河南洛阳市洛宁县2025-2026学年第二学期期中学情调研九年级数学试题

**基本信息** 初中数学期中试卷以生活与科技情境为载体，分层考查抽象能力、运算能力及模型意识，体现数学眼光观察、思维思考与语言表达的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|8题52分|方程应用、几何证明、统计分析|结合校园垃圾分类数据设计统计题（数据意识），通过动点几何问题考查推理能力（推理意识），联系购物情境构建方程模型（模型意识）|

2025-2026学年第二学期期中学情调研九年级 数学试题 注意事项： 1.本试卷共6页，3大题23小题；时间100分钟，满分120分；闭卷考试。 2.本试卷设有答题卡，请将答案写涂在答题卡上，写在本试卷上无效。 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1.四个有理数-1,0，-3,4，其中最小的有理数是() A.-1 B.0 C.-3 D.4 2,笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆” 的一方砚台，它的俯视图是() 长 正面 3.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚的一首诗信》 若苔花的花粉直径约为0.0000084m,用科学记数法表示0.0000084=8.4×10，则n为（) A.-5 B.-6 C.5 D.6 4.如图，已知∠1=28°，∠A0C=90°，点B,0,D在同一条直线上，则∠2的度数为() A102° B.118 C.122° D.62° 5.下列运算正确的是() D A.3a2-2a2=1 B.a2,a4=a8 C.(-2ab32=4a2b5 D.(a-b)2=a2-b2 6.已知关于x的一元二次方程mx2-4x+2=0有两个实数根，则m的取值范围是() A.m<2且m≠0 B.m≥2 C.m≤2且m≠0D.m≥2且m≠0 九年级数学第1页（共6页） 7.如图，半径为3的OA经过原点0和点C(0,2),B是y轴左侧OA优弧上 一点，则tanL0OBC的值为() A号 B.22 C &v2 3 D号 8.如图，线段AB/DE,连接AE,BD交于点C,若AB=6,DE=2,AE=8, 则线段CE的长为) A.1 B C.2 D.6 9.某校为了培养学生的兴趣爱好，为学生提供了篮球、羽毛球、乒乓球、游泳、足球五种选修 行圆”课程，小亮和小新准备在篮球和足球两种课程里各随机选择一门进行选修，则两人恰好选择同 一门选修课程的概率是() A.1 B c D 10.综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度密 度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(cm)是液 苔).体的密度p(g/cm)的反比例函数，其图象如图所示(p>0). 为()下列说法正确的是() A.当液体密度p≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B.当液体密度p=2g/cm3时，浸在液体中的高度h=40cm C.当浸在液体中的高度0<h≤10cm时，该液体的密度p≥2g/cm3 D.当液体的密度0<p≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分，） 11.二次根式√9-3x有意义，则x的取值范围是 12.不等式组化+0的整数解有一个 13.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AC1AB,点E、 F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF,若AE=4,则OF= 九年级数学第2页（供6页） 14.如图，在△ABC中，∠ABC=90,点0在AC上，O0与AB,BC相切，切点分别为点D,E. c 若AB=BC=4,则阴影部分的面积为· 15.如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=8.点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿A0翻 折，点D的对应点D恰好落在直线BQ上，则DQ的长为， D 五种选修 三、解答题：（本题共8小题，共75分，） 好选择同 16.(10分) (1)计算：（白）1-8+(2024-)°： 四化简：-)+ x+2 17.(9分)计算能力是数学的基本能力，为了进一步了解学生的计算情况，初2020级数学老师 们对某次考试中第19题计算题的得分情况进行了调查，现分别从A、B两班随机各抽取10名 学生的成绩如下： A班10名学生的成绩绘成了条形统计图，如下图， B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：9,8,9,10,9,7,9,8,108 经过老师对所轴取学生成绩的整理与分析，得到了如下表数据： A班 B班 平均数 8,3 中位数 b 9 众数 8或10 极差 4 3 方差 1.81 0.81 九年级数学第3页（共6页） 根据以上信息，解答下列问题 A班10名学生成绩统计图 (1)补全条形统计图： 个学生人数人 (2)直接写出表中a,b,c的值：a=,b= C= 67 8 910成/分 (③)根据以上数据，你认为A、B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由（写出其中两条即 可)月 (4④)若9分及9分以上为优秀，若A班共55人，则A班计算题优秀的大约有多少人？ 