精品解析：黑龙江省绥化市第八中学校2025-2026学年下学期九年级数学期中检测试题

初四数学期中检测试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列各数是的相反数的是（   ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键；根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数，然后问题可求解． 【详解】解：∵相反数的定义：数a的相反数为， ∴的相反数为2025， 故选：A． 2. 如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，从上面看到的平面图形即为该组合体的俯视图即可求解． 【详解】解：从上面看，平面图形有三列两行，从左到右，第一列后面一行有1个小正方形，第二列后面一行有1个小正方形，第三列每行各有1个小正方形， 故符合题意的俯视图为A选项的图形． 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、B、C选项图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D选项图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂除法、单项式乘法和积的乘方，解答关键是熟练掌握相关运算法则．分别根据完全平方公式、同底数幂除法、单项式乘法和积的乘方逐项计算即可． 【详解】选项：，错误． 选项：，错误． 选项：，错误． 选项：, 与选项一致，正确． 故选． 5. 广东省2025年计划新增电源装机3000万千瓦，完善绿电市场交易机制，加紧经济社会发展全面绿色转型．其中数据3000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；据此即可求解． 【详解】解：3000万即30000000， ， 故选：B 6. 《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。设规定时间为天，则慢马用时天，快马用时天，根据快马速度是慢马速度的2倍列方程即可. 【详解】解：慢马速度，快马速度，且快马速度慢马速度， ∴ ， 故选：A. 7. 下列命题中叙述正确的是（ ） A. 若方差，则甲组数据的波动较小 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 若方差，则乙组数据的波动较小，故该选项不正确，不符合题意； B. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项不正确，不符合题意； C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故该选项不正确，不符合题意； D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 如图，已知与是位似图形，且，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与是位似图形，且，得出位似比是，因而． 【详解】解：与是位似图形， ， ∵， 位似比是 ． 9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 10. 如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线的性质，可得，，结合正五边形的每个内角的度数为，即可求解． 【详解】解： ∵、切于点A、C， ∴，， ∵正五边形的每个内角的度数为：， ∴， ∵五边形的内角和度数为， ∴． 11. 如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长交y轴于点D，连接，若的面积等于2，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】作于E，连接，根据等腰三角形的性质得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据题意求得，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：作于E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 函数中，自变量的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，且二次根式下被开方数需要大于等于0，可得答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得且， 故答案为：且． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式变形，提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解即可得到结果． 【详解】解： 15. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 16. 已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 17. 已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高． 【详解】解：根据圆锥侧面积公式变形可得， 根据圆锥母线公式，可得， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键． 18. 如图，边长为1的小正方形网格中，点均在格点上，半径为2的与交于点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，根据正方形网格特点和正切函数定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆周角定理和求三角函数值．一般来说，初中数学中求角的三角函数值的方法有两种，一是构造直角三角形，根据定义求解；二是将角进行转化求解．本题应用了第二种方法，要深刻领会． 19. 如图，在中，，点D是的中点，连接，于点E，，连接，则的周长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，利用等腰三角形性质，直角三角形性质，以及勾股定理求出，，，进而求出，，再利用勾股定理求出，最后根据三角形周长公式求解，即可解题． 解题的关键在于灵活运用等腰三角形性质，直角三角形性质，以及勾股定理分析问题． 【详解】解：过点作于点 ，点D是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长为：． 20. 如图，为等边三角形，点D为直线上一点，将射线绕点D逆时针旋转，交过点B平行于的直线于点E，若，则线段的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】在直线上取点F，使，连接，可得为等边三角形，设，则，证明，可得，即，可得，从而得到当最小时，最小，且当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点F，使，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 设，则， 由旋转的性质得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，且当时，取得最小值， 如图， 此时， ∴， 即的最小值为． 21. 如图，矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的动点，将沿着翻折，点落在点处，连接，．若是等腰三角形，则线段的长是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】当时，可知是的垂直平分线，由折叠的性质可知；以点为原点建立平面直角坐标系，过点作，，可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，由折叠的性质可知，根据是等腰三角形，再分和两种情况求解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 是等腰三角形， 如下图所示，当时，过点作， 则点在的垂直平分线上， 点是的中点， 点在的垂直平分线上， 点、、三点共线， ， ， 由折叠可知，， 四边形是正方形， ； 如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系，过点作，， ，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 则点的坐标为， 由折叠可知， 设点的坐标为， 则有， 整理得：， 当时， 可得：， 整理得：， ， 整理可得：， 把代入， 可得：， 解得：， ， 点的坐标为， ，， ， 又， 四边形为矩形， ， 由折叠可知， ， ， ， ， ， ， ； 当时， 可得：， 整理可得：， ， 代入可得：， 整理可得：， 把代入， 可得：， 解得：， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ； 综上所述，或或. 22. 如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意过点作轴于，设，则，进而，代入反比例函数解析式，求出，进而可求出的坐标，同样方法依次求出，的坐标，找出规律，继而求出本题答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ，，，，都是一边在轴上的等边三角形， 设，则， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 以此类推可得：， ． 三、解答题 23. 