2.3 平行线的性质 强化训练-2025--2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版（2024）七年级下册 第二章 相交线与平行线3 平行线的性质 强化训练 【题型1】两直线平行同位角相等 【典例】如图，△ABC中，∠A＝36°，∠B＝60°，EF∥BC，FG平分∠AFE，则AFG的度数为(　　) A.36° B.37° C.42° D.47° 【强化训练1】如图，直线AB，CD被直线EF所截，交点分别为点E，F.若AB∥CD，下列结论正确的是(　　) A.∠1＝∠3 B.∠2＝∠4 C.∠2＝∠5 D.∠4＝∠5 【强化训练2】根据题意填空．　 如图，已知直线与都相交，， 求证：． 证明：与相交(已知)       ( ) （已知）          ( ) ( ) 【强化训练3】如图，∠1=105°，∠2=75°，请说明a∥b. 【题型2】两直线平行内错角相等 【典例】如图，，，若，则（   ） A. B. C. D. 【强化训练1】如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是(　　) A.25° B.35° C.45° D.50° 【强化训练2】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线的两侧，若，则∠B=         ；若AC∥FD，则∠ACB=          . 【强化训练3】如图，已知，平分，平分，，求的度数．    【题型3】两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，∠2＝55°，则∠3的度数是(　　) A.50° B.53° C.55° D.58° 【强化训练1】如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1＝60°，则∠2等于(　　) A.130° B.140° C.150° D.160° 【强化训练2】如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠2=46°，则∠GEB等于（　　） ​ A.26° B.36° C.44° D.54° 【强化训练3】如图，已知平分，则      ． 【强化训练4】如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE∶∠EFB＝3∶4， ∠ABF＝40°，那么∠BEF的度数为______． 【强化训练5】如图，∠1=∠3=60°，∠2=120°，可以判断哪些直线平行？说明理由. 【强化训练6】如图，AB∥DE，C为BD上一点，∠A＝∠BCA，∠E＝∠ECD，请说明CE⊥CA. 【题型4】平行线性质的综合 【典例】如图，直线直线b，，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【强化训练1】如图，直线 分别交 ，于点，，平分，，若 ，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，直线，，，那么的度数是（    ） A. B. C. D. 【强化训练3】如图，，于E，交于F，已知，则       ．    【强化训练4】如图，直线，点B在直线b上，且，，则的度数为      ． 【强化训练5】如图，，． (1)求证：； (2)若于点C，，求的度数． 【题型5】平行线性质的实际应用 【典例】在“创文明城市-爱我龙岩”白色垃圾清理活动中，小华同学从点出发，沿北偏西方向到达地，已知，此时营地在的（　　）方向．    A.北偏西 B.北偏东 C.北偏东 D.南偏西 【强化训练1】如图，A岛在B岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏东方向，C岛在A岛的南偏东方向，从C岛看A、B两岛的视角是（    ）度．    A. B. C. D. 【强化训练2】如图，一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角为，则第二次转过的角为       ． 【强化训练3】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的是，第二次拐弯处的角是，第三次拐弯处的是，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则等于     ．    【强化训练4】如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【题型6】平行线性质与判定的综合 【典例】如图，如果，，那么的度数为（    ） A. B. C. D. 【强化训练1】如图，已知， 则的度数为（      ） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，在四边形中，，于点，于点，若，则的度数为（  ）    A. B. C. D. 【强化训练3】如图，，，，则          ．    【强化训练4】如图是一个“鱼”形图案，点B，C分别在的两边上．已知，求出的度数． 【题型7】用平行线性质与判定解决拐角问题 【典例】汽车灯如图是某汽车前照灯纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【强化训练1】如图，如果，那么（　　）    A. B. C. D. 【强化训练2】如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（    ） A. B. C. D.无法表示 【强化训练3】如图，，思考解决下列问题：试探究          ． 【强化训练4】如图，，则，，，，满足的数量关系是      ． 【强化训练5】如图，． (1)如图①，若，点B在射线上，，求的度数； (2)如图②，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【强化训练6】（1）某电动伸缩遮阳帘形状如图1所示，已知，小明观察分析该图形得出图中、、之间存在如下数量关系：，他的证明思路如下，请将他的证明过程补充完整． 已知： 求证： 证明：过点作直线，使 ∵， ∴ （ ） ∵ ∴（ ） ∵  ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴ （ ） （2）请同学们体会上面辅助线的作用，用类似的方法解决如下问题： 已知：如图2，，试探究、和之间的数量关系，并说明理由． 【题型8】用平行线性质与判定解决折叠问题 【典例】如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在的位置．若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【强化训练1】如图，把一张长方形的纸片，沿折叠后，与的交点为，点、分别落在、的位置上，若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【强化训练2】如图，长方形纸片中，，边上分别有点E，F，将长方形纸片沿翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若，则的度数是           ． 【强化训练3】如图，将一个长方形纸片，沿着折叠，使，点分别落在点，处，若，则的度数为        ． 【强化训练4】如图，在长方形中，，，，，将长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，求的度数． 【题型9】平行线性质与判定和30°45°60°三角板的综合 【典例】已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，其中直角顶点在直线上，角的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【强化训练1】在探究直线平行的性质后王老师给出这样一道题：如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（    ）    A. B. C. D. 【强化训练2】如图，已知，直线分别与，相交于，两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，，则的度数为        ． 【强化训练3】如图，已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，如果，那么的度数是      ． 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版（2024)七年级下册第二章相交线与平行线3平行线的性质 强化训练（参考答案) 【题型1】两直线平行同位角相等 【典例】如图，△ABC中，∠A=36°，∠B=60°，EF∥BC,FG平分∠AFE,则AFG的度数 为() A.36° B.37° 0.42 D.47 【答案】C 【解析】解：.'∠B=60°，EF∥BC,∴.∠AEF=∠B=60°， 又，∠A=36°，.∠AFE=180°-60°-36°=84°， 又.FG平分∠AFE,∴.∠AFG=42°，故选C. 【强化训练1】如图，直线AB,CD被直线EF所截，交点分别为点E,F.若AB∥CD,下列结 论正确的是（) A.∠1=∠3 B.∠2=∠4 C.∠2=∠5 D.∠4=∠5 【答案】D 【解析】解：根据AB∥CD,可得∠3=∠4，而∠4与∠1不相等，故∠1=∠3不成立，故A 选项不正确：根据AB∥CD,可得∠2=∠1，而∠4与∠1不相等，故∠2=∠4不成立，故B 选项不正确：根据AB∥CD,可得∠2=∠1，而∠5与∠1不相等，故∠2=∠5不成立，故C 选项不正确：根据AB∥CD,可得∠3=∠BEF,而∠3=∠5，∠BED=∠4，故∠4=∠5，故D 选项正确：故选D. 