第2章 3 第2课时 平行线的判定与性质的综合应用-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

拔尖特训·数学（北师版）七年级下 第2课时 平行线的判 自基础进阶 1.如图，∠1=∠2，∠B=108°，则∠BAD的度 数为 A.82°B.112°C.108°D.72 (第1题) (第2题) 2.如图所示为一条街道的路线图，ABCD,且 ∠ABC=130°.要使BC∥DE,则∠CDE的 度数为 () A.40°B.50° C.70° D.130° 3.新情境·现实生活如图所示为花盆支架的结 构示意图，底座为FG,支撑杆AG⊥FG于点 G,平台边框AB和CE均与支架AG垂直. 如果∠BDE=120°，∠DEF=125°，那么 ∠ABD+∠EFG= (第3题) (第4题) 4.新考法·过程性学习请把下面的说理过程补 充完整： 如图，AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2.试说 明：DG∥AB 因为AD⊥BC,EF⊥BC, 所以∠EFB=∠ADB=90°. 所以 所以∠1= 又因为∠1=∠2， 所以 所以DG∥AB. 38 拍照批改 定与性质的综合应用“答案与解析”见13 素能攀升 5.(2024·巴中)直线m∥n,一把含30°角的三 角尺按如图所示的方式放置.若∠1=40°，则 ∠2的度数为 () A.70°B.60° C.50°D.40° M 一D (第5题) (第6题) 6.如图，AB∥CD,射线FE,FG分别与AB, CD交于点M,N.若∠F=∠FND= 2∠EMB,则∠F的度数为 7.*如图，直线11∥2，∠a=∠3，∠1=40°，则 ∠2的度数为 B a D 2 F —12 M ▣N (第7题) (第8题) 8.如图所示为一款长臂折叠护眼灯示 意图，EF与桌面MN垂直，当发光 的灯管AB恰好与桌面MN平行答案讲解 时，∠DEF=120°，∠BCD=110°，此时 ∠CDE的度数为 9.(2024·菏泽郓城期中)如图，∠BAC+ ∠GCA=180°，∠1=∠2，试说明：∠E= ∠F. (第9题) 10.如图，DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1+ ∠2=180°.试说明：BF⊥AC. D AG B (第10题) 11.如图，点F在线段AD上，点E与点G在线 段BC上，FG∥AE,∠1=∠2. (1)试说明：ADBC. (2)若FG⊥DE于点H,DE平分∠ADC, ∠C=110°，求∠2的度数 H 2入 B E G C (第11题) 第二章相交线与平行线 缈思维拓展 12.如图①，ABCD,∠PAB=130°， ∠PCD=120°，求∠APC的度数. 小明的思路如下：如图①，过点答案讲解 P作PE∥AB,通过平行线的性质，易得 ∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°= 110°.利用小明的思路解决问题： (1)如图②，AB∥CD,直线1分别与AB, CD交于点M,N,点P在直线L上运动.当 点P在线段MN上运动时（不与点M,N 重合)，∠PAB=a,∠PCD=B,判断 ∠APC,a,B之间的数量关系，并说明理由. (2)在(1)的条件下，如果点P在线段MN 的延长线上或线段NM的延长线上运动， 请直接写出∠APC,a,B之间的数量关系. (第12题) 39所以∠DBN=∠ABC. 因为BC平分∠ABP,BD平分 ∠PBN, 所以∠ABC=∠CBP,∠PBD= ∠DBN. 所以∠ABC=∠CBP=∠PBD= ∠DBN. 所以∠ABP=∠ABC+∠CBP= 3∠ABN=3(Io-∠A) 1 3180r-9=90-7 第2课时平行线的判定 与性质的综合应用 1.D2.B3.175 4.EFAD∠BAD∠BAD= ∠2 5.A 6.120°解析：如图，过点F作FH∥ AB.因为AB∥CD,所以FH∥AB∥ CD.所以∠EMB=∠EFH, ∠HFN+∠FND=180°.因为 ∠EFN=∠FND=2∠EMB,所以 ∠EFH=2∠EFN.所以∠HFN= 之∠EFN.所以∠EFN十 ∠EFN=180°.所以∠EFN=120. E A M B 一D G (第6题 7.140°解析：如图，延长AE与直线 l2交于点B.因为直线11∥L2,∠1= 40°，所以∠3=∠1=40°.因为∠a= ∠3，所以AB∥CD.所以∠3+∠2= 180°.所以∠2=180°-∠3=140° A E u BD 3 B (第7题) 方法归纳 平行线中添加辅助线的技巧 平行线中添加辅助线的基本 思路：构造两直线被第三条直线所 截的基本图形.通常有两种情形： 一是当平行线中有折线时，直接延 长折线，构造两直线被第三条直线 所截的基本图形：二是当平行线中 有折线或拐角时，过折点或拐点作 平行线中某条直线的平行线，并利 用平行于同一条直线的两条直线 平行，得到所作直线也与平行线中 的另一条直线平行，从而利用平行 线的性质与判定解决问题 8.100°解析：因为EF⊥MN,所以 ∠MFE=90°.如图，过点D作DG∥ AB,过点E作EH∥AB.因为AB∥ MN,所以AB∥DG∥EH∥MN.所以 ∠ACD+∠CDG=180°，∠GDE= ∠DEH,∠HEF=∠MFE=90°.因 为∠DEF=120°，∠BCD=110°，所以 ∠GDE=∠DEH=30°，∠CDG= 180°-110°=70°.