3.6 一次函数的应用（1） 教案 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第一课时《3.6 一次函数的应用》教学设计 课型 新授课☑ 复习课☐ 试卷讲评课☐ 其他课☐ 教学内容分析 《利用一次函数解决预测类型问题、双函数问题》是湘教版八年级下册第3章《一次函数》的第六节第一课时的内容。本节课承接一次函数表达式与性质的学习，通过指尖距与身高、行程问题等实际情境，引导学生建立一次函数模型解决问题，让学生体会函数建模的实用性，强化“从实际问题到函数模型再到解决问题”的完整流程，为后续复杂函数应用奠定基础。 学习者分析 学生已掌握一次函数表达式的求法和图象性质，具备初步的方程建模能力，但在从实际情境中提取变量、确定自变量取值范围、分析函数意义时仍有困难，对“如何将生活问题转化为数学函数”的逻辑不够清晰，需要教师引导梳理建模步骤。 教学目标 1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题，理解自变量取值范围的意义。 3.能结合函数图象分析实际问题，体会数形结合思想。 4.提升数学建模能力，感受函数在生活中的应用价值。 教学重点 从实际情境中建立一次函数模型并解决问题。 教学难点 准确提取实际问题中的变量关系，确定自变量取值范围。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 回顾：1.一次函数与正比例函数的一般形式是什么？ 2.有什么方法确定一次函数与正比例函数的表达式？ 教师讲授： 1.形如（k，b为常数，k≠0）的函数称为一次函数. 形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为正比例函数. 2.待定系数法 学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真听讲 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。 环节二：探究新知 教师活动2： 探究：一次函数的应用 【思考】伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距.假设指尖距与身高具有如下关系： 指距 x/cm 19 20 21 身高 y/cm 151 160 169 (1) 身高y与指尖距x之间可用函数关系式刻画吗？如果可以，其表达式是怎样的？ (2) 若李华的指尖距为22cm，你能估计他的身高吗？ 教师提问： 问题1：指距每增加1cm,身高增加多少？这说明了什么？ 问题2：怎么求它的函数表达式？ 解：∵指尖距每增加1cm，身高对应增加9cm， ∴身高y与指尖距x的函数关系可以尝试用一次函数来刻画. 设一次函数表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0). 将x=19，y=151与x=20，y=160代入上式，得 解得k=9，b=20. 于是y=9x20. 将x=21，y=169代入上式，也符合. 故y=9x20就是身高y与指尖距x之间的函数表达式. 解： (2)当x=22时，y=9×2220=178. 因此，李华的身高大约是178cm. 【归纳】建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤： 1.分析已知数据的变化规律，确定合理的函数模型； 2.设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数据求出函数表达式； 3.进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式； 4.应用这个函数模型解决实际问题. 学生活动2： 认真阅读 认真思考，举手回答问题 认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真听讲，了解建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤 活动意图说明：通过指尖距与身高的实际问题，引导学生掌握一次函数建模步骤，提升用数学解决实际问题的能力，体会数学的实用性。 环节三：例题精讲 教师活动3： 例1已知甲、乙两地相距40km，小徐8:00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h；小李10:00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小徐所用的时间为xh，小徐与甲地的距离为y1km，小李离甲地的距离为y2km. (1)分别写出y1，y2与x之间的函数表达式； (2)在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. 教师提问：题目中的等量关系是什么？ 解：(1)由“路程=速度×时间”可知y1=8x， ∵甲、乙两地相距40km ∴ 0≤8x≤40 故自变量x的取值范围是0≤x≤5. ∵小李比小徐晚出发2h， ∴小李所用时间为(2)h，且2≥0. ∴y2=40(2),且40(2)≤40 故自变量x的取值范围是2≤x≤3. （2）将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示. 过点M(0，40)作射线l与x轴平行，它先与射线y2=40(2)相交，这表明小李先到达乙地. 可建立一次函数模型的情形： 1.是实际生活中一些基本数量关系，没有与一次函数有关的文字叙述，如长方形的面积=长×宽，路程=速度×时间等，凭生活经验可以直接建立一次函数模型； 2.是用数据给出两个变量的一些对应值，如果因变量是随自变量均匀变化的，那么因变量可以看作自变量的一次式，并确定函数； 3.是以图象提供信息的，如果图象是一条直线或射线或线段或直线上的一些点，那么纵轴所代表的变量一定是横轴所代表变量的一次函数。 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真作图 认真听讲，了解建立一次函数的常见情形 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂总结 教师活动4： 建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤： 1.分析已知数据的变化规律，确定合理的函数模型； 2.设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数据求出函数表达式； 3.进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式； 4.应用这个函数模型解决实际问题. 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系．若点燃6分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（　　） A．10　　　　B．15　　　　C．20　　　　D．25 3.小明走楼梯回家，他所走的台阶总数m（个）是楼层的层数n（层）（n≥2且n为整数）的一次函数，其部分对应值如表所示： 层数 n/层 2 3 4 5 … 台阶总数m/个 42 70 98 126 … 当层数为20层时，小明走的台阶总数为 （　　） A．560个　　　　B．546个　　　　C．574个　　　　D．592个 选做题： 4.某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1000万元，当投入90万元时，销售额为5000万元.则投入80万元时，销售额为　 　万元. 5.如图，将规格相同的某种盘子，整齐地摞在一起，4个这种盘子摞在一起的高度为，7个这种盘子摞在一起的高度为．若设x个这种盘子摞在一起的高度为，则当时，y的值为　 　． 6.如图所示，某弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，则弹簧不挂物体时的长度是　 　． 【综合拓展类作业】 7.连平县上坪镇是中国鹰嘴蜜桃之乡，今年鹰嘴蜜桃价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收A级、B级鹰嘴蜜桃共300斤，A级鹰嘴蜜桃售价每斤12元，B级鹰嘴蜜桃售价每斤8元． （1）求该农户全部售出这些鹰嘴蜜桃的收入y（元）与采收的A级鹰嘴蜜桃数量x（斤）之间的函数关系式； （2）若当天全部售出这些鹰嘴蜜桃的总收入为2920元，求售出的A级鹰嘴蜜桃的数量． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（　　） A．12　　　　B．　　　　C．10　　　　D．6 2.如图表示的是甲、乙两船沿相同路线从A港出发到B港的行驶过程中，路程y（km）随时间t（h）变化的图象，则乙船出发多长时间赶上甲船（　　） A．1.5h　　　　B．2h　　　　C．2.5h　　　　D．3.5h 3.某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，，分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多　 　． 【综合拓展类作业】 4.，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． （1）求，的函数关系式． （2）几小时后，甲乙两人相距？ 教学反思 本节课通过生活化实例引导学生建模，贴近学生认知，但部分学生在分析行程问题的时间差、变量关系时易混淆，对自变量取值范围的理解不够透彻。后续需增加分层练习，强化建模步骤的规范性，同时设计更多贴近生活的情境，帮助学生建立问题与函数的直观联结。 学科网（北京）股份有限公司 $