【强化训练2】根据题意填空. 如图，已知直线EF与AB、CD都相交，ABIICD, 求证：∠1=∠2： —B 2 D 证明：：EP与AB相交（已知） ÷∠1=（) :ABCD（已知) ·∠2=() ÷21=∠2() 【答案】∠BEF;对顶角相等；∠BEF;两直线平行，同位角相等；等量代换 【解析】解：证明：：EF与AB相交（已知）， ÷1=∠BBP(对顶角相等)， :AB IICD(已知)， :∠2=∠BEP(两直线平行，同位角相等)， :∠1=∠2（等式的基本事实). 故答案为：∠BEF;对顶角相等；∠BEF;两直线平行，同位角相等；等量代换. 【强化训练3】如图，∠1=105°，∠2=75°，请说明a∥b. 2 【答案】解：如图 3 .∠2+∠3=1809 .∠3=180°-75°=105° .∠3=∠1=1059 .a∥b（同位角相等，两直线平行) 【题型2】两直线平行内错角相等 【典例】如图，a川b,AB1AC,若∠1=60°，则∠2=(） A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】A 【解析】解：如图， A2一a 3 -b .'allb, ∴∠3=∠1=60。（两直线平行，内错角相等）. .AB⊥AC, ∴.∠2+∠3=90°， 解得，∠2=30°， 故选：A. 【强化训练1】如图，已知AB∥CD∥EF,FC平分∠AFE,∠C=25°，则∠A的度数是() A.25° B.35° C.45° D.50° 【答案】D 【解析】解：，CD∥EF,∠C=∠CFE=25°，.FC平分∠AFE,∴.∠AFE=2∠CFE=50°， 又，AB∥EF,.∠A=∠AFE=50°，故选D. 【强化训练2】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，若AB‖DE, 则∠B=;若AC∥FD,则∠ACB= 【答案】∠E;∠DFE 【解析】解：，AB‖DE, ·∠B=∠E（两直线平行，内错角相等). .AC∥FD ∴.∠ACB=∠DFE（两直线平行，内错角相等). 【强化训练3】如图，已知ABIICD,FG平分∠AFE,FD平分∠BFE,∠AFG=32·，求∠DF的 度数 B G C厄 D 【答案】解：，FC平分∠AFE,FD平分∠BFE,∠AFG=32°， ∴LAFG=∠EFG=专AFE=32°，LEFD=∠BFD=专BFE, ∴.∠AFE=2LAFG=64°， :∠AFE+∠BFE=180°， ∴.∠BFE=180°-∠AFE=116°， ∴.∠BFD=58°， '.AB IICD, ∴.∠BDF=∠BFD=58·(两直线平行，内错角相等). 【题型3】两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC,AF∥BC,∠1=70°，∠2=55°，则∠ 3的度数是() D A.50° B.53° C.55° D.58 【答案】c 【解析】解：DE∥AC,∠2=55°，.∠BAC=55°. .AF∥BC,∠1=70°，∴.∠3+∠BAC=180°-70°=110°. .∠3=110°一55°=55°.故选C. 【强化训练1】如图，已知直线AB∥CD,∠GEB的平分线EF交CD于点F,∠1=60°，则∠ 2等于() D 一B A.130 B.140 C.150 D.160 【答案】C 【解析】解：.AB∥CD,∴.∠GEB=∠1=60°， .EF为∠GEB的平分线，∴.∠FEB=12∠GEB=30°， .∠2=180°一∠FEB=150°.故选C. 【强化训练2】如图，AB∥CD,EF⊥CD于点F,若∠2=46°，则∠GEB等于（) -B 2 G -D A.26 B.36 C.44 D.549 【答案】C 【解析】解：，AB∥CD, .∠EFD+∠FEB=180°（两直线平行，同旁内角互补) .EF⊥CD, ∴.∠EFD=90°， .∴.∠FEB=180°-90°=90° .∠2=46° .∴.∠GEB=∠FEB-∠2=90°-46°=44°， 故选：C. 【强化训练3】如图，已知AB‖CD,∠B=110°，EF平分∠BEC EG⊥EF,则∠DEG= 【答案】55 【解析】解：：ABCD, :∠B+∠BEC=180·(两直线平行，同旁内角互补). :∠B=110°， :∠BEC=70o, :EF平分∠BEC, :∠CEP=∠BEC=35°， :EG⊥EF, ·∠GEF=90o, :∠GEF+∠CEF+∠DEG=180o, ÷∠DEG=180°-90°-35°=55°， 故答案为：55°. 【强化训练4】如图，AB∥CD,点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE:∠EFB=3:4, ∠ABF=40°，那么∠BEF的度数为· 【答案】60° 【解析】解：.AB∥CD,∠ABF=40°，∴.