189分)如图，已知一次函数1=k1x+1的图象与y轴相交于点A,与反比例函数2=的图 象相交于点B(3,2) (1)求一次函数和反比例函数的表达式： 请份 (②)P为x轴上一动点，当PA+PB的值最小时. 21. ①画出点P的位置，并直接写出点P的坐标； “利 ②求出此时△PAB的面积， 型， 1200 19.(9分)如图，AC是矩形ABCD的对角线 1) (1)请用无刻度的直尺和圆规作点B关于AC的对称点E.(保留作图痕迹，不写作法) (2)学 0 (2)连接AE,交DC于点F,求证：AF=CF, 型的 多少 22.(0 20.(9分)数学活动课上，某课题学习小组把“测量运江河床的宽度”作为一项课题活动，并设 抛物 计了以下测量方案： 坡上 防御 九年级数学第4页（供6页） 课题 测量运江河床的宽度 测量工具 无人机、测角仪 水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为“，无人机沿水平线 方案 AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30 无人机距地面 AM=24V3米 的铅直高度 A B F a.30° (1)求 测量示意图 (2)试 D MC (3)在 说明 点M、C、D在同一条直线上，tana=2 23.1 参考数据 3≈1.7 结论， 请你根据上表中的测量数据，求运江河床的宽度CD.(精确到1米) 三角于 21.(⑨分)人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展某校积极响应国家 “科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A,B两种型号的机器人模 型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用 (1)证 1200元购买B型机器人模型的数量相同. (2)运 (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 长线 (②)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模 (3)拓 型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠问购买A型和B型机器人模型各 于点E 多少台时花费最少，最少花费是多少元？ 22.(10分)图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是 抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米，将发石车置于山坡底部0处，山 坡上有一点A,点A与点0的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的 B 防御墙。若以点0为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系。 九年级数学第5页（共6页） 米 12- C(6,12) B 0 FEx米 图1 图2 (①)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式. (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面0A的最大距离。 23.(10分)背景：在数学综合实践活动中，小明利用等积法得到了关于三角形角平分线的一个 结论，如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证是-铝小红经过思考，认为可以构造相似 三角形来证明小红的证明思路是：如图2，过点B作BE/AC,交AD的延长线于点E,从而证得 应国家 架器 器人模 型和用 ()证明：请参照小红提供的思路，利用图2证明-铝 (2)运用：如图3，AD是△ABC的角平分线，M是BC边的中点，过M点作MN/∥AD,交BA的延 长线于点N,交AC于点G若AB=6,AC=9,求线段AN的长. 器人模 (3)拓展：如图4，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，点D是半圆AB的中点，连接CD交AB 模型各 于点E若AC=2,BC=4,则线段DE的长为 D 轨迹是 处，山 今 E 5米的 (图1) (图2) (图3) (图4) 九年级数学第6页（共6页） ●九年级数学参考答案 1.C2.C3.B4.B5.C6.c7.D8.C9.C10.C 11.x≤312.3 13.4 14.π 15.4或16（对一个2分，对两个3分） 16.解)8+(2024-m =2+2+1 (3分) =4十1 (4分) =5: (5分) (2) x22x+1 =+23 +2 x+2 x+2 (1 (2分) =‘ -1 +2 (4分) =点 (5分) A班10名学生成练统计图 17.