，原式=3-2=1. 21.【解(1)√3分析：由题可得a×23=6,解得a=√3. (2)4+√3与8-√3m是关于26的共轭二次根式， .(4+3)(8-5m)=26, m=6a262间25m=2 22.【解1(1)103m105 分析：圆形团扇的半径为，300=10y3元(cm,正方形团扇的 Vπ 边长为√300=10√5(cm. (2):圆形团扇的半径为103mcm,正方形团扇的边长为 105cm,.圆形团扇的周长为2元×10y3元=203元(cm,正 π 方形团扇的周长为105×4=40√5(cm). :40W5=20×V3×2=20√12,3<π<4， .20√3元<20W12,即20√3元<405， ∴圆形团扇的扇面所用的包边长度更短 23.【解】(1)隐含条件2-x≥0，解得x≤2， 所以VGx-3)2-(2-x)=3-x-（2-x)=3-x-2+x=1. (2)从数轴上可知a<0<b,lal>lbl,所以Va+√a+b)2-b-a =-a-(a+b)-(b-a)=-a-a-b-b+a=-a-2b. 24.【解】(1)>>= 分析：4+3=7,2√4×3=4V5,72=49,(4V5)2=48, 又49>48，.4+3>24×3. .5+5=10,2W5×5=10,∴.5+5=2W5×5. (2)m+n≥2√mn(m≥0，n≥0). 理由如下：当m≥0，n≥0时，（√m-√n)2≥0， ∴.（√m)2-2√m·√n+(√n)2≥0， .m-2Wmn+n≥0，∴.m+n≥2Vmn (3)40分析：设花圃的长为am,宽为bm,则a>0,b>0, S=ab=200m2. 根据(2)的结论可得a+2b≥2√a2b=2W2ab=2√2×200= 2×20=40,∴.篱笆至少需要40m 2s.解1,4+名=5店2)a+2=6+1年2 1 1 E+2*1=n2 (3)证明如下：等式左边=Vn+2 .n+1)2 =(n+1)· 干=右边故發想成立 1 1 (4)20265分析：V2025+2027×V4054=2026/2027 ×V2×2027=2026W2. 26.【解101)由题意可知4a≥0，解得a≤4，b≥0 b≥0， (2)①当a是正整数时，a可以取1,2,3,4，这时b的对应值为 √3，√2,1,0.又：5b是有理数，∴.b=√3或b=0. ②-8，-296.分析：，V3b是有理数，.b是V3的整数倍. 当a是整数时，b从小到大排列为0,3,2√3,35，…，则排 在第3个位置的数为23，排在第11个位置的数为10√3， 由4-a=12,解得a=-8,由4-a=300,解得a=-296. 故将符合条件的α的值从大到小排列后，排在第3个位置和第 11个位置的数分别为-8，-296. 2.【解1(1)32+432432+4 2 (2)Ja-Ja-I=(la-Va-1)(Ja+Ja-1)_1 √a+√a-1 va+√a-i Va+i-Va=a+i-回a+i+@= 1 a+1+va a+1+va .a+1+√a>√a+√a-1>0, a+a可>a+i+a .√a-√a-1>√a+l-√a. (3)由条件可知x≥-2 1 :y=V2x+4-V2x+1 、3 2+4+V2x+)2x+4-2x+D242x V2x+4+V2x+1 “x=-号时，V2x+4+V2x+1有最小值5， y=2x+4-2x+1的最大值为3=5 3 28.【獬】(1)√x-2=1,两边同时平方得x-2=1,解得x=3. 检验：将x=3代人原方程，成立. 所以原方程的解为x=3. (2)Vx2+4x-3=x-1, 两边同时平方得+4-3=(x-12,解得x=子 检验：将x=号代入原方程，不成立. 所以原方程无解、 2.重难题型卷（一）二次根式及运算 1.C 2.C【解析】由题意可知x+1≥0，-1-x≥0，∴.x=-1, .(x+y)2=0,∴.x+y=0,.y=1, ∴y-x=1-(-1)=2.故选C. 真题圈数学八年级下RJ5E 3.1-5【解析】√a-1+Vb+5=0,∴.a-1=0,b+5=0, 解得a=1,b=-5.故答案为1；-5. 4.x≤4【解析】由题意得6-x≥0且x-4≤0，∴.x≤4.故答案 为x≤4. 5.【解】由题意可知x-3≥0,3-x≥0，.x州=3，.x=±3. 又：x3≠0x=-3y=号=2=9×(-2)=-18 6.【解】：m-2026≥0，.m≥2026，.2025-m<0, ∴.原方程可化为m-2025+√m-2026=m, ∴.√m-2026=2025,∴.m-2026=20252, ∴.m-20252=2026. 7.D【解析】：x≥0，.y≥0. y<0,x<0,y>0,.Vx2y=-x√.故选D. 8.A【解析】由数轴可得a<0<b,a-b<0,∴.原式=la-bl+la-bl =-a-b+b-a=-2a.故选A 9.B【解析】由题意得n=m+1,q=mn,9=m(m+l)= m2+m,.p=√g+n+√g-m=Vm2+m+m+1+√m2+m-m =√m2+2m+1+√m2=√m+1)2+√m2=m+1+m=2m+1, ∴p的值总是奇数.故选B. 10.1(答案不唯一)【解析：区=1，F=以，以=x且 x≠0，.x>0即可.故答案为1（答案不唯一）. 11.-1【解析】：x-1≥0,1-x≥0，.x=1. 又.y<√x-1+V1-x+3,∴.y<3, .by-3引-Vy2-8y+16=3-y(4-y)=-1.故答案为-1. 12.【解】根据题意，得-1<a<0<b<1, .a+1>0,b-1<0,a-b<0, 则原式=la+1-|b-1-a-b1=a+1+b-1+a-b=2a. 13.【解】(1)214分析：(1+2W5)2=1+45+20=21+45 (2)2+√5 分析：V7+4W3=V22+2×2×√3+(W32=V(2+5)2=2+5 (3)原式=VW2)-2W2+1+V(W5)2-2×V5×V2+(2)2+ √22-2×2×V5+(W3)2+…+VWn+1)2-2Nn+1Vn+(Wm)2 =W2-12+VW3-2+V2-3)++Vm+1-m =√2-1+√3-√2+2-V5+…+√n+1-√n =Vn+1-l. 4W5+)-=5+1, 14.D【解析1b=55+5-可 4」 又a=5+1,所以a=b.故选D. 15.C【解析】A.（√3+1)÷（√3+1）=1，故本选项不合题意； B.(√5+1)-√5=1，故本选项不合题意； C.(√5+1)与23无论是相加、相诚、相乘、相除，结果都是无 理数，故本选项符合题意； D.(V5+1)(1-√5)=-2，故本选项不合题意.故选C. 16.【解】(1)14-√13√a+1-a ②25t225-x25n25-0=1 .12-x2=1,.x=±11 17.【解】(1)3-11 (2)1-b=-bI+⑥=0-bI+=1+V6. 1-√61-V6)1+V6) 1-b