∠CFB=180°-∠B=140°， 又∠CFE:∠EFB=3:4,∴.∠CFE=37∠CFB=60°， .AB∥CD,.∠BEF=∠CFE=60°，故答案为60°· 【强化训练5】如图，∠1=∠3=60°，∠2=120°，可以判断哪些直线平行？说明理由 02 3 D 【答案】解：AB∥DC,AE∥FC, 理由：，∠3=60°，∠2=120°， ∴.∠2+∠3=180°， ∴.AB∥DC, .∠2=120°， ∴.∠A0F=120°， ∴.∠1+∠2=180°， ∴.AE∥FC. 【强化训练6】如图，AB∥DE,C为BD上一点，∠A=∠BCA,∠E=∠ECD,请说明CE⊥CA. 【答案】理由：.AB∥DE,∴.∠B+∠D=180°，∠A=∠BCA,∠E=∠ECD,.∠B=180 -2∠BCA,∠D=180°-2∠ECD,∴.(180°-2∠BCA)+(180°-2∠ECD)=180°，.∴.∠BCA +∠ECD=90°，.∠ACE=90°，∴.CE⊥CA. 【题型4】平行线性质的综合 【典例】如图，直线a直线b,AB1BC,若∠1=50°，则∠2的度数是(） A A.40° B.50o C.25° D.60° 【答案】A 【解析】解：如图： 、A 直线a直线b, ∴.∠3=∠1=50° .AB⊥BC ∴.∠ABC=∠3+∠2=90° .∠2=90°-∠3=90°-50°=40° 故选：A 【强化训练1】如图，直线EF分别交AB,CD于点E,F,EG平分∠BEF,ABIICD,若 ∠1=72°，则∠2的度数为（) A.54° B.59 C.72° D.108° 【答案】A 【解析】解：，∠1=72°，ABCD, .∠BEP=180°-72°=108°， .EG平分∠BEF, ·∠BEG=∠BEF=54o, '.'AB IICD, .∠2=∠BEG=54°， 故选：A. 【强化训练2】如图，直线1I12,1314,∠1=44°，那么∠2的度数是（) A.46° B.44o C.36 D.56° 【答案】A 【解析】解：过点A作ABIl1, -----B ·∠1=∠3=44°， 2入 D :l3⊥4， ·∠CAD=90o, :∠4=∠CAD-∠3=46°， :12, ÷ABIl12 ÷∠4=∠2=46°， 故选：A. 【强化训练3】如图，ABICD,F⊥AB于E,EF交CD于F,已知∠1=140°，则∠2=一 A G E B D 【答案】50°/50度 【解析】解：ABCD, ∴·∠AEG=∠1=140。（两直线平行，同位角相等）， ,EF⊥AB于E, ∴.∠2=AG-90°=50°， 故答案为：50°. 【强化训练4】如图，直线a‖b,点B在直线b上，且AB1BC,∠1=55°，则∠2的度数为 C 【答案】35°. 【解析】解：如图， C 2入∠3 B .a川b, ∴.∠1=3=55°， 又AB⊥BC, ∴.∠ABC=90°， ∴.∠2=180°-90°-55°=35°. 故答案为：35°. 【强化训练5】如图，ACEF,∠1十∠3=180°· F B (1)求证：AFCD: (2)若AC⊥EB于点C,∠2=40°，求∠BCD的度数. 【答案】（1)证明：，ACEF, ∴.∠1+∠2=180°， 又.∠1+∠3=180°， ∴∠3=∠2， ∴.AFIICD: (2):AC⊥EB, .ZACB=90, 由（1)可知∠3=∠2， :∠2=40 ·∠BCD=90°-∠3=90°-∠2=50°. 【题型5】平行线性质的实际应用 【典例】在“创文明城市-爱我龙岩”白色垃圾清理活动中，小华同学从点出发，沿北偏西 20°方向到达C地，已知∠C=70°，此时营地A在C的（)方向. 北 D个 东 A.北偏西70 B.北偏东50 C.北偏东20 D.南偏西50 【答案】D 【解析】解：如图，过C点作CFBE, 北 D B 杀 ·∠BCF=∠CBE=20°， ÷∠ACF=∠ACB-∠BCF=50o, :营地A在C的南偏西50°方向上： 故选：D 【强化训练1】如图，A岛在B岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，C岛在 A岛的南偏东30·方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是（)度. 南 北 C B 南 A.50 B.60° C.70° D.80° 【答案】C 【解析】解：如图所示： A EY 北 南 D B .A岛在B岛的北偏东50°方向，即∠DBA=50°， C岛在B岛的北偏东80°方向，即∠DBC=80°， ∴.∠ABC=∠DBC-DBA=30°， C岛在A岛南偏东30°方向，即∠CAE=30°， '.'BDIAE, .∠DBA=∠BAE=50o, .∠BAC=∠BAE+∠CAE=80°， 在△ABC中， ∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-30°-80°=70°. 