解：（1)成绩为10分的人数=10-1-2-3-1=3， 小学生人数人 补全条形统计图如图所示， (2分) (2a=0(9+8+9+10+9+7+8+9+10+8)=8.7 2= 067 8 910 成绩分 A班成绩排序为6,7,7,8,8,8,9,10,10,10，中位 数为第5和第6个数的平均数， 即学=8 b=8;c=9; 故答案为：87,8,9； (5分) (3)B班学生计算题掌握得更好，理由：B班的平均分高于A班，B班的中位数高于A班： 故答案为：B班的平均分高于A班，B班的中位数高于A班： (7分) (455×0=22人. 答：A班计算题优秀的大约有22人. (9分) 第4页，共6页 18解：(1D:一次函数，=kx+1的图象与反比例医数y,=等的图象交于点B阳，2， 2=3k+1,2=号，k1=青，k3=6. (2分) :一次函数的表达式为y1=专x+1,反比例函数的表达式为y2=是. (4分) (2) ①图略，作点A关于x轴的对称点A,连结BA交x轴于点P,此时PA十PB取得最小值.(6分) P(1,0).(7分) ②S△PAB=S△AABSAAP=专X2X3-克X2X1=2. (9分) 19.(1)解：如图所示，点E即为所求.（作法不唯一） (4分) 0 B (②)证明：由对称的性质，可知AC垂直平分线段BE, ·AB=AE ·∠EAC=∠BAC (6分) :四边形ABCD为矩形， :CD AB ·∠DCA=∠BAC. ·∠EAC=∠DCA: (8分) ·AF=CF (9分) 20.解：如解图，过点B作BE⊥MD于点E,则四边形AMEB为矩形， (1分) :BE=AM=24W3米，ME=AB=12米， :AF//MD,·∠ACM=∠BAC=a,在Rt△AMC中，∠AMC=90°， tama=怒=2.即=2MC=125米 (4分) 在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠DBE=90°-30°=60°， 第4页，共6页 tan∠DBE=器=V3,+DE=5BE=72(米)， CD=DE-CE=DE-(MC-ME)=72-(123-12=84-123≈84-12×1.7=84-20.4≈64 米) (8分) 答：运江河床的宽度CD约为64米. (9分) AB F a、30° M EC 21.解：(1)设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为(x+200)元.(1分) 根据题意，得0=， (3分) 4x=300, 经检验，x=300是所列分式方程的解， 300+200=500(元 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元. (5分) (2)设购买A型机器人m台，则购买B型机器人(40-m)台. 根据题意，得40-m≤3m, 解得m≥10， (7分) 设共花费w元，则w=0.8×500m+0.8×300(40-m)=160m+9600, :160>0, ·w随m的减小而减小， :m≥10， :当m=10时w值最小，W最=160×10+9600=11200， 40-10=30(台) (8分) 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元. (9分) 22.(1)解：设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+12, 将点(0,0)代入到y=a(x-6)2+12中得36a+12=0, (2分) 解得a=-专， 第4页，共6页 ÷抛物线的解析式为y=·青(x-6)2+12=-专x2+4x。 (3分) (2)解：在y=-言x2+4x中，当x=9时，y=-青×92+36=9， (5分) :BE=6+5=11>9,AE=6<9, ·石块不能飞越防御墙AB (6分) (3)解：由题意可知点A的坐标为(9,6)， 设直线OA的解析式为y=kx(k≠0)， :6=9k, k=号， ·直线OA的解析式为y=号x, (7分) 如图，作直线MN⊥x轴，交抛物线于点M,交直线OA于点N, y/米 C(6,12) 12 B M /米 设点M(m,-青m+4m),则点N的坐标为(m号m), MN=-青+4m-号m=-专(m-5)2+, (9分) :当m=5时，MN有最大值，最大值为， ·在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是受米。 (10分) 23.(1)证明：：BE//AC, ·∠E=∠CAE, 又：∠BAE=∠CAE, ·∠BAE=∠E, ÷BA=BE, BE/AC, ·△BDE△CDA, (2分) 第4页，共6页 器=器， 提=器 (4分) (②)解：：AD是△ABC的角平分线， AB:AC=BD:CD=6:9=2:3. ·BD=号CD, :M为BC的中点， ·BM=CM, ÷BD+DM=CD-DM, CD =6DM, (6分) MN//AD, ·Ae=0,∠N=∠BAD,∠AGN=∠DAC, :AD平分∠BAC, :.∠BAD=∠DAC :∠N=∠AGN. ·AN=AG :AC=9, 9=启， AG= AN= (8分) (3)解：如图，连接0D, ◇ E B 0 :AB是直径， ·∠ACB=90°， :AC=2,BC=4, 第4页，共6页 AB=VAC2+BC2=2V5, :点D是半圆AB的中点， ∠ACD=∠BCD, 能=器=， AE-OE-OD-15. DE=VOE2+OD=华， 故答案为：9】 (10分) 第4页，共6页