所以∠CDE= ∠CDG+∠GDE=100. .B C G-----D E F M ▣W (第8题) 9.因为∠BAC+∠GCA=180°， 所以AB∥DG 所以∠BAC=∠DCA. 因为∠1=∠2， 所以∠BAC-∠1=∠DCA-一∠2，即 ∠EAC=∠FCA. 所以AECF. 所以∠E=∠F, 10.因为∠AGF=∠ABC, 所以GF∥BC. 所以∠1=∠3. 因为∠1+∠2=180°， 所以∠2+∠3=180° 所以DEBF. 13 所以∠CED=∠CFB. 因为DE⊥AC, 所以∠CED=90° 所以∠CFB=90°」 所以BF⊥AC. 11.(1)因为FG∥AE, 所以∠1=∠DAE, 因为∠1=∠2， 所以∠2=∠DAE. 所以ADBC. (2)因为ADBC, 所以∠C+∠ADC=180°， ∠ADE=∠DEC. 因为∠C=110°， 所以∠ADC=180°-∠C=70°」 因为DE平分∠ADC, 1 所以∠ADE=Z∠ADC=35°， 所以∠DEC=∠ADE=35. 因为FG⊥DE, 所以∠FHD=90°， 因为FG∥AE, 所以∠AED=∠FHD=90 所以∠2=180°-∠DEC-∠AED= 180°-35°-90°=55. 12.(1)∠APC=a+B. 理由：如图①，过点P作PEAB. 因为ABCD, 所以PECD. 所以∠APE=∠PAB=a,∠CPE= ∠PCD=R. 所以∠APC=∠APE+∠CPE= a+B. (2)如图②，在(1)的条件下，当点P 在线段MN的延长线上运动时， ∠APC=a-B. 如图③，在(1)的条件下，当点P在线 段NM的延长线上运动时，∠APC= 3-a. M B N A M B N C ③ (第12题) 专题特训六 平行线中的 “拐点”模型 1.B2.60° 3.(1)∠APC=∠A+∠C. 理由：如图①，过点P作PE∥AB. 因为ABCD, 所以AB//CD//PE. 所以∠A=∠APE,∠C=∠CPE. 所以∠APC=∠APE+∠CPE= ∠A+∠C. (2)如题图②，此时∠APC十∠A+ ∠C=360°. 理由：如图②，过点P作PE∥AB. 因为ABCD, 所以AB//CD//PE. 所以∠A+∠APE=180°，∠C+ ∠CPE=180. 所以∠APC+∠A+∠C=360°. 如题图③，∠APC=∠C-∠A. 理由：如图③，过点P作PE∥AB. 因为ABCD, 所以AB//CD//PE. 所以∠C=∠CPE,∠A=∠APE. 所以∠APC=∠CPE-∠APE= ∠C-∠A. A B B P -----E D D ② E------P B -D ③ (第3题) 4.A 5.540°解析：根据题意，可知AB∥ EF,如图，分别过点C,D作AB的平 行线CG,DH.所以AB∥CG∥DH∥ EF.所以∠B+∠BCG=180°， ∠GCD+∠HDC=180°，∠HDE+ ∠E=180°.所以∠B+∠BCG+ ∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠E= 180°×3=540°，即∠B+∠BCD+ ∠CDE+∠E=540° B 北 C H-----------D F E (第5题) 6.(1)∠BEF+∠FGD=∠B+ ∠EFG+∠D. 理由：如图，过点E,F,G分别作 EM∥AB,FN∥AB,GH∥AB. 因为ABCD, 所以AB//EM//FN/GH∥CD. 所以∠1=∠B,∠2=∠3，∠4=∠5， ∠6=∠D. 所以∠BEF+∠FGD=∠1+∠2+ ∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D= ∠B+∠EFG+∠D. (2)∠E1+∠E2+∠E3+…+ ∠En=∠B十∠F1十∠F2十…+ ∠Fm-1十∠D. A B E----M N-F G ---H C (第6题) 第二章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)因为∠FOD=21°， ∠AOE=2∠FOD, 所以∠AOE=42°. 14 所以∠BOE=180°-∠AOE=180° 42°=138° 因为OC平分∠BOE, 所以∠C0E=∠C0B=2 ∠BOE= 7×15s=69 所以∠AOD=∠COB=69°. (2)OE⊥OF. 理由：设∠DOF=x,∠COE=y,则 ∠AOE=2x,∠BOE=2y. 因为∠AOE+∠BOE=180°，即2.x+ 2y=180°， 所以x+y=90°，即∠DOF+ ∠COE=90. 因为∠EOF+∠DOF+∠COE= 180°， 所以∠EOF=90°」 所以OE⊥OF. [变式]50°140°解析：因为 ∠BOC=100°，所以∠AOC=180° ∠BOC=80.因为OM平分∠AOC, 所以∠COM=∠AOM=2∠A0C= 40°.因为OC⊥OD,所以∠COD= 90°.所以∠MOD=∠COD ∠COM=50°.当∠BOP与∠AOM 互余时，∠BOP=90°-∠AOM= 50°.所以∠P0C=100°-50°=50°.所 以∠POD=∠COD+∠POC=90°+ 50°=140°. 典例2(1)因为∠CDG=∠B, 所以DG∥AB 所以∠1=∠BAD 因为∠1+∠FEA=180°， 所以∠BAD+∠FEA=180°. 所以EH∥AD. (2)因为EH∥AD, 所以∠1=∠H. 因为∠1=∠BAD, 所以∠BAD=∠H. [变式]40°解析：如图，过点C作 CF∥AB.因为AB∥DE,所以CF∥ DE,∠BCF=∠ABC=80°.所以