故选：C, 【强化训练2】如图，一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次 转过的角a为64°，则第二次转过的角B为。. 【答案】解：根据题意得，AB//CD ·∠=∠ACD :=64o ·∠ACD=64° ÷=180°-64°=116° 故答案为：116°. 【强化训练3】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是 70°，第二次扬弯处的角是∠B,第三次扬弯处的∠C是161°，这时道路恰好和第一次拐弯之 前的道路平行，则上B等于 B 【答案】解：过B作BD∥AE, AE∥CF, ∴.BD∥CF, .∴.∠A=∠ABD=70°，∠DBC+∠C=180°， .∠C161°， .∠DBC=19°， 则∠ABC=∠ABD+∠DBC=89°· 故答案为：89°， B 【强化训练4】如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知 ∠MAC=120°，∠NBE=60°. 驱逐舰巡洋舰 -·D ()已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向 保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由： (2)已知驱逐舰到达点C后沿C-D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E-F继续航行，且 MN‖EF,∠ACD=140°.若驱逐舰在原航向上向左转动a(0·<a<180°)后，才能与巡洋 舰航向相同，求α的值， 【答案】解：（1)不会，理由是： ,∠MAC=120°， ∴.∠CAN=60°， ,∠NBE=60°， ∴.∠CAN=∠NBE, ∴.ACBE, ∴.这两艘舰艇不会相撞： (2)如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则EFCG, 'MNIEF, ∴.CGMN, ∴.∠ACG=∠MAC=120°， .∠ACD=140°， ∴.a=∠ACD-∠ACG=20°. 驱逐舰 巡洋舰 -M E ---·D 【题型6】平行线性质与判定的综合 【典例】如图，如果∠1=3，∠2=50°，那么∠4的度数为（) A.120° B.130 C.140° D.150° 【答案】B 【解析】解：如图， 0 2 :∠1=∠3， ÷alb, ÷∠5=∠2=50°， ÷∠4=180°-50°=130°. 故选：B 【强化训练1】如图，已知∠1=2，∠B=40°，则∠3的度数为（) B )3 D A.30° B.40 C.50° D.60° 【答案】B 【解析】解：，∠1=∠2， ∴.AB II CT, ∠B=40°， ∴∠3=∠B=40°， 故选：B A <2 T B X3一D 【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，∠D+∠DAB=180°，AC⊥BC于点C,ER⊥BC于点 F,若∠BEF=40°，则∠ACD的度数为（) 0 A.30° B.40 C.50° D.60° 【答案】B 【解析】解：：AC⊥BC,EF⊥BC, .AC‖EF, ÷∠CAB=∠BEF=40°， '∠D+∠DAB=180°， ÷AB I CD, ÷∠ACD=∠CAB=40°， 故选：B. 【强化训练3】如图，∠BAC=90°，EF‖BC,∠1=∠B,则∠DEC=一°. 【答案】90 【解析】解：：EFII BC, ·∠1=∠CDE, '∠1=∠B, ·∠B=∠CDE, ÷AB II DE, ÷.∠DEC=∠BAC=90o, 故答案为：90. 【强化训练4】如图是一个“鱼”形图案，点B,C分别在∠A的两边上.已知 ∠1=50°，∠2=50°，3=130°，求出∠A的度数. B 2 【答案】解：：∠1=50°，∠2=50°， ∴.∠1=∠2=50 .AB‖CD; :∠2=∠BDC=50°，∠3=130°， ÷∠BDC+∠3=180°， ÷BD‖AC, 4A=∠1=50°. 【题型7】用平行线性质与判定解决拐角问题 【典例】汽车灯如图是某汽车前照灯纵剖面，从位于点0的灯泡发出的两束光线0B,0C经 过灯碗反射以后平行射出，如果LAB0=心，∠DC0=B,则∠B0C的度数是() A.a+B B.180°-c c.(a+) D.90°+(a+β) 【答案】A 【解析】 解：过点0作0E‖AB,如图： B --------------A :AB‖CD, .OE‖AB IICD, :∠AB0=∠B0E,∠E0C=∠DCO, :AB0=C,∠DC0=B, ·∠B0E=8,∠E0C=B, :∠B0C=∠B0E+∠E0C=+B, 即∠B0C的度数为a+B, 故选：A 【强化训练1】如图，如果AB‖ER,那么∠ABC十∠BCD十∠CDE+DEF=() 1 B F E A.270° B.360° C.540° D.560° 【答案】C 【解析】 解：过点C作CM‖AB,过点D作DN‖AB. A D F E .'AB IEF, ∴.AB I CM IIDNII EF, ∴.