如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图，直线即为所求作的切线． （2） 证明：是的直径， ， ． 是的切线， ，即， ． ， ， ． 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）过点作即可：作射线，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于两点，以该两交点为圆心，大于两交点线段长的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该交点作射线交的延长线于点即可； （2）证明即可，已知公共角，由直径所对的圆周角为直角得到，是的切线得到，根据同角的余角相等，再结合，等边对等角得到，等量代换证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的学生共有______人． （2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图． （3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率． 【答案】（1） （2）， 补全统计图如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或画树状图法求概率； （1）根据组的人数除以占比得出总人数； （2）根据总人数求得组的人数，进而求得占比，以及补全统计图； （3）根据列表法或画树状图法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：参加本次问卷调查的学生共有（人）； 【小问2详解】 解：A组人数为人 A组所占的百分比为：； 【小问3详解】 画树状图法如下图 列表法如下图 A B C D A B C D 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种． ∴P（选中的2个社团恰好是B和C）． 25. 自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】（1）购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①；②或或 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题： （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【小问1详解】 设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 【小问2详解】 设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 【小问3详解】 ①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 26. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，．求的值． 【答案】（1） 证明：∵将沿直线翻折到， ∴， ∵为的直径，是切线， ∴， ∴； （2）证明：∵AG是切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证； （2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，设，则， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27. 已知：四边形为矩形，，，点是延长线上的一个动点（点不与点重合）．连接交于点． （1）如图一，当点为的中点时，求证：． （2）如图二，过点作，垂足为．连接，设，．求关于的函数关系式． （3）如图三，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于点．当时，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）（或） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据题意得出，即可证明； （2）在中，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）过点作于点，得出，为等腰直角三角形，在中，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中 ， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴（或）； 【小问3详解】 过点作于点， ∵四边形为矩形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，列函数关系式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，当时，求点的坐标； （3）将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3） 在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得抛物线的解析式； （2）根据题意可得，，，当时，，设，则或，可得，即可得点的坐标； （3）抛物线的对称轴为直线，根据题意可得直线：，设，按照四边形为菱形，或四边形为菱形，进行分类讨论，根据菱形的性质，结合中点坐标，即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：在中， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或． 【小问3详解】 解：在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴直线：， 设， ∵，， ∴， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， ∴在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学期中检测试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列各数是的相反数的是（   ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 广东省2025年计划新增电源装机3000万千瓦，完善绿电市场交易机制，加紧经济社会发展全面绿色转型．其中数据3000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中叙述正确的是（ ） A. 若方差，则甲组数据的波动较小 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 8. 如图，已知与是位似图形，且，那么（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长交y轴于点D，连接，若的面积等于2，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 函数中，自变量的取值范围为_______． 14. 因式分解：______． 15. 计算：________． 16. 已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______． 17. 已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是__________． 18. 如图，边长为1的小正方形网格中，点均在格点上，半径为2的与交于点，则____________． 19. 如图，在中，，点D是的中点，连接，于点E，，连接，则的周长为______． 20. 如图，为等边三角形，点D为直线上一点，将射线绕点D逆时针旋转，交过点B平行于的直线于点E，若，则线段的最小值是________． 21. 如图，矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的动点，将沿着翻折，点落在点处，连接，．若是等腰三角形，则线段的长是______． 22. 如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 三、解答题 23. 如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 24. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的学生共有______人． （2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图． （3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率． 25. 自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 26. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，．求的值． 27. 已知：四边形为矩形，，，点是延长线上的一个动点（点不与点重合）．连接交于点． （1）如图一，当点为的中点时，求证：． （2）如图二，过点作，垂足为．连接，设，．求关于的函数关系式． （3）如图三，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于点．当时，求线段的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，当时，求点的坐标； （3）将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $