3.6 一次函数的应用（1） 教案 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

教师活动

学生活动

环节一：新知导入

教师活动1：

回顾：1.一次函数与正比例函数的一般形式是什么？

2.有什么方法确定一次函数与正比例函数的表达式？

教师讲授：

1.形如（k，b为常数，k≠0）的函数称为一次函数.

形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为正比例函数.

2.待定系数法

学生活动1：

快问快答，举手回答问题

认真听讲

活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。

环节二：探究新知

教师活动2：

探究：一次函数的应用

【思考】伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距.假设指尖距与身高具有如下关系：

(1) 身高y与指尖距x之间可用函数关系式刻画吗？如果可以，其表达式是怎样的？

(2) 若李华的指尖距为22cm，你能估计他的身高吗？

教师提问：

问题1：指距每增加1cm,身高增加多少？这说明了什么？

问题2：怎么求它的函数表达式？

解：∵指尖距每增加1cm，身高对应增加9cm，

∴身高y与指尖距x的函数关系可以尝试用一次函数来刻画.

设一次函数表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0).

将x=19，y=151与x=20，y=160代入上式，得       

解得k=9，b=20.

于是y=9x20.

将x=21，y=169代入上式，也符合.

故y=9x20就是身高y与指尖距x之间的函数表达式.

解： (2)当x=22时，y=9×2220=178.

因此，李华的身高大约是178cm.

【归纳】建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤：

1.分析已知数据的变化规律，确定合理的函数模型；

2.设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数据求出函数表达式；

学生活动2：

认真阅读

认真思考，举手回答问题

认真思考，独立完成习题

认真听讲

认真听讲，了解建立一次函数模型解决实

3.进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式；

4.应用这个函数模型解决实际问题.

际问题的一般步骤

活动意图说明：通过指尖距与身高的实际问题，引导学生掌握一次函数建模步骤，提升用数学解决实际问题的能力，体会数学的实用性。

环节三：例题精讲

教师活动3：

例1已知甲、乙两地相距40km，小徐8:00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h；小李10:00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小徐所用的时间为xh，小徐与甲地的距离为y1km，小李离甲地的距离为y2km.

(1)分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；

(2)在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.

教师提问：题目中的等量关系是什么？

解：(1)由“路程=速度×时间”可知y1=8x，

∵甲、乙两地相距40km

∴ 0≤8x≤40

故自变量x的取值范围是0≤x≤5.

∵小李比小徐晚出发2h，

∴小李所用时间为(2)h，且2≥0.

∴y2=40(2),且40(2)≤40

故自变量x的取值范围是2≤x≤3.

（2）将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示.

过点M(0，40)作射线l与x轴平行，它先与射线y2=40(2)相交，这表明小李先到达乙地.

学生活动3：

学生认真思考，独立完成习题

认真听讲

认真作图