∠ABC+∠1=180°，∠2+∠3=180°，∠4+∠DEF=180°， ∴.∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF=540 故选：C. 【强化训练2】如图，已知AB川C①，∠BED=90,则∠1与∠2之间的数量关系可表示为() B 1 D A.∠2=2∠1 B.∠2-∠1=90° C.∠1+∠2=180° D.无法表示 【答案】B 【解析】 解：过E作直线NMAB,如图所示， B M:NM‖AB, ÷∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）， NMI AB,AB CD, NM CD, :∠2+∠4=180°， :∠BED=90°， ÷∠3+∠4=90°， ÷∠2-∠1=90°， 故选：B 【强化训练3】如图，MNCD,思考解决下列问题：试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠m= 02 0 【答案】 180°(m-1) 【解析】 解：当有2个角时，根据两直线平行同旁内角互补，得出∠1+∠2=180°， 当有3个角时，过点E作直线平行于MN,同理可得∠1+∠2+∠3=360°=180°×2， 当有4个角时，分别过点EF作直线平行于MN,同理可得 ∠1+∠2+∠3+∠4=540°=180°×3， 根据规律，可得当有m个角时，∠1+∠2+∠3+∠4++∠m=180°(m-1), 故答案为：180°(m-1)· 【强化训练4】如图，AB川CD,则∠1，∠2，∠3，∠4，∠5满足的数量关系是一 3 14 B 【答案】 ∠5+∠4-∠3+∠2-∠1=180° 【解析】 解：如图所示，过∠2，∠3，∠4的顶点E,BG,分别作AB的平行线EM,N,G0, D --------M N.- .'AB II CD, ∴.EM‖CD, ∴·∠1=∠DEM; 同理可得EMIFNII GO I‖AB, ∴·∠MEF=∠EFN,∠NFG=∠FG0,∠OGA+∠5=180°， ∴.∠2=DEM+∠MEF=∠1+∠EFN, 则∠EPN=∠2-∠1， ∠0GA=∠4-∠FOG=L4-∠NFG=∠4-（∠3-∠EFN) =∠4-∠3+（∠2-∠1）， 即180°-∠5=∠4-∠3+∠2-∠1 ∴.∠5+∠4-∠3+∠2-∠1=180°： 故答案为：∠5+∠4-∠3+∠2-∠1=180°. 【强化训练5】如图，AB1CD. N B B M D 图① 图② (1)如图①，若∠CMN=90°，点B在射线MN上，∠ABM=120°，求∠C的度数： (2)如图②，若∠@MN=150°，试猜想∠ABM与∠C的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)解：如图①，过点M作MKAB,则∠ABM+KMB=180°， ∴.∠KMB=180°-∠ABM=60°， .∠CMN=90°， .∠CMK=90°-KMB=30°， .'AB IICD,MKIAB, ∴.MKCD, ∴·∠C=∠CMK=30°· N B K----------M 图① (2)解：猜想：∠ABM-∠C=30°，理由如下： 如图②，过点M作MEAB,即∠ABM+∠EMB=180°， N B 刀 图② .∠MB=180°-∠ABM, '.'AB IICD,MEIAB, .'MEIICD, ∴.∠C=∠CME, :∠CMN=∠CME+LEMB=150°， ∴.180°-∠ABM+∠C=150°， ∴.∠ABM-∠C=180°-150°=30°， 【强化训练6】（1)某电动伸缩遮阳帘形状如图1所示，已知AF‖CD,小明观察分析该图 形得出图中∠A、∠ABC、∠C之间存在如下数量关系：∠ABC=∠A+∠C,他的证明思路如下， 请将他的证明过程补充完整. M--- 已知：AF II CD 求证：∠ABC=∠A十∠C 证明：过，点B作直线BM,使BM‖AF .'BMAF,AFIl CD （) .BM‖AF ·LA=∠ABM() ∷ ∴·∠MBC=∠C(两直线平行，内错角相等) :∠ABC=∠ABM+MBC LABC=.（) (2)请同学们体会上面辅助线BN的作用，用类似的方法解决如下问题： 已知：如图2，AB‖DE,试探究∠B、∠C和∠D之间的数量关系，并说明理由. D 【答案】解：(1)已知：AFCD 求证：ABC=∠A十∠C 证明：过点B作直线BM,使BM‖AF .'BMI‖AF,AFICD ∴.BM‖CD(平行于同一条直线的两直线平行) .BM‖AF ∴·∠A=ABM(两直线平行，内错角相等) '.'BM IICD ∴·∠MBC=∠C(两直线平行，内错角相等) '∠ABC=∠ABM+MBC ∴·ABC=∠A+∠C(等量代换) (2)过点C作MN‖AB,如图. N O E ·LB=∠BCN=∠BCD+∠DCN,① ∴.AB IIDE .MN‖DE, ∴·∠D+∠DCN=180°，g即∠DCN=180·-∠D② 将②代入①，得∠B=∠BCD+180°-∠D 即∠B+∠D-∠BCD=180 ∠B与∠D之和，减去∠C等于180°. 【题型8】用平行线性质与判定解决折叠问题 【典例】如图，把一个长方形纸片沿P折叠后，点D,C分别落在D,C的位置。若 LEFB=65°，则∠AED的度数为（) D D A.650 B.90° C.60 D.50° 【答案】D 【解析】解：由折叠知∠DEF=∠DEF, :四边形ABCD为矩形， ·AD IBC, ·∠EFB=∠DEP, ·∠DEF=∠DEF=EFB=65°， .∠AED=180°-2∠DEF=180°-65°×2=50°. 故选：D 【强化训练1】如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC的交点为G,点D、 C分别落在D、C的位置上，若∠BFG=55°，则L2的度数是() A.95° B.100 C.110° D.125 【答案】C 【解析】解：，AD‖BC, .∠2=∠DEG,∠EFG=∠DEF=55°， ,·长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G, ∴.∠DEF=∠GEF=55°， ∴.∠2=∠DEF+∠GEF=2×55°=110°. 故选：C 【强化训练2】如图，长方形纸片ABCD中，AB,DC边上分别有点E,F,将长方形纸片 ABC①沿EF翻折至同一平面后，点A,D分别落在点G,H处.若LGEB=28°，则∠DFE的度 数是 【答案】76 【解析】解：根据题意得：∠AEF=∠GEF,∠AEF+∠BEF=180°， ,∠GEB=28°， ∴.∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°， ∴.∠AEF=104°， .AB‖CD ÷∠DFE=180o-∠AEF=76°· 故答案为：76°： 【强化训练3】如图，将一个长方形纸片ABC①，沿着BE折叠，使C,D点分别落在点C1,D1 处，若LCBA=56°，则∠DEB的度数为一· D 569 【答案】107°. 【解析】解：设∠ABE=x,根据折叠前后角相等可知，∠CBE=LCBE=56°+x, 所以56°+x十x=90°， 解得x=17°· .AD IBC,∠EBC=90。-∠ABE .∠DEB=180°-∠CBE=180°-(90°-17°)=1070 故答案为：1070. 【强化训练4】如图，在长方形ABCD中，ADBC,ABICD,∠ADC=90°，∠2=20°，将长 方形ABC①沿着直线BD折叠，使点C落在c'处，BC交AD于点E,求∠4的度数. A D B 【答案】解：由折叠可知，∠1=∠2=20°，∠BDC=∠BDC, '.'AD IBC ∴.∠3=∠2=20°， ,∠ADC=90°， ∴·∠BDC=BDC=70°， ∠4=∠BDC-∠3=50： 【题型9】平行线性质与判定和30°45°60°三角板的综合 【典例】已知直线mm,将一块含30。角的直角三角板ABC按如图所示方式放置，其中直角 顶点B在直线m上，30°角的顶点C在直线n上.若∠1=115°，则∠2的度数为（) m C A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】B 【解析】解：如图， m n ,m恤， ∠3=∠1=115°， :∠3+∠2+∠ACB=180°，∠ACB=30°， ∴.∠2=180°-∠3-∠ACB=35°， 故选：B. 【强化训练1】在探究直线平行的性质后王老师给出这样一道题：如图，直线112，分别与 直线|交于点A,B,把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2=105°，则∠1 的度数是() B A.35° B.40 C.45° D.50° 【答案】C 【解析】解：如图， .∠2=105°，∠4=30°， ∴.∠3=180°-∠2-∠4=45°， .112 ∴.∠1=∠3=45°， 故选：C. 【强化训练2】如图，已知ab,直线c分别与a,b相交于D,A两点，把一块含30°角的三 角尺按如图所示的位置摆放，若∠3=106°，∠2=∠1+2°，则∠2的度数为一 3 -b 【答案】23 【解析】解：如图： 0 ,∠3=106 ∴.∠4=∠3=106 .a川b,且∠2=∠1+2 ∴.∠4+∠1+∠2+30°=180° ∴.106°+∠2-2°+∠2+30°=180° 解得∠2=23 故答案为：23 【强化训练3】如图，已知直线mm,将一块含30°角的直角三角板ABC(∠ABC=30。)按如 图方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是一， 20 m B 之 【答案】50 【解析】解：：m恤， ∴.∠2=∠1十ABC, :∠1=20°，∠ABC=30°， ∴.∠2=50°· 故答案为：50°.